【人教版】九年级数学上册全册导学案

PAGE页码页码/NUMPAGES总页数总页数【人教版】九年级数学上册全册导学案21．1一元二次方程1.了解一元二次方程的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图；有一块矩形铁皮；长100cm；宽50cm；在它的四角各切去一个同样的正方形；然后将四周突出部分折起；就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2；那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为xcm；则盒底的长为__(100－2x)cm__；宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__；化简整理；得__x2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛；参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件；赛程计划安排7天；每天安排4场比赛；比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x个队参赛；每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场；所以全部比赛共eq\f(x（x－1）；2)__场．列方程__eq\f(x（x－1）；2)＝28__；化简整理；得__x2－x－56＝0__．②探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__；只含有__一个__未知数(一元)；并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__；只含有__一__个未知数(一元)；并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程；叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地；任何一个关于x的一元二次方程；经过整理；都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项；__a__是二次项系数；__bx__是一次项；__b__是一次项系数；__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件；不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成；小组内展示；点评；教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程；哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；(3)5x2－2x－eq\f(1；4)＝x2－2x＋eq\f(3；5)；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1;(6)ax2＋bx＋c＝0.解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程；尽管分母中含有字母；但只要分母中不含有未知数；这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式；并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号；得3x2－3x＝5x＋10.移项；合并同类项；得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3；一次项系数是－8；常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时；通常要将首项化负为正；化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路；小组活动后；小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0；无论m取何值；该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1；∵(m－4)2≥0；∴(m－4)2＋1>0；即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值；该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值；该方程都是一元二次方程；只要证明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4；－3；－2；－1；0；1；2；3；4.解：将上面的这些数代入后；只有－2和－3满足等式；所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根；只要把这个数代入等式；看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路；小组内交流；上台展示并讲解思路．(9分钟)1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x2＝0;(2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0;(4)eq\f(1；x2)－eq\f(2；x)＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2;(6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根；求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根；∴4a＋8－5＝0；解得a＝－eq\f(3；4).3．根据下列问题；列出关于x的方程；并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25；求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2；面积是100；求长方形的长x.解：(1)4x2＝25；4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100；x2－2x－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此；请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2解一元二次方程21．2.1配方法(1)1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2.渗透转化思想；掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程；知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2；小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面；你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为xdm；则一个正方体的表面积为__6x2__dm2；根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x2＝1500__；由此可得__x2＝25__；根据平方根的意义；得x＝__±5__；即x1＝__5__；x2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根；但棱长不能为负值；所以正方体的棱长为__5__dm.探究：对照问题1解方程的过程；你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方；右边是一个非负数；根据平方根的意义；可将方程变形为__2x－1＝±eq\r(5)__；即将方程变为__2x－1＝eq\r(5)和__2x－1＝－eq\r(5)__两个一元一次方程；从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝__eq\f(1＋\r(5)；2)；x2＝__eq\f(1－\r(5)；2)__．在解上述方程的过程中；实质上是把一个一元二次方程“降次”；转化为两个一元一次方程；这样问题就容易解决了．