2017-2021北京重点校高一（上）期中数学汇编：指数函数的图像和性质

2017-2021北京重点校高一（上）期中数学汇编

指数函数的图像和性质

一、单选题

32

1.（2021•北京八中高一期中）设q=i/=（£|[c=（£|5,则“，b,c的大小关系是（）

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

2.（2021•北京市十一学校高一期中）已知函数丫=优、y=h\y=c\y=小的大致图象如下图所示，则下列不

等式一定成立的是（）

3.(2021•北京市陈经纶中学高一期中)若〃=20-5,。=2叫c=06,则〃、匕、c的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.a<c<bD.c<a<b

4.(2020•人大附中高一期中)若指数函数/0)=优的图像与射线3x-y+5=0（X...-1）相交，贝I」（）

A.G|0,—B.〃£二」)

I2」L2)

C.a&J,l)u(l,+co)D.u(l,+oo)

5.(2019•北京・汇文中学高一期中)已知函数/(X)=G+6的图象如图所示，则函数g（x）="+方的图象可能是

()

[Z

节

------1-4--1-----1—

,一“[-------1]-

212

6.（2019•北京市陈经纶中学高一期中）若〃=（1,力=（|。c=（|「则（

）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<a<c

7.（2018.北京师大附中高一期中）若则（）

A.au<a"<baB.aa<ba<abC.ah<aa<baD.ab<ba<aa

2

8.（2018•北京・北师大实验中学高一期中）已知函数=则函数词（x+1）的图象大致是（）

9.（2018•北京市H—学校高一期中）设"=%2,%=，”（J，则（）•

A.a<b<cB.a<c<bC.h<c<aD.b<a<c

03

10.（2017•北京八中高一期中）设a=0.32,b=log20.3,c=2,则。、b、。的大小关系是（）.

A.c<h<aB.b<c<aC.a<h<cD.h<a<c

11.（2017•北京八中高一期中）函数/*）的图象向右平移一个单位，所得图象与＞=2、的图象关于V轴对称，则

/（x）=.

A.2t+,B.C.D.2-x+1

二、双空题

x+a,-2<x<0

12.（2019•北京市第十一中学高一期中）设函数/（x）='0,0"<l则

①福）

②若/（X）有最小值，且无最大值，则实数。的取值范围是

三、填空题

13.（2021•北京市十一学校高一期中）下列函数中，值域为R且为奇函数的有.

①②y=l③)=》」④y=2*⑤y=x|x|

x

14.(2019•北京・汇文中学高一期中)函数/(x)=，2'-2的定义域为.

15.(2018•北京市H^一学校高一期中)函数产立二？的定义域是.

四、解答题

16.(2021•北京市H^一学校高一期中)已知定义在R上的奇函数f(x)=(a+l)2*+(a-l)2T.

⑴求。的值：

(2)用单调性的定义证明/&)的单调性；

⑶若对于VfeR,不等式〃产=2f)+f(2产一女)>0恒成立,求％的取值范围.

17.(2019•北京市陈经纶中学高一期中)已知〃刈=。2-，(“>0且awl)在区间口,2］上的最大值与最小值之和为

a2-1,g(x)-x2-abx-a+b,其中beR.

(1)直接写出/(力的解析式和单调性；

(2)若g(x)N-l-反对也<1恒成立，求实数b的取值范围：

(3)设。={x|04x42},若叫e。，使得对都有了(占)々伍)，求实数b的取值范围.

18.(2018•北京•首都师范大学附属中学高一期中)定义在［-4,4］上的奇函数/('),已知当xe［-4,0］时，

〜、1a

/(无)二”+于

43

⑴求/(x)在。4］上的解析式；

⑵若玉日-2,-1］使不等式/⑴唠-表成立，求实数〃?的取值范围.

19.(2018•北京师大附中高一期中)已知函数/(X)=2*T.

