高中数学必修三北师大版-估计总体的数字特征-课件-参考

5.2估计总体的数字特征1.会用样本平均数，标准差估计总体的数字特征.2.体会样本数字特征的随机性和对实际问题的应用.1.样本平均数和标准差2.样本数字特征的随机性和稳定性样本平均数和样本标准差可分别用来估计总体的_______和_______,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映____________,尽管不同样本来自同一个总体，由于样本不同，从样本中所得到的有关总体的估计可能互不相同,这一现象是由抽样的_______引起的,但这种关于总体的估计是合理的.当_______很大时,样本数据确实反映了总体的信息.

平均数标准差总体的信息随机性样本量【轻松判断】(1)样本平均数就是总体平均数.()(2)同一组数据，样本不同，估计的总体的平均数就可能不同．()(3)样本容量越大，估计得越精确.()提示：(1)此种说法错误.可以用样本平均数去估计总体平均数.(2)此种说法正确.样本不同，数据就有可能不相同，估计的总体平均数就可能不同.(3)此种说法正确.当样本容量越大时，数据越精确，估计越精确.答案：(1)×(2)√(3)√

主题一众数、中位数、平均数根据下图回答下列问题：

1.如何用样本频率分布直方图估计样本的众数、中位数和平均数？提示：(1)众数的估计值为频率分布直方图中最高矩形底边的中点；(2)中位数两边的直方图的面积相等，在样本中,有50%的个体大于或等于中位数；(3)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之积的和.平均数是直方图的平衡点，是频率分布直方图的“重心”.2.频率分布直方图得到的中位数估计值与样本的实际中位数值相等吗？提示：由于样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的形状,但是从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致.【知识拓展】用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)用样本的数字特征估计总体的数字特征，是指用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据.平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.(2)标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.在实际应用中，我们常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题作出决策.【特别提醒】关于样本平均数的三点说明(1)刻画数据集种趋势最常用的量——平均数.(2)平均数在数据中的计算公式：(3)平均数在直方图中的计算方法是：每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之积的和.1.(2012·南康高一检测)频率分布直方图中最高小矩形的中间位置所对数据的数字特征是()(A)中位数(B)众数(C)平均数(D)标准差2.小明家六月初连续8天同一时刻电表显示的度数如表所示：根据上表，估算小明家六月份(30天)的总用电量.日期12345678电表显示117120124129135138142145【解题指南】1.可根据频率分布直方图的纵轴意义来考虑.2.利用这7天的用电量估计小明家六月份的用电量，可先求出这7天的平均用电量，近似地看作是这一个月用电量的平均值，便可以估计六月份的用电量.【解析】1.选B.由频率分布直方图的特征知.2.小明家六月份(30天)的总用电量估计为

×30＝120(度).【变式训练】如图是某班学生在一次数学考试中的成绩的频率分布直方图．根据直方图估计其成绩：(1)众数是_________；(2)中位数是__________；(3)平均数是__________．【解析】(1)由频率分布直方图可知，其众数为＝75(分)．(2)设中位数为x，由图知0.01×10＋0.02×10＋(x－70)×0.03＝0.5，∴x＝(分)．(3)平均数为(55×0.01＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.025＋95×0.015)×10＝76.5(分)．答案：7576.5【规律总结】样本的数字特征的两点注意(1)一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现的次数最多的数据，一组数据的中位数是唯一的．(2)利用直方图求得的众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．

