通信原理随机过程讲新

通信原理随机过程讲新1第一页，共五十三页，编辑于2023年，星期二高斯随机过程若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1,2,…）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。

2第二页，共五十三页，编辑于2023年，星期二高斯随机过程如果各随机变量两两之间互不相关，则上式中，对所有统计独立3第三页，共五十三页，编辑于2023年，星期二余因子对一个矩阵A，在(i,j)的子行列式（余子式）Mij

定义为删掉A

的第i横行与第j纵列后得到的行列式。令

Cij:=(−1)i+jMij，

称为A

在(i,j)的余因子（代数余子式）。4第四页，共五十三页，编辑于2023年，星期二余因子范例5第五页，共五十三页，编辑于2023年，星期二由式可以看出,高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程。若干个高斯过程之和仍是高斯过程。高斯随机过程重要性质6第六页，共五十三页，编辑于2023年，星期二f(x)具有如下特性(1)f(x)对称于x=a这条直线。

(2)正态分布的概率密度一维高斯随机过程7第七页，共五十三页，编辑于2023年，星期二一维高斯随机过程（3）a表示分布中心，表示集中程度，f(x)图形将随着的减小而变高和变窄。当a=0，时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。正态分布函数正态分布函数是概率密度函数的积分，即8第八页，共五十三页，编辑于2023年，星期二式中，称为概率积分函数，其定义为上式积分不易计算，常引入误差函数和互补误差函数表示正态分布一维高斯随机过程9第九页，共五十三页，编辑于2023年，星期二误差函数和互补误差函数互补误差函数误差函数10第十页，共五十三页，编辑于2023年，星期二引入误差函数和互补误差函数后，不难求得

误差函数、互补误差函数和概率积分函数之间的关系如下:

误差函数和互补误差函数11第十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期二这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即这说明，白噪声只有在τ=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。高斯白噪声12第十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期二白噪声的功率谱和自相关函数高斯白噪声13第十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期二

如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。高斯白噪声功率谱角度概率分布角度14第十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期二随机过程通过线性系统只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即若则有15第十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期二若输入信号有界且线性系统是物理可实现的，则或

如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程ξi(t)的每个样本与输出过程ξo(t)的相应样本之间都满足上式的关系。这样，就整个过程而言，便有随机过程通过线性系统16第十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期二思考：平稳随机过程通过线形系统时，系统输出数学期望和输入数学期望之间有什么关系？17第十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期二假定输入ξi(t)是平稳随机过程，则可以分析系统的输出过程ξo(t)的统计特性。随机过程通过线性系统1.输出过程ξo(t)的数学期望由此可见,输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0)的乘积，且与t无关。18第十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期二思考：平稳随机过程通过线形系统时，系统输出自相关函数是否与时间起点有关？19第十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期二可见,ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。2.输出过程ξo(t)的自相关函数随机过程通过线性系统20第二十页，共五十三页，编辑于2023年，星期二思考：平稳随机过程通过线形系统时，系统输出功率谱密度和输入功率谱密度之间有什么关系？21第二十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期二3.输出过程ξo(t)的功率谱密度可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi(ω)与系统功率传输函数|H(ω)|2的乘积。随机过程通过线性系统★22第二十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期二从原理上看，在已知输入过程分布的情况总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极限，即4.输出过程ξo(t)的概率分布随机过程通过线性系统23第二十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期二

由于ξi(t)已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之和。由概率论得知，这个“和”的随机变量也是高斯随机变量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程。更一般地说，高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。随机过程通过线性系统24第二十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期二[例]均值为0，自相关函数为的高斯过程，通过（A、B为常数）的网络，试求：（1）输出过程的一维概率密度函数；（2）输入过程的一维概率密度函数；（3）输出过程的噪声功率。25第二十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期二（1）输入过程均值为0，，所以是宽平稳随机过程，它的总平均功率，即方差，所以可以直接写出的一维概率密度函数为（2）因为为高斯过程，所以也是高斯过程。则其中，均值

