新教材人教A版高中数学选择性必修第一册-第一章-空间向量与立体几何-教学课件

1.1空间向量及其运算1.2空间向量基本定理1.3空间向量及其运算的坐标表示1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第一章空间向量与立体几何一、空间向量的定义及相关概念1.定义在空间,我们把具有

和

的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的

.

2.空间向量及其模的表示方法空间向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作

,其模记大小

方向

长度或模

3.空间向量的相关概念

平行或重合

点析1.空间向量只有大小和方向,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量,即向量可以在空间中平移.2.我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.微思考涉及空间两个向量的问题,平面向量中的有关结论是否仍然适用?提示:适用.微练习(多选题)下列命题正确的是(

)A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量B.零向量没有方向C.若a是单位向量,则|a|=1D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则一定有m=p答案:CD

解析:单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必有|a|=1,即选项C正确;由向量相等的定义,知m与p方向相同,模相等,故一定有m=p,选项D正确.二、空间向量的线性运算

微练习1已知空间四边形ABCD中,A.a+b-c

B.c-a-bC.c+a-b

D.c+a+b答案:B微练习2已知空间四边形ABCD,M,G分别是BC,CD的中点,连接AM,AG,MG,答案:A三、共线向量与共面向量1.互相平行或重合

同一个平面

a=λbp=xa+yb2.如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得

=λa.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的

.这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定.

方向向量

名师点析共线向量的特点及三点共线的充要条件(1)共线向量不具有传递性因为零向量0=0·a,所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量,这一性质使共线向量不具有传递性,即若a∥b,b∥c,则a∥c不一定成立.因为当b=0时,a∥0,0∥c,但a与c不一定共线.(2)空间三点共线的充要条件微练习1满足下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是(

)答案:C微练习2对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是(

)A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量答案:A解析:因为2a-b=2·a+(-1)·b,微判断判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若a与b共线,b与c共线,则a与c共线.(

)(2)若向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.(

)(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测空间向量及相关概念的理解

解析:①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等;②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;②③

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟空间向量概念的辨析(1)向量的两个要素是大小与方向,两者缺一不可;(2)单位向量的方向虽然不一定相同,但长度一定为1;(3)两个向量的模相等,即它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件;(4)由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的,但向量的模是可以比较大小的.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1下列说法正确的是(

)A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|C.两个向量相等,若它们的起点相同,则其终点不一定相同D.若|a|>|b|,|b|>|c|,则a>c答案:B

解析:两个向量是相反向量时,它们的模必相等,故选项B正确.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测空间向量的线性运算

思路分析根据数乘向量及三角形法则,平行四边形法则求解.

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟空间向量线性运算的技巧和思路(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧①巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)化简空间向量的常用思路①分组:合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简.②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则,若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测空间共线向量定理及其应用

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟利用空间向量共线定理可解决的主要问题1.判断两向量是否共线:判断两向量a,b(b≠0)是否共线,即判断是否存在实数λ,使a=λb.2.求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若a∥b,则a=λb(λ∈R)”.3.判断或证明空间中的三点(如P,A,B)是否共线:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测空间共面向量定理及其应用

(2)判断点M是否在平面ABC内.

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟证明共面问题的基本方法(1)证明两个空间向量共面时,可以利用共面向量的充要条件,也可直接利用共面向量的定义,通过线面平行、直线在平面内等进行证明.(2)证明空间四点P,M,A,B共面时,可以通过以下几种条件进行证明.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练4已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外的任意一点,若点P分别满足下列关系:试判断点P是否与点A,B,C共面.

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测一题多变——空间向量的加法、减法运算

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C,DD1E1E都是平行四边形,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测方法总结在进行减法运算时,可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量,而在进行加法运算时,首先考虑这两个向量在哪个平面内,然后与平面向量求和一样,运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件2.在平行六面体ABCD-A‘B’C‘D’中,与向量

相等的向量共有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个答案:B

解析:两个向量相等是指两个向量的模相等并且方向相同,因此“两个非零向量的模相等”是“两个向量相等”的必要不充分条件.答案:C

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M为A1C1与B1D1的交答案:B

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.下列条件使点M与点A,B,C一定共面的是(

)

答案:D

解析:根据共面向量定理知A,B,C均错,只有D能使其一定共面.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测5.如图所示,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM∶MC=2∶1,N为PD中点,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:如图,在PD上取一点F,使PF∶FD=2∶1,连接MF,1.2空间向量基本定理我们所在的教室是一个立体图形,即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为坐标原点,沿着三条墙缝作射线可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么这个三维立体图与这三个空间向量有什么关系呢?事实上可以建立一个空间坐标系来研究三维立体图形.