方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式；这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4；进行降次；得到__x＋3＝±2__；方程的根为x1＝__－1__；x2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；那么可得x＝±eq\r(p)或mx＋n＝±eq\r(p).二、自学检测：学生自主完成；小组内展示；点评；教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2y2＝8；(2)2(x－8)2＝50；(3)(2x－1)2＋4＝0;(4)4x2－4x＋1＝0.解：(1)2y2＝8；(2)2(x－8)2＝50；y2＝4；(x－8)2＝25；y＝±2；x－8＝±5；∴y1＝2；y2＝－2；x－8＝5或x－8＝－5；∴x1＝13；x2＝3；(3)(2x－1)2＋4＝0；(4)4x2－4x＋1＝0；(2x－1)2＝－4<0；(2x－1)2＝0；∴原方程无解；2x－1＝0；∴x1＝x2＝eq\f(1；2).点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；若能；则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路；小组活动后；小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x＋1)2＝7;(2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11.解：(1)eq\f(－1±\r(7)；3)；(2)－1±2eq\r(6)；(3)eq\f(4±\r(11)；3).点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时；最容易出错的是漏掉负根．2．已知关于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一个根是1；求a的值．解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路；小组内交流；上台展示并讲解思路．(9分钟)用直接开平方法解下列方程：(1)3(x－1)2－6＝0;(2)x2－4x＋4＝5；(3)9x2＋6x＋1＝4;(4)36x2－1＝0；(5)4x2＝81;(6)(x＋5)2＝25；(7)x2＋2x＋1＝4.解：(1)x1＝1＋eq\r(2)；x2＝1－eq\r(2)；(2)x1＝2＋eq\r(5)；x2＝2－eq\r(5)；(3)x1＝－1；x2＝eq\f(1；3)；(4)x1＝eq\f(1；6)；x2＝－eq\f(1；6)；(5)x1＝eq\f(9；2)；x2＝－eq\f(9；2)；(6)x1＝0；x2＝－10；(7)x1＝1；x2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中；为什么p≥0?学习至此；请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.1配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程；能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．(2分钟)1．填空：(1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2；(2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2；(3)x2＋px＋__(eq\f(p；2))2__＝(x＋__eq\f(p；2)__)2.2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式；那么m的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6m；并且面积为16m2；场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为xm；则长为__(x＋6)__m；根据矩形面积为16m2；得到方程__x(x＋6)＝16__；整理得到__x2＋6x－16＝0__．探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4；可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式；右边是非负数；可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式；直接降次有困难；能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项；得x2＋6x＝16；两边都加上__9__即__(eq\f(6；2))2__；使左边配成x2＋bx＋(eq\f(b；2))2的形式；得__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__；左边写成平方形式；得__(x＋3)2＝25__；开平方；得__x＋3＝±5__；(降次)即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__；解一次方程；得x1＝__2__；x2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法；叫做配方法；配方的目的是为了降次；把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程：(1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0；(3)4x2＋16x＋16＝9.解：(1)x＝±eq\r(2)；(2)x1＝－eq\f(1；2)；x2＝eq\f(5；2)；(3)x1＝－eq\f(7；2)；x2＝－eq\f(1；2).归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式；然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成；小组内展示；点评；教师巡视．(8分钟)1．填空：(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；(2)x2－x＋__eq\f(1；4)__＝(x－__eq\f(1；2)__)2；(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2.2．解下列方程：(1)x2＋6x＋5＝0;(2)2x2＋6x＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项；得x2＋6x＝－5；配方得x2＋6x＋32＝－5＋32；(x＋3)2＝4；由此可得x＋3＝±2；即x1＝－1；x2＝－5.(2)移项；得2x2＋6x＝－2；二次项系数化为1；得x2＋3x＝－1；配方得x2＋3x＋(eq\f(3；2))2＝(x＋eq\f(3；2))2＝eq\f(5；4)；由此可得x＋eq\f(3；2)＝±eq\f(\r(5)；2)；即x1＝eq\f(\r(5)；2)－eq\f(3；2)；x2＝－eq\f(\r(5)；2)－eq\f(3；2).(3)去括号；整理得x2＋4x－1＝0；移项得x2＋4x＝1；配方得(x＋2)2＝5；x＋2＝±eq\r(5)；即x1＝eq\r(5)－2；x2＝－eq\r(5)－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成；即配一个含有x的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路；小组活动后；小组代表展示活动成果．(5分钟)如图；在Rt△ABC中；∠C＝90°；AC＝8m；CB＝6m；点P；Q同时由A；B两点出发分别沿AC；BC方向向点C匀速移动；它们的速度都是1m/s；几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：eq\f(1；2)(8－x)(6－x)＝eq\f(1；2)×eq\f(1；2)×8×6；即x2－14x＋24＝0；(x－7)2＝25；x－7＝±5；∴x1＝12；x2＝2；x1＝12；x2＝2都是原方程的根；但x1＝12不合题意；舍去．答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半；△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路；小组内交流；上台展示并讲解思路．