2020届全国高三数学二轮复习(理)《离散型随机变量的均值和方差》训练

2020届高三数学二轮复习(理)《离散型随机变量的均值与方差》专题训练

选择题(本大题共12小题)

1.设随机变量X的分布列如下：

X012

13

pa

510

则E(X)的值为()

971113

A.B.C.D.

10101010

2.已知随机变量X的分布列如图所示，则E(6X+8)=()

X123

p0.20.40.4

A.13.2B,21.2c,20.2D,22.2

3.随机变量X的概率分布为尸(X二-ri)-=——("=1,2,3),其中“是常数，则

〃2+〃

D(aX)=()

3860815252

A.B.~C---D—

81729'243'27

137

4.已知X是离散型随机变量，尸(X=l)=z，P(X=a)=y(X)="则

O(2X-1)=()

1313

A.-"B.-7C.TD.—,

5.已知随机变量匕的分布列如下，则E«)的最大值是()

1-10a

11

P—+Q--b

424

55119

6.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P,各成员的支付方式相互独立，设

X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，Z)X=2.4,P(X=4)<P(X=6),则

)

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

7.已知离散型随机变量X服从二项分布X〜8（",p）,且E（X）=4,D（X）=q,

11

则一+一的最小值为（）

pq

59

A.2B.—C.—D.4

24

8.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否

则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为。（0＜。＜1）,发球次数为

X,若X的数学期望E（X）＞1.75,则p的取值范围为（）

9.已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，

乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为自，则属=

（）

141378

A.--B.■-C.-D.—

5533

10.小明参加趣味投篮比赛，每次投中得1分，投不中扣1分.已知小明投球命中的

概率为0.5,记小明投球三次后的得分为n,则I）的值是（）

333

A.BD.3

8-4C2

11.甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局

（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是P,随机变量X表示最终的比赛局数，

C1

若o＜p＜W，则（）

A.£（%）=-B,£（%）＞—C.£＞（%）＞-D,D（X）＜—

28481

12.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人

比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为2,乙在每局中获胜的

3

概率为：，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数&的期望后（）为（）

A.241B.266c,274D.670

818181243

填空题（本大题共4小题）

13.已知随机变量X取值为0、1、2,若P（X=0）=；E（X）=l,则D（X）=

14.已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器

为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为

15.一个盒子中有大小、形状完全相同的，”个红球和6个黄球.从盒中每次随机取出一

个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X,若E（X）=J,则机的

值为.

16.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验

活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为P,各株是否成活相互独立.该学校的某

班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差

DX=2A,P（X=3）＜P（X=7）,则。=.

三.解答题（本大题共6小题）

2

17.甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关.甲能攻克的概率为乙能攻

34

克的概率为了，丙能攻克的概率为二.

45

（1）求这一技术难题被攻克的概率；

（2）若该技术难题末被攻克，上级不做任何奖励；若该技术难题被攻克，上级会奖励

。万元.奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金。万元；若只有2人

攻克，则奖金奖给此二人，每人各得g万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每

人各得三万元.设甲得到的奖金数为X,求X的分布列和数学期望.

18.为迎接“五一”节的到来，某单位举行“庆五一，展风采”的活动.现有6人参加其

中的一个节目，该节目由A8两个环节可供参加者选择，为增加趣味性，该单位用电

脑制作了一个选择方案：按下电脑键盘石〃招尸键则会出现模拟抛两枚质地均匀骰子的

画面，若干秒后在屏幕上出现两个点数〃和，"，并在屏幕的下方计算出

d-y[n21777的值.现规定：每个人去按*〃招尸键，当显示出来的d小于2M时则

参加A环节，否则参加8环节.

（1）求这6人中恰有2人参加该节目A环节的概率；

（2）用X,Y分别表示这6个人中去参加该节目A8两个环节的人数，记

&=IX-FI,求随机变量&的分布列与数学期望.

19.大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/

千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了

确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理得下

表：

日需求量140150160170180190200

频数51088775

以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.

（1）求该超市A水果日需求量〃（单位：千克）的分布列；

（2）若该超市一天购进4水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X（单

位：元），求X的分布列及其数学期望.

20.由于《中国诗词大会》节目在社会上反响良好，某地也模仿并举办民间诗词大

会，进入正赛的条件为：电脑随机抽取10首古诗，参赛者能够正确背诵6首及以上的

1

进入正赛.若诗词爱好者甲、乙参赛，他们背诵每一首古诗正确的概率均为受.

(1)求甲进入正赛的概率.

(2)若参赛者甲、乙都进入了正赛，现有两种赛制可供甲、乙进行PK,淘汰其中一

人.

赛制一：积分淘汰制，电脑随机抽取4首古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1

2

分.由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为耳，乙背诵每首古诗正确的概率为

1

3,设甲的得分为X,,乙的得分为X

312

赛制二：对诗淘汰制，甲、乙轮流互出诗名，由对方背诵且互不影响，乙出题，甲回

答正确的概率为0.3,甲出题，乙回答正确的概率为0.4,谁先背诵错误谁先出局.