点析1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.微练习在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作为空间向量一个基底的是(

)答案:C

微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)空间向量的基底是唯一的.(

)(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.(

)(3)已知A,B,M,N是空间四点,若

不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(

)(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(

)答案:(1)×

(2)√

(3)√

(4)√探究一探究二探究三当堂检测基底的判断例1(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有(

)A.1个 B.2个

C.3个 D.4个探究一探究二探究三当堂检测(1)

答案:

C

探究一探究二探究三当堂检测反思感悟判断基底的基本思路及方法(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.(2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b,b+c,c+a不共面.故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.探究一探究二探究三当堂检测用基底表示空间向量例2思路分析利用图形寻找待求向量与a,b,c的关系→利用向量运

算进行拆分→直至向量用a,b,c表示探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟用基底表示空间向量的解题策略1.空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.探究一探究二探究三当堂检测答案:B

探究一探究二探究三当堂检测应用空间向量基本定理证明线线位置关系例3在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD.(1)证明:EF⊥B1C;(2)求EF与C1G所成角的余弦值.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).探究一探究二探究三当堂检测延伸探究设这个正方体中线段A1B的中点为M,证明:MF∥B1C.探究一探究二探究三当堂检测1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是(

)答案:C

解析:只有选项C中的三个向量是不共面的,可以作为一个基底.探究一探究二探究三当堂检测答案:A

探究一探究二探究三当堂检测3.下列说法正确的是(

)A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等答案:C

解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.探究一探究二探究三当堂检测1.3空间向量及其运算的坐标表示

3.向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作

=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a=(x,y,z).名师点析1.画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分.2.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的都是右手直角坐标系.微练习若a=3i+2j-k,且{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为

.

微思考在空间直角坐标系中,向量

的坐标与终点P的坐标有何关系?(3,2,-1)答案:向量

的坐标恰好是终点P的坐标,这就实现了空间基底到空间坐标系的转换.二、空间向量运算的坐标表示1.空间向量的坐标运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则

=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)

(λa1,λa2,λa3)

a1b1+a2b2+a3b33.空间向量平行与垂直条件的坐标表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)当b≠0时,a∥b⇔a=λb⇔

(λ∈R);

(2)a⊥b⇔

⇔

.

名师点析当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔.a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a·b=0a1b1+a2b2+a3b3=04.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则微练习1已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n=

,3m-n=

,(2m)·(-3n)=

.

微练习2已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=

,若a⊥b,则

λ=

.

(-1,-1,1)(5,-11,19)168解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.4探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测空间向量的坐标表示

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟用坐标表示空间向量的步骤如下:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测空间向量的坐标运算例2已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(方法1)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.反思感悟空间向量的坐标运算注意以下几点:(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算,牢记运算公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测空间向量的平行与垂直

(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断;(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).(1)若a∥b,分别求λ与m的值;探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测空间向量夹角与模的计算例4如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.(1)求BM,BN的长.(2)求△BMN的面积.思路分析建立空间直角坐标系,写出B,M,N等点的坐标,从而得出

的坐标.然后利用模的公式求得BM,BN的长度.对于(2),可利用夹角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用面积公式计算.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟向量夹角与模的计算方法利用坐标运算解决空间向量夹角与长度的计算问题,关键是建立恰当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标,然后利用夹角与模的计算公式进行求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,BB1的中点,则cos∠EAF=

,EF=

.

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:以A为原点,AB,AD,AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系(图略),设正方体棱长为1,则探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测一题多变——空间向量的平行与垂直

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测由题意,可设点P的坐标为(a,a,1),探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究1若本例中的PQ⊥AE改为B1Q⊥EQ,其他条件不变,结果如何?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究2本例中若点G是A1D的中点,点H在平面xOy上,且GH∥BD1,试判断点H的位置.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)答案:D

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.下列向量中与向量a=(0,1,0)平行的向量是(

)A.b=(1,0,0) B.c=(0,-1,0)C.d=(-1,-1,1) D.e=(0,0,-1)答案:B

解析:比较选项中各向量,观察哪个向量符合λa=(0,λ,0)的形式,经过观察,只有c=-a.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,则k的值等于(

)答案:D

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点的距离的最小值为(

)答案:C

解析:因为点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测5.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4).(1)计算2a-3b和|2a-3b|.(2)求<a,b>.第1课时空间中点、直线和平面的向量

表示及空间中直线、平面的平行1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系一、空间中点、直线和平面的向量表示1.点的位置向量①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.微练习1下列说法中正确的是(

)A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的答案:B

解析:由平面法向量的定义可知,B项正确.