(1)求函数/(*)的定义域；

(2)判断函数/(x)的奇偶性，并证明；

(3)解不等式/(x)*4.

20.(2018•北京市十一学校高一期中)求下列各式的值.

21og53

(1)31og32-log3y+log35-5.

I

(2)(0.25产+(1)3-625°-25-

(3)设21=3V=5：=30,求，+，+，的值.

xyz

参考答案

1.D

【解析】

根据指数函数的单调性比较函数值的大小即可.

【详解】

根据指数函数的单调性性质可知，函数=在R上为单调增函数

”即同>八。)

由题知，a=l=/(0),6=/(1),c=/(|)

：.b>c>a,选项D正确.

故选：D.

2.B

【解析】

如图，作出直线x=l,得到即得解.

【详解】

如图，作出直线x=1,得至！Jc>d>l>a>6,

所以b+d<a+c.

故选：B

3.D

【解析】

利用指数函数比较。、从1三个数的大小关系，利用指数函数的单调性比较。与1的大小关系，由此可得出。、b,

c的大小关系.

【详解】

­.-20<>>2(,-5>2°-1，即b>a>l,又,.•C=0.62<0,6°=1,因此，c<a<b.

故选：D.

4.D

【解析】

分和两种情况结合指数函数的图象，射线的端点进行分析求解即可

【详解】

当x=-1时，代入射线得y=2,

若指数函数〃x)="的图象过第一、二象限，且单调递减，要使指数函数的图象与射线有交点，则当

x=-l时，y=a'>2,所以0<aV；,

若。>1,则可知两图象在第一象限一定有交点，

综上，或a>l,

故选:D

5.B

【解析】

由函数f(x)=ar+b的图象可得a>l,b<-\,从而可得g(x)=优+。的大致图象.

【详解】

由f(x)=ar+。的图象可得f(O)=b<-l,f(1)=a+b>0,

所以。>1,b<—lt

故函数g(x)=a'+匕为增函数，相对了=优向下平移大于1个单位

故选：B

6.C

【解析】

利用指数函数)=(|］的单调性可得出6、。的大小关系，利用基函数>在区间(0,+8)上的单调性可得出a、

的大小关系，从而可得出。、h.c的大小关系.

【详解】

22

指数函数y=(|)为减函数，所以，图%(等,即b>c,

22

幕函数),=)在区间(°，+8)上为增函数，所以，即"<屐

因止匕，a<c<h.

故选：C.

【点睛】

本题考查指数幕大小的比较，考查了指数函数与辱函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.

7.C

【解析】

根据指数函数=的单调性得4。的大小关系和取值范围，构造函数g(x)=a,,/z(x)=x〃即可进行比较.

【详解】

指数函数/(X)=(g)单调递减，

I<、j<出“<1,即/(1)<2)</⑷</⑼，

所以Ovacbcl,

h

所以指数函数g(x)=优是减函数,g[b}<g[a),a<a">

考虑暮函数/i(x)=£在xw(O,田)单调递增,h(a)<h(b),即/<父，

综上所述：ah<a1'<h".

故选：C

【点睛】

此题考查比较指数基的大小关系，关键在于构造恰当的指数函数或塞函数，结合单调性比较大小.

8.B

【解析】

根据题意，先求『(X+1)的表达式，可得f(x+l)=(|)⑹=|.(|)工，进而分析可得f(x)单调递减，且其图象与y

轴交点在(0,1)之下，比较选项可得答案.

【详解】

根据题意，可得/(X+1)=($,”=|・(|)*，/(X)单调递减；

22

同时有〃0)=5<1,-<1,即函数图象与y轴交点在(0,1)之下；

A、力选项的图象为增函数，不符合；C选项的图象与y轴交点在(0,1)之上，不符合；

只有B的图象符合两点，

故选B.

【点睛】

本题考查指数函数的性质和函数图象的变化，掌握指数函数的性质是解题的关键.