(i)赛制一中，求甲、乙得分的均值，并预测谁会被淘汰；

(ii)赛制二中，谁先出题甲获胜的概率大？

21.为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质

优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试

验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，

丙的自然成活率均为0.9,且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立

(1)试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X,求X的分

布列和数学期望；

(2)试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买〃尾乙种鱼苗进行大面积养殖，

为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产

生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利

10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至

少购买多少尾乙种鱼苗？

22.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过

1kg的包裹，除1kg收费io元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg时按

1kg计算）需再收5元.公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：

(0,11(1,21(3,4](4,5]

包裹重量（单位：kg）(2,31

包裹件数43301584

公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下:

[(),100)1100,200)[200,300)boo,400)[400,500]

揽件数

天数6630126

以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率

（1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在1100,400）的概率；

（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；

（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他

费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100

元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数

学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？

（注：同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）

参考答案

选择题：本大题共12小题.

题号123456789101112

答案CBBBBBCAABDB

填空题:本大题共4小题.

、2

13.—

5

14.3500

15.14

16.0.7

三.解答题：本大题共6小题.

2341一$1159

)(1)(1

17.【解析】（1）3-4-5—x—=

4560

aa

（2）X的可能取值分别为0,7,2,a

7111

p(X=a)=-x-x-

34530

18.【解析】（1）依题意得，由屏幕出现的点数"和"，形成的有序数对5,团），一共

有6x6=36种等可能的基本事件

符合4<2加的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1)共24种

2421

所以选择参加4环节的概率为P=—3'选择参加5环节的概率为a=]

136

（2丫

所以这6人中恰有2人参加该节目A环节的概率尸=。2—

6⑴

（2）依题意得自的可能取值为0246

pg=0)=p(x=3)=C3

6

(1¥2、4(1¥300

，(&=2)=p(X=2)+p(X=4)=C2k+C4

6\3J63J同729

p(g=4)=p(X=1)+p(X=5)=Ci

6洲+啕出嗡

〃化=6)=p(X=0)+p(X=6)=Co

16IJ°HI

所以1的分布列为

10246

16030020465

P

729729729729

数学期望EG)=0X2^2+2X222+4X理+6*色=垩

729729729729243

19.【解析】（1）〃的分布列为

n140150160170180190200

P0.10.20.160.160.140.140.1

（2）若A水果日需求量为140千克，

贝ijX=140x（15—10）—（150—140）x（10-8）=680元，

且P（X=680）=前■=0.1.

若A水果日需求量不小于150千克，

则X=150x（15—10）=750元，且尸（X=750）=1—0.1=0.9.

故x的分布列为

X680750

P0.10.9

E（X）=680x0.1+750x0.9=743元

20.【解析】（1）甲进入正赛的概率为P=C；）（；）io+C1（；）io+L+Cio（l）io,

Q。6+。7+。8+。9+C*io=C。+C।+L+。4=386,

1010101010101010

（1V0193

口甲进入正赛的概率P=386x—=-

⑶512

(2)(i)由题意，甲乙两人的得分均有可能为8分，5分，2分,1分，4分.

P(x「8)=C：令=导P(x「5)=C3(|)3(1).=言,

尸（X=2）=C2（|）2（|）2=^,P（X=-l）=a（|）l（|）3=|l^

1455625I455625

381

尸（x=-4）=CO（_）4=_,

I45625

EL（/x、）=。8x--1-6-+5ux--9-6-+2cx--2-1--6-l,x--2-1-6--4，x--8-1--=_4

I6256256256256255

iii2R

P（x=8）=C4（_）4=—,p（x=5）=C3（-）3（-）.=—,

24、8124、3381

i2R1732

P（x=2）=C2（_）2（_）2=_,P（X=-l）=C3（-）l（-）3=—,

24V37272437'3，81

P（x=-4）=Co（3）4=3

24、381■

j、c1u8c8,32，16八

E（x）=8x_+5x_+2x__lx__4x_=0

28181278181

QE(5)〉E(x,),.,.乙可能被淘汰.

(ii)甲先出题且甲获胜的概率：

P=0.6+0.4x0.3x0.6+(0.4>x(0.3)2x0.6+(0.4>x(0.3>x0.6+...,

I

此为等比数列求和，《=£(1-0.12")

乙先出题且乙获胜的概率：

P=0.7+0.3x0.4x().7+(0.3)2x(0.41x0.7+(0.3)x(0.4)x0.7+…,

2

3535

此为等比数列求和，P=—(l-0.12»)«—,

24444

359

则甲获胜的概率约为1—77=,.

4444

c159

Qk>。，；•甲先出题甲获胜的概率大•

21.【解析】（1）记随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

则P(X=0)=0.2x0.1x0.1=0.002,

P(X=1)=0.8x0.1x0.1+0.2x0.9x0.1+0.2x0.1x0.9=0.044,

p(X=2)=0.8x0.9x0.1+0.8x0.1x0.9+0.2x0.9x0.9=0.306,

P(X=3)=0.8x0.9x0.9=0.648.

故X的分布列为

X0123

P0.0020.0440.3060.648

E（X）=0x0.002+1x0.044+2x0.306+3x0.648=2.6.

（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9,

依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.9+0.1x0.5=0.95,

所以一尾乙种鱼苗的平均收益为10x0.95-2x0.05=9.4元.

设购买〃尾乙种鱼苗，2〃）为购买〃尾乙种鱼苗最终可获得的利润，

则E（〃）=9.4〃..376000,解得〃..40000.

所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元.

22.【解析】（1）样本中包裹件数在11。0,4（）0）内的天数为48,频率为普=2,

可估计概率为未来3天中，包裹件数在h（）（），400）间的天数X服从二项分布,

（4、（4V1