方差26第二十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期二这样随机过程的一维概率密度函数为（3）的噪声功率

27第二十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期二随机过程通过乘法器

在通信系统中，经常进行乘法运算，所以乘法器在通信系统中应用非常广泛，下面我们计算平稳随机过程通过乘法器后，输出过程的功率谱密度。

思考：平稳随机过程通过乘法器后，输出过程是否仍是平稳随机过程呢？28第二十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期二图2-10平稳随机过程通过乘法器29第二十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期二设一平稳随机过程和正弦波信号同时通过乘法器，则其输出响应为

首先计算输出过程的自相关函数。由自相关函数的定义得

30第三十页，共五十三页，编辑于2023年，星期二31第三十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期二上式中，是输入平稳随机过程的自相关函数，它只与时间间隔有关。但由上式可知是时间t的函数，故乘法器的输出过程不是平稳随机过程。32第三十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期二为了求输出过程的功率谱，上式中第一项可按常规的傅里叶变换得到功率谱密度，但第二项却包含有和t两种时间变量，它的功率谱与t有关，这种与t有关的动态谱分析比较复杂，这里介绍一种求非平稳随机过程功率谱的近似方法。33第三十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期二

对于非平稳随机过程，其功率谱密度可表示为

式中，是输出过程自相关函数的时间平均值，所以34第三十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期二又由于

而的傅里叶变换就是乘法器输出响应的功率谱。即

35第三十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期二[例]随机过程，这里是均值为a、方差为的高斯随机变量，试求：（1）及的两个一维概率密度；（2）X(t)是否宽平稳；（3）X(t)的功率谱；（4）X(t)的平均功率。36第三十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期二解：（1），由题意知，是均值为a、方差为的高斯随机变量，则37第三十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期二同理，则（2）由（1）的结果表明，X(t)在t=0和t=1时均值不同，所以，其均值与t有关，不是常数。下面再求的X(t)自相关函数，即38第三十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期二可见，X(t)的自相关函数是t和的函数。综合（1）和（2）的结果知，X(t)不是宽平稳随机过程。（3）为求X(t)的功率谱，先对由（2）求出的自相关函数进行时间平均，即39第三十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期二

然后对上结果进行傅里叶变换，求出X(t)的功率谱为

平均功率为40第四十页，共五十三页，编辑于2023年，星期二[例]

带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为可见，输出噪声的功率谱密度在|ω|≤ωH内是均匀的，在此范围外则为零，通常把这样的噪声称为带限白噪声。带限白噪声41第四十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期二带限白噪声其自相关函数为由此可见，带限白噪声只有在τ=k/2fH(k=1,2,3,…)上得到的随机变量才不相关。即，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。带限白噪声的平均功率：42第四十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期二带限白噪声的功率谱和自相关函数带限白噪声43第四十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期二窄带随机过程随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带随机过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度Δf<<fc，且fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。可表示为：44第四十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期二窄带过程的频谱和波形示意窄带随机过程45第四十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期二aξ(t)及φξ(t)分别是ξ(t)的随机包络和随机相位，ξc(t)及ξs(t)分别称为ξ(t)的同相分量和正交分量，它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波cosωct的变化要缓慢得多。ξ(t)的统计特性可由aξ(t)，φξ(t)或ξc(t),ξs(t)的统计特性确定。反之，如果已知ξ(t)的统计特性则可确定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的统计特性。窄带随机过程46第四十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期二1同相和正交分量的统计特性

设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差为。可以证明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均值的平稳高斯过程，而且与ξ(t)具有相同的方差。

此外，在同一时刻上得到的ξc和ξs是互不相关的或统计独立的。窄带随机过程47第四十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期二2包络和相位的统计特性一个均值为零，方差为的窄带平稳高斯过程ξ(t)，其包络aξ(t)的一维分布是瑞利分布，相位φξ(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，aξ(t)与φξ(t)是统计独立的，即有下式成立：窄带随机过程瑞利分布48第四十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期二正弦波加窄带高斯噪声信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声