9.B

【解析】

分析：分别根据对数函数和指数函数单调性判断大小.

详解：由对数函数和指数函数的性质可知："=1°8[2<1。8「=0,/,=(：)=1,0<c=(；J<(£]=1，

a<c<b.

故选B.

点睛：比较两个函数值或两个自变量的大小时，常利用函数单调性，有时还需借助第三个数如0,1,进行比较大

小.

10.D

【解析】

03

,.・4=0.32£(0,1)；Z?=log20.3e(-co,0),c=2e(l,+oo),

•:b<a<c,

，选择D.

11.C

【解析】

函数y=2*关于y轴对称的函数为丫=I

将y=2-，向左平移1个单位对应的解析式为：y=2一(，⑴，

A/(x)=2'x-',选择C.

【解析】

①将x=；代入对应解析式即可得到结果；

②分别求得“X)在-2<x<0和04x<l时的值域，由/(x)有最小值，无最大值可构造不等式组求得结果.

【详解】

②当—24x<0时，f(x)=x+ae[a-2,a)；当04x<l时，/(x)=(g)ef-,1

”(x)有最小值，无最大值，，一？力解得：入小

即实数”的取值范围为］，|.

故答案为：交；.

2I2」

13.②③⑤

【解析】

根据奇偶函数的定义及常见函数的性质即得.

【详解】

对于①，y=lx|为偶函数，故①错误；

对于②，y=V为奇函数且值域为R,故②正确；

对于③，y=x-2为奇函数且值域为R,故③正确;

对于④，)，=2•'为非奇非偶函数，故④错误;

对于⑤，y=x|x|=『X>一()八为奇函数且值域为R,故⑤正确.

[-%-,%<0

故答案为：②③⑤.

14.(1,-H»)

【解析】

试题分析：要使原式有意义需满足2,-220,即2,22nx21

故函数/(幻的定义域为U,”)

考点：函数的定义域.

15.[0,+00)

【解析】

根据偶次方根的被开方数大于等于零，得到不等式，再根据指数函数的性质解不等式即可得函数的定义域.

【详解】

解：由题意可得2,-1..0,

解不等式可得x.O

所以函数的定义域是[0,M),

故答案为：曲内)

【点睛】

本题考查了求函数的定义域的最基本的类型：偶次根式型：被开方数大于(等于)0,还考查了指数不等式的解

法.属于基础题.

16.⑴。=0

(2)单调递增，证明见解析.

⑶c

【解析】

(1)由奇函数/(。)=0列方程，可求出〃；

(2)先判断/")在H上单减，利用单调性的定义可证明；

(3)利用f(x)=2*q为奇函数及在R上单增，将不等式转化为『_2/>-2产+&对任意WeR恒成立，利用分离参

数法求出k的范围.

(1)

解：；f(x)=(a+l)2v+(a-l)2-(为定义域为R的奇函数，

，/(0)=(a+1)2°+(a-1)2"=2。=0,所以。=0.经检验成立

(2)

解：由(1)知：fM=2x--,则/(x)在R上单增，下面进行证明：

任取西,々€氏，且不<刍,

Vy=2*为增函数，X,<x2,2*2>2*,2*>0,2->0,

二(2"-2-)卜表)<0,“⑷</(&),

二/(工)在R上单增.

(3)

解：・••/。)=2，-5为奇函数，

•••对任意VtwR,不等式f(t2-2t)+/(2产-%)>0恒成立可化为：

/(r-2f)"(-2/+Q对任意VrwR恒成立，

又f(x)在R上单增，不等式等价于尸一2，>-2r对任意VfwR恒成立,即4<3产-2/恒成立.

记g«)=3/一2r,rteR,只需％<g(，)min

g(。=3/-2z=3(r—g,所以&<一§,

所以k的取值范围是18,-g).

