第二章-矢量分析课件

第一章矢量分析主要内容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理6学时0.

矢量及其运算标量场和矢量场矢量场的散度矢量场的旋度标量场的梯度亥姆霍姿定理06六月202311.0矢量及其运算

直角坐标系

矢量表示矢量代数矢量微积分06六月20232直角坐标系三变量xyz

坐标表示线元面元体积元

06六月20233

标量

一个只用它的大小就能完整的描述的物理量称为标量。如：时间、质量、温度、功、速率等。

矢量

一个有大小和方向的物理量称为矢量。如：力、速度、力矩等。矢量表示06六月20234几何法代数表示矢量表示单位矢量（unitvector）：

的模值：方向余旋：

06六月20235矢量加减法矢量代数06六月20236矢量乘积数乘标量积矢量代数06六月20237标量积结论单位矢量交换率分配率两矢量垂直的充分必要条件：标量积等于零。

矢量代数06六月20238矢量乘积数乘标量积矢量积矢量代数06六月20239矢量积结论

单位矢量交换率分配率：两矢量平行的充分必要条件：矢量积等于零。矢量代数06六月202310矢量函数矢量微积分矢量函数的导数

对空间坐标的导数06六月202311矢量微积分矢量函数的导数

对空间坐标的导数

对时间的导数矢量函数的积分

06六月2023121.1矢量场和标量场

场的概念标量场的等值线矢量场的矢量线06六月202313场的概念1.场的概念

任何物理过程总是在一定空间上发生，对应的物理量在空间区域按特定的规律分布。如：

电荷在其周围空间激发电场的分布电流在周围空间激发磁场的分布地球上太阳及其他原因激发温度的分布在空间区域上每一点有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了该物理量的场06六月202314标量场：若所研究的物理量是标量，这样的场称为标量场。如温度场、密度场、电位场等；矢量场：若所研究的物理量是矢量，这样的场称为矢量场。如速度场、引力场、电场、磁场等。标量场与矢量场06六月202315台湾海峡表面海水盐度分布福建省台湾岛06六月20231606六月202317场（field）是描述空间中所有点上的某一物理量的函数。静态场动态场

StaticfieldTime-varyingfield

标量场矢量场静态场与动态场06六月202318等值面空间内标量值相等的点的集合所形成的曲面。等值面方程

u（x,y,z）=C

（C

为任意常数）标量场的等值面06六月202319矢量场的矢量线为描述矢量场的方向和数值，除直接用矢量的数值和方向来表示矢量场外，还用矢量线来描述矢量场分布。所谓矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向为该点矢量的方向。06六月202320矢量线是这样的一些曲线，线上每一点的切线方向都代表该点的矢量场的方向。

矢量线的意义（矢量线的任一点的切向和Ｆ平行）

矢量线方程：06六月2023211.2矢量场的散度

通量散度高斯通量定理06六月202322矢量在场中某一个曲面上的面积分，称为该矢量场通过此曲面的通量。通量flowofflux

06六月202323通量可认为是穿过1S1面的矢量线的总数，故矢量线又叫通量线；模1F1等于在某点与1F1垂直的单位面积上通过的矢量线的数目，1F1又称为通量面密度矢量。>0(有正源)<0(有负源)=0(无源)通量

flowofflux

06六月202324通量是由1S1内的通量源决定，而通量是一个积分量，仅能说明较大范围内的源分布情况，而不能说明每一点的性质。引入散度概念。散度divergence定义：散度是通量对体积的变化率（单位体积内所穿出的通量），所以散度又称为通量源密度。06六月202325计算：散度divergence哈密顿（Hamilton）算子,06六月202326

散度的物理意义

矢量的散度是一个标量，是空间坐标

点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。•

A=0(无源）•A=0(负源)•A=0(正源)