主题二用样本标准差估计总体样本标准差⇒估计总体标准差⇒应用1.样本标准差的意义是什么？提示：反映了样本数据的离散程度.2.如何求得总体的平均数与标准差呢？提示：通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差，这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体的分布类似，只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的.【特别提醒】关于总体标准差的两点说明(1)一般把样本标准差的值近似地看作总体标准差.(2)s≥0，当s=0时，意味着样本数据都等于样本平均数，即该组样本中各数据相等.1.现有同一型号的汽车50辆，为了了解这种汽车每耗油1L所行路程的情况，要从中抽出5辆汽车做在同一条件下进行耗油1L所行路程的试验，得到如下数据(单位：km)11,15,9,12,13.则样本标准差是()(A)20(B)12(C)4(D)22.某种织物抗断强力为(单位：千克)：29.6，20.7，30.8，30.8，24.6，20.3，25.6，24.8，24.4，23.1.采用新工艺后，测得抗断强力为(单位：千克)：23.0，23.0，29.0，28.6，30.2，24.4，24.2，23.3，30.2，28.6.试分别求出样本平均数及标准差，并讨论采用新工艺后质量是否有提高.【解题指南】1.可根据标准差的计算公式求解.2.生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量，但两个总体的平均数与标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差.【解析】1.选D.由题意知，样本平均数是×(11＋15＋9＋12＋13)＝12，因此样本方差是×[(11－12)2＋(15－12)2＋(9－12)2＋(12－12)2＋(13－12)2]＝4，标准差s=2，故选D.2.利用(x1+x2+…+xn)，[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]可知，采用旧工艺时，=25.47，s1=3.62.采用新工艺后，=26.45，s2=2.95.∴从平均数及标准差可知采用新工艺后，此种织物的抗断强力有所提高.【变式训练】(2012·南昌高一检测)一组数据由小到大依次为2，2，a,b,12,20.已知这组数据的中位数为6，若要其标准差最小，则a,b的值分别为()(A)3，9(B)4，8(C)5，7(D)6，6【解析】选D.∵=6,∴a=12-b，∴×(2+2+a+b+12+20)=8又s2=［(2-8)2+(2-8)2+(a-8)2+(b-8)2+(12-8)2+(20-8)2］=［36×2+(4-b)2+(b-8)2+16+144］=［72+2(b-6)2+8+16+144］要使标准差最小，即为s2最小，∴b=6，此时a=6.【规律总结】方差与标准差的关系的应用从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s2——方差来代替标准差，作为测量样本数据离散程度的工具,其中显然，在刻画样本数据的离散程度上，方差与标准差是一样的.但在解决实际问题时，一般多采用标准差.主题三样本数字特征的综合运用⇒估计总体⇒应用样本平均数样本标准差【探究主线】1.样本容量越大越好，在随机抽样时，一定要选择大的样本容量吗？提示：不一定.当样本容量很大时，样本数据确实反映了总体的信息，但选择样本容量的大小，视实际情况不同而不同，只要保证选择的样本有代表性，就可以用来估计总体，且这种估计是合理的.2.如何根据实际选用合适的数字特征来估计总体？提示：当样本数据质量比较差时,使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置,可能与实际情况产生较大的误差,难以反映样本数据的实际状况,此时需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.在实际应用中,常综合样本的多个统计数据,对总体进行估计,为解决问题作出决策.探究提示：对比平均数、中位数、方差的不同特征来说明选用哪个数字特征.【特别提醒】用样本估计总体的两个手段(1)用样本的频率分布估计总体的分布;(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征.1.(2011·浙江高考)某小学为了了解学生数学课程的学习情况,在3000名学生中随机抽取200名,并统计这200名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图，3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是______________.2.某校将从甲乙两名选手中选出1名选手参加全市中学生田径百米比赛，该学校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：12345678选手甲的成绩(s)12.112.21312.513.112.512.412.2选手乙的成绩(s)1212.412.81312.212.812.312.5经查阅上届市中学生运动会的历史资料，百米成绩达到12.5s以内即可进入前3名；成绩达到12.2s就可能打破市中学生运动会记录.若该校百米赛跑的目标定在进入前3名，可能选哪名选手参赛？说说你的理由.【解题指南】1.先计算出成绩小于60分的频率，再计算频数.2.要保证在比赛中进入前3名，不仅要看谁的平均成绩好，而且要看谁的成绩更稳定.所以我们需要求出这两名选手的平均成绩和方差.【解析】1.在该次数学考试中成绩小于60分的共有3组,频率之和为0.02+0.06+0.12=0.2,所以在该次数学考试中成绩小于60分的学生数大约为3000×0.2=600.答案：6002.×(12.1+12.2+…+12.2)=12.5s，

×(12+12.4+…+12.5)=12.5s，

×[(x1-)2+(x2-)2+…+(x8-)2]=×[(12.1-12.5)2+(12.2-12.5)2+…+(12.2-12.5)2]=0.12s2,因为所以乙的成绩更稳定.甲、乙的平均成绩都达到了12.5s，但乙的成绩相对稳定，故应派乙选手参加比赛.【互动探究】在本题2中，若将“该校百米赛跑的目标定在进入前3名”改为“该校百米赛跑的目标定为力争打破记录”，则可能选哪位选手参赛？说说你的理由.【解析】甲的成绩虽然没有乙稳定，但是甲的成绩超过12.2s(含达到12.2s)的有3次，乙只有2次，因此若该校百米赛跑的目标定为力争打破记录，则可能选甲选手参赛.【变式备选】某市共有50万户居民，城市调查队按千分之一的比例进行人口调查，抽样调查的结果如下：求:(1)一般工作人员家庭人均月收入的估计及方差的估计(2)管理人员家庭人均月收入的估计及方差的估计(3)总体月均收入的估计及总体方差的估计s2.家庭人均月收入(元)200～500500～800800～11001100～14001400～1700合计工作人员数20602008040400管理人员数510502015100【解析】分组数据用组中值为本组数据的代表，(1)×(20×350+60×650+…+40×1550)=995，

×[20×(350-995)2+60×(650-995)2+…+40×(1550-995)2]=83475;(2)=1040，=90900;(3)×(25×350+70×650+…+55×1550)=1004，s2=×[25×(350-1004)2+70×(650-1004)2+…+55×(1550-1004)2]=85284.【规律总结】用样本数字特征估什的总体特征的精度用样本估计总体,需要从总体中抽取一个质量较高的样本,才能不会产生较大的估计偏差,且样本容量越大,估计的结果也就越精确.1.(2011·江苏高考)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=___________.2.(2011·绍兴高二检测)为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为45～55,55～65,65～75,75～85,85～95，由此得到频率分布直方图，如图.(1)请填完整表格；(2)估算众数，中位数，平均数.分组45～5555～6565～7575～8585～95频数频率【解题指南】1.本题考查的是方差的计算，解题的关键是正确记住方差的计算公式.2.解答本题的关键是要明确总体容量为20，结合直方图填出表格，结合统计量的意义可求解.【解析】1.根据方差的计算公式可得s2=×［(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2］=3.2.答案：3.22.(1)(2)众数为60，中位数62.5，平均数64.分组45～5555～6565～7575～8585～95频数48521频率0.20.40.250.10.05【规律总结】频率分布直方图与统计量的关系(1)众数是最高的矩形的底边的中点;(2)中位数左右两侧直方图的面积相等;(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之积的和.1.某校高一(一)、(二)两班在一次数学考试中，成绩平均分相同，但一班的成绩比较整齐，若两班成绩的方差分别为和则()(A)(B)(C)(D)都有可能【解析】选B.由方差的意义可知.2.设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形.黄金矩形常应用于工艺品设计中.下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618