3.空间平面的向量表示式

4.平面的法向量如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合点析1.空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.微练习2若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是(

)答案:D

微练习3A.(-1,2,-1)

B.(1,2,1)C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)答案:A

令x=-1,则y=2,z=-1.即平面ABC的一个法向量为n=(-1,2,-1).

二、空间中直线、平面平行的向量表示

点析1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量μ1∥μ2.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.微练习1若两条直线的方向向量分别是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且两条直线平行,则x=

,y=

.

微练习2若平面β外的一条直线l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量为n=(4,-1,-2),则l与β的位置关系是

.

答案:-12

15答案:平行

解析:因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测平面法向量及其求法例1如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.思路分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:如图所示建立空间直角坐标系.依题意可得D(0,0,0),P(0,0,1),探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一个法向量吗?它们之间的关系如何?解:如同例题建系方法,易知平面PAD的一个法向量为n1=(0,1,0),平面PCD的一个法向量为n2=(1,0,0),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD的一个法向量;(2)求平面SAB的一个法向量;(3)求平面SCD的一个法向量.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测利用向量方法证明线线平行例2在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,点P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS.证明:(方法1)以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟要证明两直线平行,可先求出两直线的方向向量,然后证明两直线的方向向量共线,从而证明两直线平行.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测证明:以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测利用向量方法证明线面平行例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(方法3)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.设正方体的棱长为1,则可求得探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟利用空间向量证明线面平行的方法(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平行.(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM∥平面BDE.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测证明:建立如图所示的空间直角坐标系.设AC∩BD=N,连接NE,又因为NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测利用向量方法证明面面平行例4如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?思路分析建立空间直角坐标系,设出点Q的坐标,然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.设正方体的棱长为1,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟利用空间向量证明面面平行的方法(1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明;(2)通过证明两个平面的法向量平行证明.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练4在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面EFBD.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测证明:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,3,0),探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测一题多解——利用向量方法证明面面平行典例如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面AB'D'∥平面BDC'.解题提示证明面面平行常用的方法有两种,一是证明它们的法向量共线;二是转化为线面平行、线线平行即可.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测证明:(方法1)设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B'(1,1,1),D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),令y1=1,则x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1,-1).设平面BDC'的法向量为n2=(x2,y2,z2).探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测令y2=1,则x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一个法向量为n2=(-1,1,-1).所以n1=n2,所以n1∥n2,故平面AB'D'∥平面BDC'.即AD'∥BC',AB'∥DC',所以AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC'.又AD'∩AB'=A,所以平面AB'D'∥平面BDC'.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测所以n1也是平面BDC'的一个法向量,所以平面AB'D'∥平面BDC'.点评建立空间直角坐标系的关键是根据几何体的特征,尽可能找到三条两两互相垂直且相交于一点的线段,特别是有垂直关系的一些几何体,如正方体,长方体,直棱柱,有一条侧棱垂直于底面的棱锥等,其中长方体(或正方体)是最简单的模型.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.若不重合的直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),则(

)A.l1∥l2

B.l1⊥l2C.l1,l2相交但不垂直 D.不能确定答案:A

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB(

)A.与坐标平面xOy平行

B.与坐标平面yOz平行C.与坐标平面xOz平行

D.与坐标平面yOz相交答案:B

解析:因为A(9,-3,4),B(9,2,1),所以

=(0,5,-3),而坐标平面yOz的法向量为(1,0,0),显然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直线AB与坐标平面yOz平行.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.若平面α∥β,则下面可以是这两个平面法向量的是(

)A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)答案:D

解析:因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:-8探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测证明:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测第2课时空间中直线、平面的垂直知识点拨

空间中直线、平面垂直的向量表示

微练习设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=(

)

