工学6-7现代测试技术-相关函数时域法与小波频域分析法

现代测试技术2011.10第四章相关函数时域分析法与

小波变换频域分析法相关函数时域分析法与小波变换频域分析法4.1时域与频域第一节时域与频域4.1时域与频域一、信号信号是信息的载体和具体表现形式，信息需转化为传输媒质能够接受的信号形式方能传输。广义的说，信号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量中，才可能含有信息。信号信号的分类按信号随时间的变化规律分类按信号幅值随时间变化的连续性分类4.1时域与频域二、时域分析4.1时域与频域对信号的传统分析方法是波形分析。表示信号的时间函数，包含了信号的全部信息量，信号的特性首先表现为它的时间特性。可以显示，例如信号幅值对应的时间；同一形状的波形重复出现的周期长短；信号波形本身变化的速率（如脉冲信号的脉冲持续时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程度）。以时间函数描述信号的图象称为时域图，在时域上分析信号称为时域分析。三、频域分析4.1时域与频域频域分析也称为频谱分析，是指对信号在频率域内进行分析。时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。目前，信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而，它们是互相联系，缺一不可，相辅相成的。分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等。信号的时域分析与频域分析既相互独立又密切相关。可以通过傅里叶变换把它们联系起来并互相转换。频域平面时域平面频域（不显示负向变换）时域频域四、时域与频域分析关系4.1时域与频域时域分析频域分析信号在频域与时域之间的变换（正反傅立叶变换式）五、时域与频域分析方法4.1时域与频域信号时域分析（线性系统叠加原理、相关分析技术）卷积积分的应用及其数学描述周期信号的频域分析(三角与指数傅立叶级数）非周期信号的频域分析（傅立叶积分）其他衍生方法4.1时域与频域周期信号的分解满足狄里赫利条件：在一个周期里连续或只有有限个第一类间断点在一个周期里只有有限个极大值和极小值积分

存在周期信号f(t)=f(t+kT)，T：信号周期，展开为傅立叶级数：

一个周期信号可以分解为直流分量和一系列谐波分量。或者说，一个周期信号由一个直流分量和一系列谐波分量叠加成。一般的电信号都可以展开为傅立叶级数。常见信号波形图及频谱4.1时域与频域第二节相关函数时域分析法4.2相关函数时域分析法案例1：地下输油管道漏损位置的探测tX1X2三个案例三个案例案例2：地震位置测量三个案例15内部噪声雷达干扰目标气象杂波地杂波影响雷达检测目标的因素目标回波案例3：雷达系统中的检测与估计三个案例雷达发射机收发转换开关雷达接收机接收机输出案例3：雷达系统中的检测与估计一、随机过程的基本概念4.2相关函数时域分析法(si,t)=xi(t),样本函数;(s,tk)=(tk),随机变量;(si,tk)=确定实数x1(t)x2(t)xi(t)xN(t)实数值样本函数tkt(si,tk)随机过程：所有样本函数的集合，t与s均可变；样本函数：确定的时间函数，t是变量，s是固定的；样本随机变量：t固定时，随机信号的状态;样本值：确定的数值，t与s均固定随机过程随机过程的两种基本表征样本函数集合随机变量集合x1(t)x2(t)xi(t)xN(t)实数值样本函数tkt(si,tk)4.2相关函数时域分析法随机过程4.2相关函数时域分析法随机过程(t)的数字特征数学期望方差自相关函数自相关函数描述同一随机过程的相关程度，与选择时刻t1和t2有关。如果t2>t1并令t2=t1+，有即相关函数是时间起点t1以及时间间隔的函数。4.2相关函数时域分析法二、变量的相关分析相关函数(correlationfunction)的提出《线性代数》中相关的概念如果中至少有一个不为零时，上式才成立，则线性相关(linearcorrelation)。如果中全部为零时，上式才成立，则线性无关(linearindependence)。线性相关和线性无关的几何意义二维和三维的情况？提出问题：如何研究两个随机变量的相关问题？部分相关的大致情况有以下三种要求找到一个函数表达式来概括描述上述三种情况？4.2相关函数时域分析法相关函数(correlationfunction)的提出如何定量地描写两信号部分相关的程度大小？4.2相关函数时域分析法4.2相关函数时域分析法设x(t)与y(t)为能量有限信号(Finiteenergysignal)x(t)与y(t)互相关函数(crosscorrelationfunction)x(t)的自相关函数(autocorrelationfunction)4.2相关函数时域分析法相关函数(correlationfunction)的定义4.2相关函数时域分析法相关函数(correlationfunction)的定义功率有限信号(Finitepowersignal)x(t)与y(t)互相关函数(crosscorrelationfunction)x(t)的自相关函数(autocorrelationfunction)相关函数的性质

相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。（1）自相关函数是的偶函数，RX()=Rx(-)；（2）当=0时，自相关函数具有最大值；（3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息；（4）随机噪声信号的自相关函数将随的增大快速衰减；（5）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留原了信号的相位信息。（6）两个非同频率的周期信号互不相关。4.2相关函数时域分析法4.2相关函数时域分析法典型的自相关函数4.2相关函数时域分析法典型的自相关函数4.2相关函数时域分析法相关函数算法：令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差τ，再相乘和积分，就可以得到τ时刻二个信号的相关性。x(t)y(t)时延器

