2022-2023学年湖北省鄂州市高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省鄂州市高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知函数，则（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】C【分析】先求出导函数，再代入求值即可.【详解】，，，,故选：C.2．命题“”是命题“直线与直线平行”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】当两直线平行时，，当m=2时，两直线均为x+y=0，不符．当m=-2时，两直线分别为x-y-4=0,x-y-2=0不重合，符合．所以m=-2是两直线平行的充要条件，选C.3．设{an}是由正数组成的等比数列，为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等比数列的性质易得a3＝1，进而由求和公式可得q，再代入求和公式计算可得．【详解】由题意可得a2a4＝a32＝1，∴a3＝1，设{an}的公比为q，则q＞0，∴S31＝7，解得q或q（舍去），∴a14，∴S5故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．2023年4月12日湖北省运会在宜昌奥体中心开幕，在观看湖北省运会的同时，也有很多游客慕名来宜昌旅游，甲乙两名游客准备分别从三峡大坝、三峡人家、三峡大瀑布和清江画廊四个5A景区中随机选择一个游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择三峡大坝景区，事件：甲和乙选择的景点不同，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件概率公式计算即可.【详解】解：，，，故选：A.5．已知函数在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得出在区间上恒成立，利用分离参数思想化为在上恒成立，求出的取值范围即可．【详解】∵函数在区间上为单调递增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立，由于函数在上单调递减，所以，即实数的取值范围是，故选：D.6．设计师需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯共15只，以不同的点亮方式增加舞台效果.设计者按每次点亮时，恰有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须点亮的要求进行设计，不同点亮方式的种数是（

）A．28 B．84 C．180 D．360【答案】A【分析】可将原问题转化为插空问题，分2步分析，先将9只亮的灯排好，再在其空位中，任选6个，插入不亮的灯即可，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步分析，先将9只亮的灯排好，有1种排法，排好后有8个空位可用，在这8个空位中，任选6个，插入不亮的灯，有种情况，由分步计数原理可得，共有种情况.故选:A.7．椭圆的中心在坐标原点，，，，分别为椭圆的左、右、上、下顶点，为其右焦点，直线与直线交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据为钝角转化为，求出四点坐标，用数量积的坐标公式得到关于，的不等式，不等式两边同时除以得到关于离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围.【详解】如图，设椭圆的标准方程为，．由题意，得，，，则，．因为为向量与的夹角，且为钝角，所以，所以．又，所以，两边同时除以得，解得或，因为，所以.故选：A．8．已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的线性运算和数量积运算可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解.【详解】设正方体内切球的球心为，则,,因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，，所以，又点Р在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小，且最小值为；所以，所以的取值范围为，故选：C.二、多选题9．已知函数，则（

）A．函数在上单调递增 B．有三个零点C．有两个极值点 D．直线是曲线的切线【答案】CD【分析】利用导数研究函数单调性和极值，通过极值判断函数零点个数，通过导数的几何意义求已知斜率的切线方程.【详解】函数，定义域为R，，，解得或；，解得，在和上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，，，函数图像如图所示，则函数的图像与轴只有一个交点，即只有一个零点，所以AB选项错误，C选项正确；曲线切线的切点坐标为，当切线斜率为2时，，解得，当时，切点坐标为，切线方程为，即，D选项正确.故选：CD.10．直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（

）A．抛物线的焦点坐标为 B．的最小值为4C．对任意的直线， D．以为直径的圆与抛物线的准线相切【答案】BD【分析】由抛物线方程求焦点坐标验证选项A；焦点弦中通径最短验证选项B；直线与抛物线联立方程组由韦达定理计算验证选项C；由圆心到直线的距离判断选项D.【详解】抛物线的焦点，A选项错误；抛物线的焦点弦中，通径最短，故的最小值为4，B选项正确；由题意，直线斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程得，则，C选项错误；如图所示，的中点为M，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则，可知以为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确.故选：BD11．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，，分别为，的中点，则（

