高中数学典型例题解析三角函数3

第三章基本初等函数Ⅱ（三角函数）3.1任意角三角函数一、知识导学1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.2．弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值，其中是以作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.3．弧度与角度的换算：；；1.用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度不可省略.4．弧长公式、扇形面积公式：,其中为弧长，为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当时的情形.5．任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是，它与原点的距离是，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是.这六个函数统称为三角函数.6．三角函数的定义域三角函数定义域RR7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.二、疑难知识导析1．在直角坐标系内讨论角（1）角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.（2）与角终边相同的角的集合表示.，其中为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差整数倍.2．值得注意的几种范围角的表示法“0～间的角”指；“第一象限角”可表示为；“小于90的角”可表示为.3．在弧度的定义中与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关.4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P坐标中必有一个为0.5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与的同名三角函数值相等；（2），故有，这是三角函数中最基本的一组不等关系.6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？三、经典例题导讲[例1]若A、B、C是的三个内角，且，则下列结论中正确的个数是（）①.②.③.④.A．1B.2C.3D.4错解：∴，故选B错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误正解：法1在中，在大角对大边，法2考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A.[例2]已知角的终边关于轴对称，则与的关系为.错解：∵角的终边关于轴对称，∴+，（错因：把关于轴对称片认为关于轴的正半轴对称.正解：∵角的终边关于轴对称∴即说明：（1）若角的终边关于轴对称，则与的关系为（2）若角的终边关于原点轴对称，则与的关系为（3）若角的终边在同一条直线上，则与的关系为[例3]已知，试确定的象限. A． B． C． D．2．角α的终边与角β的终边关于y轴对称，则β为（）A.-αB.л-αC.（2kл+1）л-α(k∈Z)D.kл-α（k∈Z）3.若sinαtgα≥0,k∈Z，则角α的集合为（）A．[2k－，2k+]B.(2k－,2k+)C.(2k－，2k+)∪D.以上都不对4．当0＜x＜时,则方程cos(cosx)=0的解集为()A.B.C.D.5．下列四个值:sin3,cos3,tg3,ctg3的大小关系是()A.cos3＜tg3＜ctg3＜sineB.sin3＞cos3＞tg3＞ctg3C.cot3＜tan3＜cos3＜sin3D.sin3＞tan3＞cos3＞cot36．已知x∈(0,),则下面四式:中正确命题的序号是.①sinx＜x＜tgx②sin(cosx)＜cosx＜cos(sinx)③sin3x+cos3x＜1④cos(sinx)＜sin(cosx)＜cosx7．有以下四组角：(1)k+EQ\F(π,2)；(2)k-EQ\F(π,2)；(3)2k±EQ\F(π,2)；(4)-k+EQ\F(π,2)(k∈z)其中终边相同的是（）A.(1)和(2)B.(1)、(2)和(3)C.(1)、(2)和(4)D.(1)、(2)、(3)和(4)8．若角α的终边过点(sin30°，-cos30°),则sinα等于（）A.EQ\F(1,2)B.－EQ\F(1,2)C.－EQ\F(EQ\R(3),2)D.－EQ\F(EQ\R(3),3)9．函数y=的定义域是______,值域是______.3.2三角函数基本关系式与诱导公式一、知识导学1．同角三角函数的基本关系式平方关系：；商数关系：；倒数关系：同角三角函数的基本关系式可用图表示（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方；（2）对角为倒数关系；（3）每个三角函数为相邻两函数的积.2．诱导公式()角函数正弦余弦记忆口诀函数名不变符号看象限－－－－－函数名不变符号看象限－－－诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”.3．诱导公式解决常见题型（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.二、疑难知识导析1．三角变换的常见技巧“1”的代换；，，三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式）；2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；3．已知角的某个三角函数值，求角的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.三、典型例题导讲[例1]已知__________错解：两边同时平方，由得∴解得：或解得：错因：没有注意到条件时，由于所以的值为正而导致错误.正解：两边同时平方，有求出∴[例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B为锐角且a＞1,0＜b＜1，求tanA的值错解：由得tanA=tanB错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示正解：由①2+②2得a2sin2B+b2cos2B=1∴cos2B=∴sin2B=∴tan2B=∵B为锐角∴tanB=得tanA=tanB=[例3]（05年高考重庆卷）若函数的最大值为2，试确定常数a的值.