【点睛】

方法点睛：(1)函数奇偶性的应用：①一般用/")=-/。)或/(x)=f(-x)；②有时为了计算简便，我们可以对x取

特殊值：/(D=-/(D或/(D=/(-I);

(2)证明函数的单调性一般用：①定义法；②导数法；

(3)分离参数法是解决恒(能)成立问题的常用方法.

17.(1)/(X)=22-\减函数;(2)［2,同；(3)-1,6.

【解析】

(1)分0<a<l和〃>1两种情况讨论函数y=/(x)在区间［1,2］上单调性，得出/(1)+〃2)=〃-1,可解出实数a的

值，并判断出函数y=〃x)的单调性；

(2)由g(x)2-1-桁，可得出Y-加+〃_120对任意的实数X<1恒成立，由参变量分离法得出bNx+1,求出

x+1的取值范围，即可得出实数匕的取值范围；

(3)由题意可得了⑴皿之8(项2求出函数y=/(x)在区间［0,2］上的最大值，然后分b与1的大小关系，求出函

数y=g(x)在区间［0,2］上最大值g(x)a,然后解出不等式y(x)11Hx2g(x)a即可得出实数/,的取值范围.

【详解】

(1)当0<”1时，函数=在区间［1,2］上为增函数；

当“>1时，函数=在区间［1,2］上为减函数.

由题意可得，(1)+，(2)=。+1=。2-1,即42-0-2=0,

•”>0且解得a=2,.•"(力=22、则函数y=f(x)为减函数；

(2)由(1)可得g(x)=x~—2Zzr—2+。，由g(x)N—1—6x,HPx2—2hx—2+h>—l—hxtBPx2—bx+h—\>0,即

(x-l)(x+l-6)20对任意的x<l恒成立，即。Nx+1.

,：.x+l<2,：.b>2,因此，实数b的取值范围是；

(3)•.・函数〃X)=22T在区间［0,2］上单调递减，贝U/(x)a="())=4.

由题意可得，“Huzga)皿.

二次函数g(x)=d-次-2+人的图象开口向上，对称轴为直线x=b.

当HI时，且当xe［0,2］时，g(x)3=g(2)=2—36,则3—3b44,解得此一；，止匕时一；小41；

当人>1时，且当xe［0,2］时，g(xL*=g(O)=b—2,贝ij2W4,解得646,此时1446.

综上所述，实数6的取值范围是46.

【点睛】

本题考查利用指数型函数的最值求参数，同时也考查了二次不等式在某区间上恒成立，以及函数不等式与全称命

题、特称命题的综合问题，转化为函数的最值求解是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

18.(l)/(x)=3x-4(

(2)［5,+oo)

【解析】

(1)结合奇函数在原点有意义时，有/(。)=0,即可求出。的值，然后根据奇函数的定义即可求出结果；

(2)参变分离后构造函数g(x)=(£j+2.(g)，根据函数g(x)的单调性即可求出最小值，从而可以求出结果.

(1)

(1)因为/(x)是定义在Hk4］上的奇函数，xe［-4,0］时，〃尤)=5+/,

所以，(0)』+右=0,解得」=-1,

所以xc［-4,0］时，=

当xe［0,4］时，-xe［-4,0］,

所以/(T)=*-±=4'-3',

又/(-X)=-/(X),

所以-/(%)=4*-3*,f(x)=3x-4',

即〃X)在［0,4］上的解析式为f(x)=3*-4*.

(2)

因为xe［-2,—l］时，f(x)=3-±,

43

所以/⑶4-与可化为《-白4-4，整理得机」+罩=仕［+2］2］，

2X3*14"y2Xy12*3*1^2)UJ

令g(x)=(g)+21g)，根据指数函数单调性可得，

y=(：J与y=(|J都是减函数，

所以g(X)也是减函数，

g(x)m「g(T)=(£)+2-(|)=5,

所以，“25,

故实数”的取值范围是［5,y).

19.(1)R；(2