2022-2023学年黑龙江省大庆市高二下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年黑龙江省大庆市高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，因此，.故选：A.2．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.【详解】命题“，”为全称量词命题，该命题的否定为“，”.故选：B.3．甲、乙、丙人站到共有级的台阶上（每级台阶足够长，可站多人），同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知甲、乙、丙人每人都有种选法，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】由题意可知，甲、乙、丙人每人都有种选法，由分步乘法计数原理可知，不同的站法种数是种.故选：C.4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的件数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据超几何分布的定义计算即可.【详解】由题意知的可能取值为服从超几何分布，所以，所以.故选：C项.5．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司年至年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码12345云计算市场规模千万元7.4112036.65522.43.03.64.0由上表可得经验回归方程，则年该科技公司云计算市场规模的估计值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出、的值，代入回归方程求出的值，可得出关于的回归方程，然后在回归方程中令可得出的值，即可求得的值，即可得解.【详解】由题意可得，，将代入回归方程可得，所以，关于的回归方程为，当时，，此时，.故选：B.6．某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（

）A．72 B．78 C．126 D．240【答案】B【分析】分组讨论结合组合排列关系计算即可.【详解】要求每所小学至少去一位教师，则需要将5人分成4组，则①甲，乙，丙中有2位教师去同一所学校有：种情况，②甲，乙，丙中有1位教师与丁去同一所学校有：种情况，③丁，戊两人选择同一所学校有：种情况，所以满足题意的情况为：，故选：B.7．三国时期数学家赵家为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有种不同的颜色可供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种颜色的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出所有的涂色方案种数，然后求出只用到四种颜色的涂色种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】先考虑所有的涂色方案种数：区域⑤有种涂色方法，区域①有种涂色方法，区域②有种涂色方法.若区域③和区域①同色，则区域④有种涂色方法；若区域③和区域①异色，则区域③有种涂色方法，区域④有种涂色方法.综上所述，所有的涂色方法种数为种.接下来考虑只用到四种颜色的涂色方案种数：先从种颜色选择种颜色，共种，区域⑤有种涂色方法，则区域①③同色或区域②④同色，若区域①③同色，则区域②④异色；若区域②④同色，则区域①③异色.此时，不同的涂色方案种数为种.因此，该方案恰好只用到四种颜色的概率是.故选：C.8．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合二项分布可计算随机变量的分布列，再利用公式可求、，最后利用二次函数的性质可求其范围.【详解】随机变量可能的取值为..，故的分布列为：23故因为，故，而，故A、B错误.而，令，因为，故，此时，必成立，故C错误，D正确.故选：D.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、方差的计算以及函数的值域的求法，计算分布列时可借助常见的分布列（如二项分布等）来计算，估计方差的范围时，注意利用换元法把高次函数的值域问题转化为二次函数的值域问题.二、多选题9．下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】BC【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【详解】A.取特殊值，，，显然不满足结论；B.由可知，，由不等式性质可得，结论正确；C.由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确；D.取，满足条件，显然不成立，结论错误.故选：BC.10．随机变量服从两点分布，若，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出．【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以，故，因此，，，所以正确的是ABD．故选：ABD．11．廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量（单位：g）服从正态分布，且，．下列说法正确的是（

）A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167g的概率为0.7B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167g～168g的概率为0.05C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数的数学期望为480D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g～168g的个数的方差为136.5【答案】BCD【分析】A.由求解判断；B.由求解判断；C.由质量大于163g的个数求解判断；D.由质量在163g～168g的个数求解判断.【详解】解：因为，所以，所以A错误．因为，所以，所以B正确．，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数．所以，所以C正确．因为，所以，又因为，所以，则，所以，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g～168g的个数，所以，所以D正确．故选：BCD12．一个不透明的袋子里，装有大小相同的个红球和个蓝球，每次从中不放回地取出一球，则下列说法正确的是（