在矢量场中，若•A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处•A=0，称之为无源场。散度

divergence06六月202327高斯通量定理已知：因为：为的体密度所以：高斯通量定理故：因为：为的体密度06六月202328例1.2-1点电荷位于坐标原点，在离其处产生的电通量密度为：其中，求任意点处电通量密度的散度；并求穿出以为半径的球面的电通量。解同理可得所以06六月202329

可见，除点电荷所在源点（）外，空间各点的D的散度均为0。接例1.2-1所以06六月202330

矢量场的环量

旋度

斯托克斯定理1.3矢量场的旋度06六月202331旋涡06六月202332该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源环量矢量F

沿空间有向闭合曲线L

的线积分环量circulation例：流速场06六月202333

环量密度过点P作一微小曲面S，它的边界曲线记为L，面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S点P时，存在极限环量密度取不同的路径，其环量密度不同。旋度rotation06六月202334

定义旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。它与环量密度的关系为：在直角坐标系下旋度rotation

计算06六月202335

旋度的物理意义1

旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数；某点旋度的大小是该点环量密度的最

大值；某点旋度的方向是该点最大环量密度

的方向；在矢量场中，若,称之为

旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源

(或涡旋源)；若矢量场处处

称之为无旋场。旋度rotation06六月202336旋度rotation

旋度的物理意义2

扽可得：若那么存在一个A使得（矢量磁位A）；

扽可得：若那么存在一个u使得（标量电位u）。06六月202337斯托克斯定理

(Stockes’Theorem)矢量函数的线积分与面积分的相互转化。图斯托克斯定理——斯托克斯定理

在电磁场理论中，高斯定理和斯托克斯定理是两个非常重要的公式。06六月2023381.4标量场的梯度

方向导数梯度06六月202339研究的是标量在某点沿某一方向的变化率问题(directionalderivative)。

方向导数lM0U计算：定义：06六月202340在这无穷多个方向中哪个方向的变化率最大？

定义：梯度gradient

06六月202341表明gradu在L方向上的投影正好等于函数u(x,y,z)在该方向上的方向导数，当gradu与L方向一致时，即：方向导数:。梯度gradient

那么，梯度gradu就是u(M)变化率最大的方向。06六月202342哈密顿（Hamilton）算子梯度gradient

06六月202343

梯度的物理意义1

标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数；梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即该点最大方向导数；梯度的方向为该点最大方向导数的方向,

即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。梯度gradient

06六月202344例1

三维高度场的梯度例2

电位场的梯度高度场的梯度

与过该点的等高线垂直；

数值等于该点位移的最

大变化率；

指向地势升高的方向。电位场的梯度

与过该点的等位线垂直；

指向电位增加的方向。

数值等于该点的最大方向导数；

三维高度场的梯度电位场的梯度梯度gradient

梯度的物理意义206六月202345例1.4-1求在M0（1，0，1）点沿的方向导数。梯度gradient

解：06六月202346例1.4-2求在M0（2，-1，1）点沿的方向导数。梯度gradient

解：或者：06六月2023471.5亥姆霍兹定理

亥姆霍兹定理矢量场的分类亥姆霍兹定理的意义06六月202348亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。（矢量F惟一地确定）电荷密度电流密度J场域边界条件在电磁场中已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件06六月202349矢量场的分类无旋场 或无源场或有旋场有源场

对于一个既有源又有旋的矢量场，可以看认为是一个有旋无源场和一个有源无旋场的叠加；06六月202350以上两式的含义：矢量场是由场的源所引起的，已知了散度源和旋度源就可以唯一确定续前06六月202351例试判断下列各图中矢量场的性质。00000006六月202352亥姆霍兹定理的意义亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。从微分形式入手：需研究其散度和旋度从积分形式入手：需研究其通量和环量研究手段06六月202353梯度、散度与旋度小结梯度结果为矢量方向导数散度结果为标量通量高斯定理旋度结果为矢量环量斯托克斯定理本章作业：1-1~1-21-4~1-51-7~1-9尝试思考：1-3、1-606六月202354第一章矢量分析主要