初中数学-3.2 确定圆的条件教学设计学情分析教材分析课后反思

设计思路：师生共同探索，经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．九年级数学《确定圆的条件》学案【学习目标】知识、能力、情感与技能本节课使学生了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。经历不在同一直线上的三个点确定圆的探索过程，培养学生的探索能力；通过探索体会解决数学问题的策略。3、培养学生观察、分析、概括问题的能力；体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；培养学生动手作图的准确操作的能力。【学习重点】了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。【学习难点】培养学生动手作图的准确操作的能力。【学习方法】教师指导学生自主探索交流法【学习过程】一、生活中的学问：一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？本节课我们将进行有关探索，怎样去补全。想一想：要确定一个圆必须满足几个条件?二、类比联想，提出问题同学们你还记得线段垂直平分线的性质吗？你还会线段垂直平分线作图吗生：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．1．确定一条直线的条件是什么？学生回答：两点确定一条直线．2．我们知道，两点确定一条直线，那么，对于圆来讲，是否也存在由几点确定一个圆的问题呢？学生思考，并进一步讨论：经过一个点A，是否可以作圆？如果能作，可以作几个？学生讨论回答后，请一名学生上黑板作图(如图)，并得出：经过一个点A作圆很容易，只要以点A外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数多个．经过两个点A，B如何作圆呢？能作几个？你准备如何(确定圆心,半径)作圆？同样，在学生讨论回答的基础上，再让一名学生上黑板作图，并得出：经过两个点A，B作圆，只要以与点A，B距离相等的点为圆心，即以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或点B的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数多个.(如图)同学们我们来看一下其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系？经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.三、动手实践，发现新知学生讨论，自己动手作图，这时，学生会发现：由于两点确定一条直线，因此三个点就有在同一直线上的三点和不在同一直线上的三个点两种情况．(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的在线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点在线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？过不在同一条直线上的三点作圆．作法图示1．连结AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆他作的圆符合要求吗？与同伴交流．[生]符合要求．因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的交点满足条件．提问：过如下三点能不能做圆?为什么?AABC[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．由此我们得到：不在同一直线上的三个点确定一个圆．注意：“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”．现在我们再来看一看，由于任意一个三角形的三个顶点都不在同一直线上，所以由定理可知，经过三角形三个顶点可以作且只能作一个圆．定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的。BACBACABC锐角三角形直角三角形钝角三角形比较这三个三角形外心在位置上有什么特点，你的发现？由上面作图方法可以看出：三角形的外心是三角形三边中垂线的交点．现在你知道了怎样将一个破损的瓷器复原了吗？四、应用举例，巩固新知1、下面四个命题中真命题的个数是（C）①经过三点一定可以做圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个A（2010•兰州）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．BC2、小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．A（2010•兰州）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．BC五、小结(1)这节课我们主要学习了哪些具体内容？(2)解决过已知点作圆的关键？(3)学习本节知识需要注意哪些问题？教师小结：(1)本节课我们主要学习了经过不在同一直线上的三点作圆的问题．(2)我们在分析过已知点作圆的问题时，紧紧抓住对圆心和半径的探讨．已知圆心和半径就可作一个圆，这是从圆的定义引出的基本思想，因此作圆的问题，是如何根据已知条件找圆心和半径的问题．由于作圆要经过已知点，如果圆心的位置确定了，圆的半径也就随之确定．因此作圆的问题就又变成了找圆心的问题．(3)学习本节定理，必须注意强调三个点的位置关系，只有当三个点不在同一直线上时，才能确定一个圆，笼统地说“三点确定一个圆”是不确切的．关于“内接”与“外接”这两个术语，学生常常混淆不清，应指出，“内”与“外”是相对的概念，以一个图形为准，说明另一个图形是在它的里面或外面，这样内外关系即可自明．六、知识拓展，课后提升：1、填空题（1）一个直角三角形斜边长，则这个三角形外接圆的半径；（2）在Rt△ABC中，，直角边长a、b是方程x2－7x＋12＝0的两个根，则Rt△ABC的外接圆的半径是，面积为。（3）△ABC的外心是它的两条中线的交点，则△ABC的形状是；2、选择题（1）下列命题不正确的是（）A.过一点有无数个圆.B.过两点有无数个圆.C.弦是圆的一部分.D.过同一直线上三点不能画圆.（2）下列命题正确的是（）A三点确定一个圆B三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点C圆有且只有一个内接三角形D三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点。（3）三角形的外心具有的性质是（）A.到三边的距离相等.B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外.D.外心在三角形内.（4）等边三角形边长是m，则它的外接圆的直径是（）ABCD3、小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．