A.2 B.-5 C.4 D.-2答案:B

解析:因为α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.(

)(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(

)(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.(

)(4)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.(

)答案:(1)×

(2)√

(3)×

(4)√探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用向量方法证明线线垂直例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.探究一探究二探究三素养形成当堂检测证明:(方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟利用向量方法证明线线垂直的方法(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究本例条件不变,求证:AF⊥BC.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用向量方法证明线面垂直例2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟利用空间向量证明线面垂直的方法(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.(2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.(3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求证:BD⊥平面PAC.探究一探究二探究三素养形成当堂检测证明:因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则B(4,0,0),P(0,0,4),探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用向量方法证明面面垂直例3如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.思路分析要证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法向量n1,n2,证明n1·n2=0.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2,0,0),A1(2,0,1),探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD.求证:平面AMD⊥平面CDE.分析:因为FA⊥平面ABCD,所以可以以点A为坐标原点建立空间直角坐标系.探究一探究二探究三素养形成当堂检测应用空间向量解答探索性(存在性)问题立体几何中的存在探究题,解决思路一般有两个:(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,并用向量表示出来,然后再加以证明,得出结论;(2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在.探究一探究二探究三素养形成当堂检测典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,E是B1C的中点.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.∵AC=2a,∠ABC=90°,探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)存在.理由如下:假设存在点F,使CF⊥平面B1DF.探究一探究二探究三素养形成当堂检测归纳总结空间向量适合解决这类立体几何中的探索性问题,它无须进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断.解题时,把要说明成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围的解”等,所以使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.若直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面α的法向量为n=(-3,6,-9),则(

)A.l⊂α B.l∥αC.l⊥α D.l与α相交答案:C

解析:∵直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面α的法向量为n=(-3,6,-9),探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则(

)A.平面AED∥平面A1FD1B.平面AED⊥平面A1FD1C.平面AED与平面A1FD1相交但不垂直D.以上都不对答案:B

解析:以D为原点,分别为x,y,z建立空间直角坐标系,求出平面AED的法向量n1与平面A1FD1的法向量n2.因为n1·n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥平面A1FD1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.若直线l的方向向量是a=(1,0,-2),平面β的法向量是b=(-1,0,2),则直线l与β的位置关系是

.

答案:l⊥β

解析:因为a∥b,所以l⊥β.探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.如图,在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.探究一探究二探究三素养形成当堂检测证明:建立空间直角坐标系,如图,取A(0,0,a),则易得B(0,0,0),第1课时距离问题1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题一、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离1.点到直线的距离2.两条平行直线之间的距离求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.名师点析点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.微练习已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为

.

二、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为2.如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.3.两个平行平面之间的距离如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.微练习在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为

.

解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),探究一探究二素养形成当堂检测利用空间向量求点线距例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直线A1C1的方向向量探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.探究一探究二素养形成当堂检测延伸探究1例1中的条件不变,若M,N分别是A1B1,AC的中点,试求点C1到直线MN的距离.解:如例1解中建立空间直角坐标系(图略).探究一探究二素养形成当堂检测延伸探究2将条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱,求点B到A1C1的距离.解:以B为坐标原点,分别以BA,过B垂直于BA的直线,BB1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A1(2,0,2),探究一探究二素养形成当堂检测利用空间向量求点面距例2在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示.求点B到平面CMN的距离.思路分析借助平面SAC⊥平面ABC的性质,建立空间直角坐标系,先求平面CMN的法向量,再求距离.探究一探究二素养形成当堂检测解:取AC的中点O,连接OS,OB.∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,∴SO⊥平面ABC.又BO⊂平面ABC,∴SO⊥BO.如图所示,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟求点到平面的距离的主要方法(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)在三棱锥中用等体积法求解.探究一探究二素养形成当堂检测变式训练在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求直线B1C到平面A1BD的距离.探究一探究二素养形成当堂检测(2)解:因为B1C∥平面A1BD,所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离.如图建立坐标系,探究一探究二素养形成当堂检测转化与化归思想在求空间距离中的应用典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.(1)求证:B1D⊥平面ABD;(2)求证:平面EGF∥平面ABD;(3)求平面EGF与平面ABD的距离.思路分析根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离,即点面距.探究一探究二素养形成当堂检测(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,设AB=a,则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.探究一探究二素养形成当堂检测所以GF∥AB,EF∥BD.又GF∩EF=F,AB∩BD=B,所以平面EGF∥平面ABD.探究一探究二素养形成当堂检测方法总结求两个平行平面的距离,先在其中一个平面上找到一点,然后转化为该点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.探究一探究二素养形成当堂检测1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1)