(8分钟)1．用配方法解下列关于x的方程：(1)2x2－4x－8＝0；(2)x2－4x＋2＝0；(3)x2－eq\f(1；2)x－1＝0;(4)2x2＋2＝5.解：(1)x1＝1＋eq\r(5)；x2＝1－eq\r(5)；(2)x1＝2＋eq\r(2)；x2＝2－eq\r(2)；(3)x1＝eq\f(1；4)＋eq\f(\r(17)；4)；x2＝eq\f(1；4)－eq\f(\r(17)；4)；(4)x1＝eq\f(\r(6)；2)；x2＝－eq\f(\r(6)；2).2．如果x2－4x＋y2＋6y＋eq\r(z＋2)＋13＝0；求(xy)z的值．解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋eq\r(z＋2)＝0；即(x－2)2＋(y＋3)2＋eq\r(z＋2)＝0；∴x＝2；y＝－3；z＝－2.∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝eq\f(1；36).学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此；请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.2公式法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；了解公式法的概念．2.会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.解：(1)x1＝－2；x2＝－1；(2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；试推导它的两个根x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac)；2a)；x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac)；2a).分析：因为前面具体数字已做得很多；现在不妨把a；b；c也当成一个具体数字；根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a；b；c而定；因此：(1)解一元二次方程时；可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；当b2－4ac≥0时；将a；b；c代入式子x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac)；2a)就得到方程的根；当b2－4ac＜0时；方程没有实数根．(2)x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac)；2a)叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知；一元二次方程最多有__2个实数根；也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地；式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式；通常用希腊字母Δ表示；即Δ＝b2－4ac.二、自学检测：学生自主完成；小组内展示；点评；教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程；根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x2－3x＝0；(2)3x2－2eq\r(3)x＋1＝0；(3)4x2＋x＋1＝0.解：(1)x1＝0；x2＝eq\f(3；2)；有两个不相等的实数根；(2)x1＝x2＝eq\f(\r(3)；3)；有两个相等的实数根；(3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时；有两个不相等的实数根；Δ＝0时；有两个相等的实数根；Δ＜0时；没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路；小组活动后；小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(B)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．当m为何值时；方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0；(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)m＜eq\f(1；4)；(2)m＝eq\f(1；4)；(3)m＞eq\f(1；4).3.已知x2＋2x＝m－1没有实数根；求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根；∴4－4(1－m)＜0；∴m＜0.对于方程x2＋mx＝1－2m；即x2＋mx＋2m－1＝0；Δ＝m2－8m＋4；∵m＜0；∴Δ＞0；∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路；小组内交流；上台展示并讲解思路．(10分钟)1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x2－3x－eq\f(3；2)＝0;(2)16x2－24x＋9＝0；(3)x2－4eq\r(2)x＋9＝0;(4)3x2＋10x＝2x2＋8x.解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：(1)x2＋x－12＝0;(2)x2－eq\r(2)x－eq\f(1；4)＝0；(3)x2＋4x＋8＝2x＋11;(4)x(x－4)＝2－8x；(5)x2＋2x＝0;(6)x2＋2eq\r(5)x＋10＝0.解：(1)x1＝3；x2＝－4；(2)x1＝eq\f(\r(2)＋\r(3)；2)；x2＝eq\f(\r(2)－\r(3)；2)；(3)x1＝1；x2＝－3；(4)x1＝－2＋eq\r(6)；x2＝－2－eq\r(6)；(5)x1＝0；x2＝－2;(6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a；b；c确定的；(2)在解一元二次方程时；可先把方程化为一般形式；然后在b2－4ac≥0的前提下；把a；b；c的值代入x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac)；2a)(b2－4ac≥0)中；可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a；b；c的值；再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此；请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.3因式分解法1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2.能根据具体的一元二次方程的特征；灵活选择方程的解法；体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律；如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛；那么经过xs物体离地的高度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)设物体经过xs落回地面；这时它离地面的高度为0；即10x－4.9x2＝0；①思考：除配方法或公式法以外；能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0；左边可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0；于是得x＝0或10－4.9x＝0；②∴x1＝__0__；x2≈2.04．上述解中；x2≈2.04表示物体约在2.04s时落回地面；而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻；即0s时物体被抛出；此刻物体的高度是0m.点拨精讲：(1)对于一元二次方程；先将方程右边化为0；然后对方程左边进行因式分解；使方程化为两个一次式的乘积的形式；再使这两个一次因式分别等于零；从而实现降次；这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0；那么a＝0或b＝0；这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0；那么__x＋1＝0或__x－1＝0__；即__x＝－1__或__x＝1．