乘法器

y(t-τ)X(t)y(t-τ)积分器

Rxy(τ)*图例4.2相关函数时域分析法相关函数算法：

如果所研究的变量x,y是与时间有关的函数，即x(t)与y(t)：相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。x(t)y(t)y(t)y(t)y(t)4.2相关函数时域分析法二、变量的相关分析4.2相关函数时域分析法相关系数的概念某一点的互相关函数值大小不能用来表达相关程度的大小。某一点的自相关函数值不能用来表达相关程度的大小。要求有一个无量纲的，相对的数值来描述相关程度？相关系数的定义4.2相关函数时域分析法xyxyxyxy随机变量的相关性4.2相关函数时域分析法地下输油管道漏损位置的探测tX1X24.2相关函数时域分析法三、相关分析的工程应用地震位置测量4.2相关函数时域分析法37内部噪声雷达干扰目标气象杂波地杂波影响雷达检测目标的因素目标回波雷达系统中的检测与估计4.2相关函数时域分析法雷达发射机收发转换开关雷达接收机接收机输出雷达系统中的检测与估计4.2相关函数时域分析法4.2相关函数时域分析法估计两个相似信号间的时间延迟（测距，测速）利用互相关函数计算相对时移自相关测转速理想信号干扰信号实测信号自相关系数提取周期性转速成分。4.2相关函数时域分析法机械加工表面粗糙度自相关分析被测工件相关分析提取出回转误差等周期性的故障源。4.2相关函数时域分析法相关流量计Ａ－管道横截面，Ｓ－两传感器间距流速流量4.2相关函数时域分析法第三节小波变换频域分析法4.3小波变换频域分析法4.3小波变换频域分析法一、傅里叶变换简述从本质上讲，Fourier变换就是一个棱镜（Prism），它把一个信号函数分解为众多的频率成分，这些频率又可以重构原来的信号函数，这种变换是可逆的且保持能量不变。傅里叶变换-棱镜示意4.3小波变换频域分析法傅立叶变换(FourierTransform,STFT)周期信号f(t)可以用简单的振荡函数表示成如下形式：于是，周期函数f(t)就与傅立叶级数一一对应，即有称为f(t)的傅立叶变换，反变换公式为傅立叶反变换(FourierTransform,STFT)傅立叶反变换(FourierTransform,STFT)4.3小波变换频域分析法在过去200年里，傅立叶变换在科学与工程领域发挥了巨大的作用，但傅立叶变换也有不足，主要表现在以下三点：傅立叶变换的不足之处

傅立叶变换在无限的时域上进行，不能刻画时域信号的局部特性，不能表征随时间变化的频率；傅立叶变换对非线性、非平稳信号的处理效果不好；傅里叶变换不具有灵活可变的时间——频率窗；有些信号不存在傅里叶变换；傅里叶变换与反变换求解比较麻烦；4.3小波变换频域分析法4.3小波变换频域分析法二、短时傅里叶变换（STFT）一个信号的STFT定义如下:

其中h(t)是窗函数。沿时间轴移动分析窗，可以得到两维的时频平面。优点：容易实现。STFT分析实质上是限制了时间窗长的Fourier分析。缺点：只能选定一个固定的窗函数,较长的窗可以改善频域解但会使时域解变糟;而较短的窗尽管能得到好的时域解,频域解却会变得模糊。矩形窗几种常见的窗函数-矩形窗4.3小波变换频域分析法三角窗几种常见的窗函数-三角窗4.3小波变换频域分析法Ⅲ、汉宁窗几种常见的窗函数-汉宁窗4.3小波变换频域分析法指数窗几种常见的窗函数-指数窗4.3小波变换频域分析法歌声信号:

歌声是一种声音震荡的波函数，其傅立叶变换就是将这个波函数转化成某种乐谱。但遗憾地是，傅立叶变换无法反映信号在哪一时刻有高音，在哪一时刻有低音，因此结果是所有的音符都挤在了一起，如图所示。小波分析是傅立叶分析最辉煌的继承、总结和发展。三、小波变换法引例4.3小波变换频域分析法声音信号的傅里叶分析4.3小波变换频域分析法不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。有这么一种变换叫小波变换(WaveletTransform)4.3小波变换频域分析法因此我们需要这样一个数学工具：能在时域和频域很好地刻画信号的局部性。即，希望能找到另外一个基函数(t)

来代替sint。(t)

应满足以下三个特性：任何复杂的信号f(t)，都能由一个母函数(t)经过伸缩和平移产生的基底的线性组合表示；信号用新的基展开的系数要能反映出信号在时域上的局部化特性；新的基函数(t)

及其伸缩平移要比三角基sint更好地匹配非平稳信号。小波的定义4.3小波变换频域分析法函数ψ(t)是小波函数，如果它满足

对小波函数的要求非常宽松，只要具有一定振荡性即某种频率特性即可。

小波函数的选择具有十分广阔的空间；

小波函数ψ(t)的平移和伸缩构成一组正交小波基。4.3小波变换频域分析法小波即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为零的波形。它有两个特点：“小”，即在时域具有紧支集或近似紧支集；正负交替的“波动性”，也即支流分量为零。Haar小波一些著名的小波4.3小波变换频域分析法

MexicoHat小波

Morlet小波4.3小波变换频域分析法尺度伸缩

对波形的尺度伸缩就是在时间轴上对信号进行压缩和伸展。小波变换中的伸缩与平移4.3小波变换频域分析法尺度伸缩4.3小波变换频域分析法

时间平移

时间平移就是指小波函数在时间轴上的波形平行移动。4.3小波变换频域分析法

尺度与频率的关系尺度与频率的关系如下：小尺度a压缩的小波快速变换的细节高频部分大尺度a拉伸的小波缓慢变换的粗部低频部分4.3小波变换频域分析法其中，积分核为的函数族。a＞0为尺度参数（伸缩参数）,b为定位参数（平移参数），该函数称为小波。若a＞1函数ψ(t)具有伸展作用，若a＜1函数ψ(t)具有收缩作用。4.3小波变换频域分析法小波变换的数学定义随着参数a的减小，ψ(t)的支撑区也随之变窄，反之亦然。小