点评：本试题将三角函数“”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础.[例4]（05年高考北京卷）已知=2，求（1）的值；（2）的值．解：（1）∵tan=2,∴;所以=；（2）由(I),tanα=－,所以==.点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确.[例5]化简：错解：原式错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误.正解：原式（1）当，时原式+=0（2）当，时原式++=0[例6]（05年高考江苏卷）若，则=（）A．B．C．D．错解：===1—2=错因：诱导公式应用符号错.正解：==—=—1+2=—.故选A.[例7]．（05年高考福建卷）已知.（1）求sinx－cosx的值；（2）求的值.解法一：（1）由即又故（2）①②解法二：（1）联立方程①②由①得将其代入②，整理得故（2）点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.[例8](1)化简：EQ\F(sin2α,sec2α－1)＋+cos2αcsc2α(2)设sin(α+EQ\F(π,2))=－EQ\F(1,4),且sin2α＞0求sinα,tanα解：原式=EQ\F(sin2α,tan2α)＋EQ\F(cos2α,cot2α)+cos2αcsc2α=cos2α+sin2α+cos2αcsc2α=1+cot2α=csc2α(2)解：由sin(α+EQ\F(π,2))=-EQ\F(1,4)∴cosα=-EQ\F(1,4)∵sin2α＞0∴2kπ＜2α＜2kπ+πkπ＜α<kπ+EQ\F(π,2)(k∈z)∴α为第一象限或第二象限的角∵cosα=-EQ\F(1,4)＜0∴α为第三角限角sinα=-EQ\R(1－cos2α)＝EQ\F(EQ\R(15),4)tanα=EQ\F(sinα,cosα)=EQ\R(15)点评：本题要求同学们熟练掌握同角三角函数之间的关系，在求值过程中特别注意三角函数值的符号的探讨.[例10]（05年高考天津卷）已知.解法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得即①由题设条件，应用二倍角余弦公式得故②由①式和②式得.因此，，由两角和的正切公式解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得解得由由于，故在第二象限，于是.从而（以下同解法一）.点评：，，三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式），在求值过程中要注意符号的讨论.四、典型习题导练1．当0＜x＜л时,则方程cos(лcosx)=0的解集为()A.B.C.D.2．（05年高考全国卷Ⅰ）在中，已知，给出以下四个论断：① ②③ ④其中正确的是A．①③ B.②④ C.①④ D.②③3．（05年全国卷Ⅲ）设,且,则A.B.C.D.4．函数A.增函数 B.减函数C.偶函数 D.奇函数5．曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于（）A． B．2 C．3 D．46．7．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x．(1)求f()的值；(2)设∈(0，)，f()＝，求sin的值．8．（05年高考湖南卷）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.9．（06年高考安徽卷）已知（1）求的值；（2）求的值。3.3三角函数的恒等变换一、知识导学1.两角和、差、倍、半公式两角和与差的三角函数公式二倍角公式半角公式，，2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.二、疑难知识导析1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如成立的条件是“是任意角，的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上.3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例、、等.4．三角公式由角的拆、凑很灵活.如、、，等，注意到倍角的相对性.5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等.6.三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.三、典型例题导讲[例1]在ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则C的大小应为() A． B． C．或 D．或错解：C错因：求角C有两解后未代入检验.正解：A[例2]已知tantan是方程x2+3x+4=0的两根，若，(-)，则+=（） A． B．或- C．-或 D．-错解：B.错因：未能准确限制角的范围.正解：D.[[例4]△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（）A.B.C.或D.错解：C错因：是忽略对题中隐含条件的挖掘.正解：A[例5]已知，（），则（）A、B、C、D、错解：A错因：是忽略，而解不出正解：C[[例8]分析：对三角函数式化简的目标是：（1）次数尽可能低；（2）角尽可能少；（3）三角函数名称尽可能统一；（4）项数尽可能少.观察欲化简的式子发现：（1）次数为2（有降次的可能）；（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种.解法一：（复角→单角，从“角”入手）原式四、典型习题导练1.已知集合M=，N=则MUN等于（）A．MB.NC.фD.2.若sinα+cosα=,则tanα+cotα=()A.1B.2C.-1D.-23.已知＜α＜л＜,sinα=,则cos的值为()A.或-B.-C.D.以上都不对4.已知θ=,则=.5.计算sinsin=.6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（）A． B． C． D．7．9．