二、自学检测：学生自主完成；小组内展示；点评；教师巡视．(5分钟)1．说出下列方程的根：(1)x(x－8)＝0；(2)(3x＋1)(2x－5)＝0.解：(1)x1＝0；x2＝8；(2)x1＝－eq\f(1；3)；x2＝eq\f(5；2).2．用因式分解法解下列方程：(1)x2－4x＝0;(2)4x2－49＝0；(3)5x2－20x＋20＝0.解：(1)x1＝0；x2＝4;(2)x1＝eq\f(7；2)；x2＝－eq\f(7；2)；(3)x1＝x2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路；小组活动后；小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)5x2－4x＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x＋5)2＝3x＋15.解：(1)x1＝0；x2＝eq\f(4；5)；(2)x1＝eq\f(2；3)；x2＝－eq\f(1；2)；(3)x1＝－5；x2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0；另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程：(1)4x2－144＝0；(2)(2x－1)2＝(3－x)2；(3)5x2－2x－eq\f(1；4)＝x2－2x＋eq\f(3；4)；(4)3x2－12x＝－12.解：(1)x1＝6；x2＝－6；(2)x1＝eq\f(4；3)；x2＝－2；(3)x1＝eq\f(1；2)；x2＝－eq\f(1；2)；(4)x1＝x2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路；小组内交流；上台展示并讲解思路．(10分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋x＝0;(2)x2－2eq\r(3)x＝0；(3)3x2－6x＝－3;(4)4x2－121＝0；(5)(x－4)2＝(5－2x)2.解：(1)x1＝0；x2＝－1；(2)x1＝0；x2＝2eq\r(3)；(3)x1＝x2＝1；(4)x1＝eq\f(11；2)；x2＝－eq\f(11；2)；(5)x1＝3；x2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__；得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程；它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地；场地面积增加了一倍；求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2＝π(x＋5)2.解得x1＝5＋5eq\r(2)；x2＝5－5eq\r(2)(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋5eq\r(2))m.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b＝0；即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此；请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.4一元二次方程的根与系数的关系1.理解并掌握根与系数的关系：x1＋x2＝－eq\f(b；a)；x1x2＝eq\f(c；a).2.会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟)自学1：完成下表：方程x1x2x1＋x2x1x2x2－5x＋6＝02356x2＋3x－10＝02－5－3－10问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．②x2＋px＋q＝0的两根x1；x2用式子表示你发现的规律.答：x1＋x2＝－p；x1x2＝q.自学2：完成下表：方程x1x2x1＋x2x1x22x2－3x－2＝02－eq\f(1；2)eq\f(3；2)－13x2－4x＋1＝0eq\f(1；3)1eq\f(4；3)eq\f(1；3)问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax2＋bx＋c＝0的两根x1；x2用式子表示你发现的规律．答：x1＋x2＝－eq\f(b；a)；x1x2＝eq\f(c；a).自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝__eq\f(－b＋\r(b2－4ac)；2a)__；x2＝__eq\f(－b－\r(b2－4ac)；2a)__．x1＋x2＝－eq\f(b；a)；x1x2＝eq\f(c；a).二、自学检测：学生自主完成；小组内展示；点评；教师巡视．(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系；求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x2－3x－1＝0；(2)2x2＋3x－5＝0；(3)eq\f(1；3)x2－2x＝0.解：(1)x1＋x2＝3；x1x2＝－1；(2)x1＋x2＝－eq\f(3；2)；x1x2＝－eq\f(5；2)；(3)x1＋x2＝6；x1x2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路；小组活动后；小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程；求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x2－6x－15＝0;(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝6；x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝－eq\f(7；3)；x1x2＝－3；(3)x1＋x2＝eq\f(5；4)；x1x2＝eq\f(1；4).点拨精讲：先将方程化为一般形式；找对a；b；c.2．已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3；求另一根及k的值．解：另一根为eq\f(3；2)；k＝3.点拨精讲：本题有两种解法；一种是根据根的定义；将x＝－3代入方程先求k；再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．已知α；β是方程x2－3x－5＝0的两根；不解方程；求下列代数式的值．(1)eq\f(1；α)＋eq\f(1；β)；(2)α2＋β2；(3)α－β.解：(1)－eq\f(3；5)；(2)19；(3)eq\r(29)或－eq\r(29).二、跟踪练习：学生独立确定解题思路；小组内交流；上台展示并讲解思路．(8分钟)1．不解方程；求下列方程的两根和与两根积：(1)x2－3x＝15;(2)5x2－1＝4x2；(3)x2－3x＋2＝10;(4)4x2－144＝0.解：(1)x1＋x2＝3；x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝0；x1x2＝－1；(3)x1＋x2＝3；x1x2＝－8；(4)x1＋x2＝0；x1x2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是(C)A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数；两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程；根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合；可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式；再确定a；b；c.2．当且仅当b2－4ac≥0时；才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：x1＋x2＝－eq\f(b；a)(比前面有负号)；x1x2＝eq\f(c；a)(比前面没有负号)．学习至此；请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义；检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