（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．学生的知识技能基础：通过本章前面几节课的学习，学生知道经过一点可以画无数条直线，经过两点有且只有一条直线等知识。同时具备了用尺规作“线段垂直平分线”等操作技能，掌握了“线段垂直平分线的性质”。学生活动经验基础：在经过点画直线等知识的学习过程中，学生具备了一定的合作精神和探究能力，具有一定的分类讨论的数学思想方法和类比方法。通过达标测试及课后延伸最后所得结果来看，学生的掌握状况比较理想，基本达成了课前预订的学习目标。学生理解了三角形的外接圆，圆的内接三角形，内心定义，深刻体会到了用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；通过对问题情境的讨论，学生在实际生活中的问题意识有所提高，加强对“数学建模”的思想的应用，增强了学生对数学这门学科的学习兴趣。本节课的内容是第一节内容的延续，学生已积累了画一个圆的经验。基于以上两点，提出本课的具体学习任务：=1\*GB3①经过一点、两点、三点能否作出圆、能作出几个圆。=2\*GB3②了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念，但本课内容从属于“空间与图形”的教学目标：认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性及结论的确定性。同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。1、填空题（1）一个直角三角形斜边长，则这个三角形外接圆的半径；（2）在Rt△ABC中，，直角边长a、b是方程x2－7x＋12＝0的两个根，则Rt△ABC的外接圆的半径是，面积为。（3）△ABC的外心是它的两条中线的交点，则△ABC的形状是；2、选择题（1）下列命题不正确的是（）A.过一点有无数个圆.B.过两点有无数个圆.C.弦是圆的一部分.D.过同一直线上三点不能画圆.（2）下列命题正确的是（）A三点确定一个圆B三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点C圆有且只有一个内接三角形D三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点。（3）三角形的外心具有的性质是（）A.到三边的距离相等.B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外.D.外心在三角形内.（4）等边三角形边长是m，则它的外接圆的直径是（）ABCD3、小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．

（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．本节课教学中，首先我从一个实际背景的问题引出学习主题，这有助于展现数学与现实的联系，激发学生的学习兴趣和热情，为本节课后面的探究活动提供动力。第二、注意数学思想的渗透，从经过一点、两点、三点画直线过渡到经过一点、两点、三点能作几个圆？它可以培养学生一种类比归纳的思维方法，对学生探究本课的问题有一个很好铺垫和引导作用。第三、重视展现数学知识的形成和应用过程本节课教学中通过学生的探究活动，使学生亲身感受结论的形成过程和结论的确定性。通过经历知识的形成与应用过程，从而让学生体验教学活动的乐趣，将有利于学生更好地理解数学、应用数学，增强学好数学的信心。第四、相信学生并为学生提供充分的探究和展示自己的机会在教学中，我注意充分调动学生学习的积极性，引导学生积极参与交流、讨论，大胆发表自己的观点，并走上讲台展示自己的方法。学生学的较为轻松，愉快。第五、注意的方面（1）学生的探究活动时间要得到保证，让学生真正成为学习的主人，教师只是组织者、引导者，不要用教师的讲来代替学生的做。（2）线段中垂线的性质与找三角形的外心的相互关系有少数学生理解得还不是很透彻，今后在进行“线段中垂线”的教学时仍要加以改进。义务教育阶段的数学课程要求突出体现基础性、普及性、发展性，使数学面向全体学生。实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。新课程标准对《对圆的进一步认识》的要求：二\（一）\5\(1)理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；了解点与圆的位置关系.二\（二）\1\（3）掌握圆的轴对称性