已知角A是△ABC的一个内角，且，则△ABC是（） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不确定10.已知向量（1）求的值；（2）若的值.3.4三角函数的图像与性质一、知识导学1.三角函数线.设角的终边与单位圆交于点，过点做轴于，过点做单位圆的切线，与角的终边或终边的反向延长线相交于点，则有向线段分别叫做角的正弦线，余弦线，正切线.2.三角函数的图像（1）四种图像（2）函数的图像①“五点作图法”②图像变化规律3.三角函数的定义域、值域及周期4.三角函数的奇偶性和单调性二、疑难知识导析1.+中，及，对正弦函数图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言.如：向右平移个单位，应得，而不是2.用“五点法”作图时，将看作整体，取，来求相应的值及对应的值，再描点作图.3.的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.而图像只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分利用特征求出中的各个参数.4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数线解不等式（组）.5.求三角函数的值域是常见题型.一类是型，这要变形成；二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数在定区间上的值域.6.单调性的确定，基本方法是将看作整体，如求增区间可由解出的范围.若的系数为负数，通常先通过诱导公式处理.7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数.三、典型例题导讲[例1]为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）A向右平移B向右平移C向左平移D向左平移错解：A错因：审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.正解：B[例2]函数的最小正周期为()ABCD错解：A错因：将函数解析式化为后得到周期,而忽视了定义域的限制,导致出错.正解：B[例3]下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+),其中以点(,0)为中心对称的三角函数有（ ）个. A．1 B．2 C．3 D．4错解：B错因：对三角函数图像的对称性和平移变换未能熟练掌握.正解：D[例4]函数为增函数的区间是()A. B. C. D.错解：B错因：不注意内函数的单调性.解析：[例8]已知定义在区间上的函数的图像关于直线xyoxyoπ1其图像如图所示.（1）求函数在的表达式；（2）求方程的解.解：（1）当时，函数，观察图像易得：，即时，函数，由函数的图像关于直线对称得，时，函数.∴.（2）当时，由得，；当时，由得，.∴方程的解集为2.已知点是函数上的两个不同点，且，试根据图像特征判定下列四个不等式的正确性：①；②；③；④.其中正确不等式的序号是.4.若常数α满足＜1,求使函数f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数的α的值.7．（06年高考浙江卷）如图，函数y=2sin(πx＋φ),x∈R,(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点（0，1）.(1)求φ的值；(2)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求3.5解三角形及三角函数的应用一、知识导学1.解三角形的的常用定理:内角和定理:结合诱导公式可减少角的个数.(2)正弦定理:（指△ABC外接圆的半径）(3)余弦定理:及其变形.(4)勾股定理:2.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题.三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题.他的显著特点是（1）意义反映在三角形的边、角关系上，有直角三角形，也有斜三角形.（2）函数模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时一个问题中三角函数与代数函数并存.解三角函数应用题一般首先审题，三角函数应用题多以“文字语言，图形语言”并用的方式，要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路；其次，寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.二、疑难知识导析1.对各类定理的应用要注意使用其变形逆用.同时充分利用方程的思想知道其中的部分量可求出其他量.2.三角函数的应用主要是图像和性质的应用.3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构.三、经典例题导讲[例1]已知方程（a为大于1的常数）的两根为，，且、，则的值是_________________.错解：是方程的两个根，由===可得错因：忽略了隐含限制是方程的两个负根，从而导致错误.正解：，是方程的两个负根又即由===可得答案:-2.[例2]在中，已知，b，c是角A、B、C的对应边，则①若，则在R上是增函数；②若，则ABC是；③的最小值为；④若，则A=B；⑤若，则，其中错误命题的序号是_____.错解：③④⑤中未考虑.错因：④中未检验.正解：错误命题③⑤.①②.③时最小值为.显然.得不到最小值为.④或(舍)，.⑤错误命题是③⑤.[例3]函数f(x)=的值域为______________.错解：错因：令后忽视,从而正解：[例4]（06年高考江苏卷）＝【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值解：＝＝【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.[例5]在锐角△ABC中，A＜B＜C,且B=60°,=,求证：a+解：∵B=60°∴A+C=120°cos(A+C)=-又由已知=∵锐角△ABC中，cosA＞0，cosC＞0，∴cosAcosC=sinAsinC=∴cos(C－A)=即C－A=30°∴A=45°B=60°C=75°∴a+b=2R(sin45°+sin60°)=2·2R=2·2Rsin75°=2c[例6]如图,在平