）A．平面B．四棱锥的外接球的表面积为C．与平面所成角的正弦值为D．点A到平面的距离为【答案】ACD【分析】对于A：根据线面垂直的判定定理结合平行关系分析判断；对于B：将四棱锥转化为正方体，根据正方体的外接球分析运算；建系，对于C：利用空间向量求线面夹角；对于D：利用空间向量求点到面的距离.【详解】对于A：连接，因为平面，平面，可得由为正方形，可得，，平面，所以平面，又因为，分别为，的中点，则//，可得平面，故A正确；对于B：四棱锥的外接球即为以A为顶点，为相邻三边的正方体的外接球，则外接球的半径，所以表面积为，故B正确；如图，以A为坐标原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，对于C：可知平面的法向量，则，所以与平面所成角的正弦值为，故C正确；对于D：可得，设平面的法向量，则，令，则，即，所以点A到平面的距离为，故D正确；故选：ACD.12．在数学课堂上，老师引导学生构造新数列.在数列的相邻两项之间插入此两项的和形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列1，，，，…，，2，记，数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由推得，可判断AC；由中数的个数，可推得，可判断B；由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式可判断D．【详解】由题意可得，，，…，故A选项正确，C选项错误；由有3个数，有5个数，有9个数，则有个数，所以，即，故B选项正确；由，可，D选项正确．故选：ABD．三、填空题13．已知实数m，n满足，则直线必过定点________________．【答案】【分析】将代入直线得，由即可得结果.【详解】由已知得，代入直线得，即，由，解得，直线必过定点，故答案为:.14．甲袋中有3个白球、3个红球，乙袋中有4个白球、2个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是白球的概率为______.【答案】【分析】把取出白球分为甲袋中取出白球和乙袋中取出白球两种情况讨论，由互斥事件概率加法公式即可求解．【详解】解：设事件A表示“选中甲袋”，B表示“选中乙袋”，C表示“取到的球是白球”，则P(A)=，P(B)=，P(C|A)=，P(C|B)=，故P(C)=P(C|A)·P(A)+P(C|B)·P(B)=.故答案为：.15．已知为数列的前项和，，.则数列的通项公式为______.【答案】【分析】先利用项与和的关系，得到，再利用等差数列通项公式求解答案.【详解】当时，，因为，所以=2；当时，==，即，因为，所以，所以数列{}是首项为2，公差为2的等差数列，所以=；故答案为：.16．若实数的取值使函数在定义域上有两个极值点，则叫做函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，则的取值范围为______.【答案】【分析】，由题意在上有2个不同的实数根，设函数，根据导数判断函数的范围，求得m的取值范围.【详解】，函数具有“凹凸趋向性”时，则在上有2个不同的实数根，令，则，，解得；，解得，∴在上单调递减，在上单调递增故的最小值是，且时，，所以.故答案为：．四、解答题17．（1）已知二项式展开后的第3项和第8项的二项式系数相等，求展开式的常数项；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）127【分析】（1）由求出，从而求出的通项，令即可求出答案；（2）令和，可求出的值，再令，两式相减可求得的值.【详解】（1）由题可知：即，该二项式展开的通项为，令得

∴常数项为.（2）令得：①令得：②①+②得：，即，令得：，∴.18．已知数列为递增的等差数列，其中，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设记数列的前n项和为，求使得成立的m的最小正整数．【答案】（1）；（2）2.【分析】（1）利用待定系数法，设出首项和公差，依照题意列两个方程，即可求出的通项公式；（2）由，容易想到裂项相消法求的前n项和为，然后，恒成立问题最值法求出m的最小正整数．【详解】（1）在等差数列中，设公差为d≠0，由题意，得，解得．∴an＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）由（1）知，an＝2n﹣1．则＝，∴Tn＝＝．∵Tn+1﹣Tn＝＝＞0，∴{Tn}单调递增，而，∴要使成立，则，得m，又m∈Z，则使得成立的m的最小正整数为2．【点睛】本题主要考查等差、等比数列的基本性质和定义，待定系数法求通项公式，裂项相消求数列的前n项和，以及恒成立问题的一般解法，意在考查学生综合运用知识的能力．19．已知圆.(1)若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；(2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，满足，求点的轨迹方程.【答案】(1)或(2)【分析】（1）讨论直线是否存在斜率，当斜率存在时，设出直线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则直线方程得解；（2）根据题意以及几何关系，求得点的轨迹方程，【详解】（1）根据题意，圆的方程为：，其圆心为，半径为，当直线的斜率不存在时，其方程为，此时直线与圆的交点为，，，符合题意；当直线的斜率存在时，设其方程为，即，则圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为，综上，直线的方程为或；（2）如图，为圆的切线，连接，，则，所以为直角三角形，即.设，由（1）知，，因为，所以，化简得点的轨迹方程为.20．如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，异面直线和所成角等于60°.(1)求证：平面；(2)在棱上存在一点满足，使得二面角的余弦值为，求实数的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连，，易得异面直线和所成角为,求出各边可得，利用勾股定理证明，利用线面垂直的判定定理得证.（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出面PBD与面BDE的法向量，根据二面角的余弦值为列方程求即可.【详解】（1）设则，取的中点，连，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且，∴异面直线和所成角即为，，因为底面，面，所以，由题意知，，综上，为等边三角形，即，所以，所以在梯形中，易知：，又因为底面，面，所以，又，PB、BD在面PBD内，所以平面.（2）在四棱锥中，已知底面，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．由（1）知：是平面的一个法向量，且由，设，则，解得，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，∵二面角的余弦值为，∴，解得或（不合题意），

∴.21．已知双曲线的焦距为，且双曲线的焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)点是双曲线右支上的动点，设直线是双曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值.【答案】(1)(2)证明见解析，2【分析】(1)由双曲线的焦点到渐近线的距离得，又因为，得到，解方程组求出，代入方程即可.(2)分两类讨论：当直线斜率不存在时，可求出点坐标，直线的方程及、的坐标，代入面积公式即可得到定值；当直线斜率存在时，设直线的方程，联立方程组消去，令即可得到，设直线与轴交于，则，联立方程组求出、的坐标，代入面积公式，再利用消去，即可化简约掉得到定值.【详解】（1）如图，设双曲线的渐近线方程为，焦点为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为，即.又，所以，则，解得，，则双曲线的方程为.（2）证明：当直线斜率不存在时，易知此时，直线：，不妨设，，所以；当直线斜率存在时，设直线的方程为，与双曲线的方程联立，消去可得，直线与双曲线的右支相切，可得，故，设直线与轴交于，则，所以，又因为双曲线的渐近线方程为，联立，可得，同理可得，则．综上，面积为定值2．22．已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)设函数有两个不同的零点，，且.若不等式恒成立，求正实数的取值范围.【答案】(1)当时，函数在内单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.(2)【分析】(1)先求的导数，分和判断导数的正负即可得到单调性.(2)由函数有两个不同的零点得到含参数的的表达式，