）A．取出个球，取到红球的概率为B．取出个球，在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为C．取出个球，第二次取到红球的概率为D．取出个球，取到红球个数的均值为【答案】ABD【分析】根据古典概型概率公式可求得A正确；根据条件概率公式可求得B正确；将第二次取到红球分为两种情况，将概率加和可求得C错误；记取到的红球数为，计算可得每个取值对应的概率，根据均值求法可求得D正确.【详解】对于A，取出个球，取到红球的概率，A正确；对于B，记第一次取到蓝球为事件，第二次取到红球为事件，则，，，B正确；对于C，若第一次取到红球，第二次也取到红球，则概率为；若第一次取到蓝球，第二次取到红球，则概率为；第二次取到红球的概率，C错误；对于D，记取到的红球数为，则所有可能的取值为，，，，；取到红球个数的均值为，D正确.故选：ABD.三、填空题13．空间中有个点，其中任何个点不共面，过每个点作一个平面，可以作__________个平面.（用数字作答）【答案】【分析】利用组合计数原理可得结果.【详解】空间中有个点，其中任何个点不共面，过每个点作一个平面，能作的平面的个数为个.故答案为：.14．展开式中的常数项为__________.【答案】10【分析】根据给定条件，确定展开式常数项的构成形式，再借助二项式定理求解作答.【详解】展开式中的常数项是展开式的含的项与相乘的积，展开式的通项公式，当时，，所以展开式中的常数项为.故答案为：1015．有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产件、件、件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为、、，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为__________.【答案】【分析】记事件、、分别表示所抽取的产品由甲、乙、丙工厂生产，记事件为“所抽的产品为次品”，利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件、、分别表示所抽取的产品由甲、乙、丙工厂生产，记事件为“所抽的产品为次品”，则，，，，，由全概率公式可得.故答案为：.16．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式展开式的系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于__________.（用一个组合数作答）【答案】【分析】把写成，再利用二项式定理求出项的系数作答.【详解】依题意，在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于，可视为按x升幂展开与按x降幂展开的两个多项式乘积展开式的含项的系数，即展开式含项的系数，而，展开式中含项的系数为，所以.故答案为：.四、解答题17．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，某中学高二年级共300人，其中男生150名，女生150名，学校团委对是否喜欢观看该世界杯进行了问卷调查，男生喜欢观看的人数为90，女生喜欢观看的人数为60.(1)根据题意补全2×2列联表：喜欢观看不喜欢观看合计男生150女生150合计300(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关？参考临界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828，.【答案】(1)2×2列联表见解析；(2)能认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关.【分析】（1）根据题设数据确定男女生喜欢、不喜欢观看球赛的人数，即可完成列联表；（2）应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想即可得结论.【详解】（1）依题设，喜欢观看的男生有人，不喜欢观看的男生有人；喜欢观看的女生有人，不喜欢观看的女生有人，列联表如下图示：喜欢观看不喜欢观看合计男生9060150女生6090150合计150150300（2）由，所以依据小概率值的独立性检验，能认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关.18．已知函数.(1)若时，求的单调区间；(2)求在上的最小值.【答案】(1)递增区间为，递减区间为；(2)答案见解析.【分析】（1）把代入，利用导数求出的单调区间作答.（2）利用导数分段讨论函数在上的单调性，再求出最小值作答.【详解】（1）当时，的定义域为，求导得，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的递增区间为，递减区间为.（2），函数，求导得，由，得，当时，，当时取等号，因此函数在上单调递增，，当时，由，得，由，得，于是函数在上单调递增，在上单调递减，，由，得，当时，，当时，，当时，，所以当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为.19．已知公差不为零的等差数列满足是的等比中项，.(1)求数列的通项公式；(2)从下面两个条件选择一个作为已知条件，求数列的前项和.①；

②.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)；(2)答案见解析【分析】（1）先利用题给条件求得等差数列的首项与公差，进而求得数列的通项公式；（2）选①利用错位相减法即可求得数列的前项和；选②利用裂项相消法即可求得数列的前项和【详解】（1）等差数列满足是的等比中项，，即由，可得由，可得.（2）若选①：，则.；若选②：...20．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据，并计算得.A充电桩投资金额x/万元3467910所伏利润y/百万元1.5234.567(1)已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求其经验回归方程；(2)若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于，则称对应的投入额为“优秀投资额”.记2分，所获利润y与投资金额x的比值低于且大于，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润y与投资金额x的比值不超过，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望.附：.【答案】(1)；(2)分布列见解析，.【分析】（1）利用给定的数表求出，再利用最小二乘法公式求解作答.（2）求出的可能值，及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.【详解】（1）由数表知，，因此，，所以所求经验回归方程为.（2）由数表知，，，因此“优秀投资额”有2个，“良好投资额”有1个，“不合格投资额”有3个，的可能值为，，，所以的分布列为：01234数学期望.21．设.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）分离参数得到，构造函数，求导确定函数的最小值即可得到的取值范围.【详解】（1）解：当时，，则，所以，，所以，当时，求函数在处的切线方程为，即.（2）解：因为，所以对任意的，恒成立，等价于在上恒成立.令，则.再令，则，所以在上单调递增.因为，，所以有唯一零点，且.所以当时，，当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.因为，即，即，因为，则，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，由可得，即，因为，，所以，，可得，所以，则.所以的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对求导后，把导数构造成新的函数再次求导，借助隐零点求出的最小值，进而借助恒成立的内容进行解答.22．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.(1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）.（i）请用表示；（ii）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制