概率统计模型课件

概率统计模型初等概率模型随机决策模型概率模型

现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，可用随机变量和概率分布描述随机因素的影响，建立随机模型--概率模型。统计模型

如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的模型，那么通常要搜集大量的数据，基于对数据的统计分析建立模型，这就是本章还要讨论的用途非常广泛的一类随机模型—统计回归模型。随机决策模型日常理财决策一：存银行决策二：投资好处：保险、增值不足：收入较低好处：收入较高不足：风险大决策问题：常见于政治、经济、文化、社会及日常生活中决策问题分类确定性决策不确定性决策风险性决策如：微分方程模型、规划论模型房地产投资、股票投资等风险性决策模型内容风险决策模型的概念决策树概念两个实例风险决策——是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策因存在一定的风险.1、风险性决策模型的基本概念风险决策的定义风险决策的基本要素内容包括：决策者、方案、准则、状态、结果方案或策略：参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略.决策者：进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较重大和严肃时，通常应以后者形式出现.准则：衡量所选方案正确性的标准.作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断.事件或状态：不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人所不可控因素.结果：某事件(状态)发生带来的收益或损失值.风险决策的基本要素内容包括：决策者、方案、准则、状态、结果风险决策的方法决策树法：利用树形图法表示决策过程的方法.决策树法的特点：直观、简便利用灵敏度分析方法对决策结果进行进一步的推广和分析2、决策树的概念【例1】某渔船要对下个月是否出海打渔作出决策，若出海后天气好的话，可获收益5000元，若天气变坏将损失2000元；若不出海，无论天气好坏都将承担1000元损失费。据预测，下个月好天气的概率为0.6，坏天气的概率为0.4.问如何作出最佳决策？决策树的画法A决策结点策略分枝BC状态结点概率分枝益损值出海不出海天气好0.6天气坏0.4天气好0.6天气坏0.45000-2000-1000-1000注意：画决策树时，方向为从左到右，画的过程中同时将各种数据标于相应的位置。上面的树形图即为“打渔”问题的数学模型，如何求解该模型？上例的决策树如图所示，其中：□——表示决策点，从它引出的分枝叫方案分枝，其数目就是方案数○——表示机会节点，从它引出的分支叫概率分支，每条概率分支代表一种自然状态，并标有相应状态发生的概率。△——称为末稍节点，右边数字表示各方案在不同自然状态下的益损值。ABC出海不出海天气好0.6天气坏0.4天气好0.6天气坏0.45000-2000-1000-1000模型的求解方法：期望值准则注意:求解过程为从右到左进行，即从最右端的结点开始计算其期望值。以“打渔”问题为例，先计算“出海”的收益期望值：以出海的收益作为随机变量X，相应的天气情况的概率作为概率，则相应的概率分布为：X5000-2000P0.60.4ABC出海不出海天气好0.6天气坏0.4天气好0.6天气坏0.45000-2000-1000-1000X5000-2000P0.60.4于是，出海的收益期望值为：E(X)=5000×0.6+(-2000)×0.4=22002200同理，不出海的收益期望值为：E(Y)=-1000×0.6+(-1000)×0.4=-1000-1000最后，比较两个期望值的大小，进行决策：出海！上例只包括一个决策点，称为单级决策问题。在有此实际问题中将包括两个或两个以上的决策点，称为多级决策问题，可利用同样的思路进行决策。【例3】投资决策问题：为了生产某种产品，设计了两个基建方案，一是建大厂，二是建小厂，大厂需要投资300万元，小厂需要投资160万元，两者的使用期都是10年。估计在此期间，产品销路好的可能性是0.7，销路差的可能性是0.3，若销路好，建大厂每年收益100万元，建小厂每年收益40万元；若销路差，建大厂每年损失20万元，建小厂每年收益10万元（详见下表），试问应建大厂还是建小厂？进一步的，将投资分为前三年和后七年两期考虑，根据市场预测，前三年销路好的概率为0.7，而如果前三年的销路好，则后七年销路好的概率为0.9，如果前三年的销路差，则后七年的销路肯定差，在这种情况下，建大厂和建小厂哪个方案好？

销路好0.7销路差0.3建大厂100-20建小厂4010状态及概率益损值方案图4—1决策树

注意：决策问题的目标如果是效益（如利润、投资、回报等）应取期望值的最大值，如果决策目标是费用的支出或损失，则应取期望值的最小值。

（2）多级决策问题

下面以投资决策问题为例，说明决策方法。

（a）画决策树（图4—2）

（b）计算各点的益损期望值：

点2：[0.7×100+0.3×(-20)]×10(年)-300（大厂投资）=340万元

点3：[0.7×40+0.3×10]×10(年)-160（小厂投资）=150万元

由此可见，建大厂的方案是合理的。

现在考虑一种情况：

假定对投资决策问题分为前三年和后七年两期考虑。根据市场预测，前三年销路好的概率为0.7，而如果前三年销路好，则后七年销路好的概率为0.9，如果前三年销路差，则后七年的销路肯定差，在这种情况下，建大厂和建小厂那个方案好？

（a）画出决策树如下（图4—3）

图4—3决策树（b）计算各点的益损期望值

点4：[0.9×100+0.1×(—20)]×7(年)=616万元

点5：1.0×(—20)×7(年)=—140万元

点2：0.7×100×3(年)+0.7×616+0.3×(—20)×3(年)+0.3×(—140)

—300(大厂投资)=281.2

点6：[0.9×40+0.1×10]×7(年)=259

点7：1.0×10×7(年)=70

点3：0.7×40×3(年)+0.7×259+0.3×10×3(年)+0.3×70—

160(小厂投资)=135.3

通过比较，建大厂仍然是合理方案。【例3】某工程采正常速度施工，若无坏天气的影响，可确保在30天内按期完成工程，但据天气预报，15天后肯定变坏，有40%的可能出现阴雨天气，但这不会影响工程进度;有50%的可能遇到小风暴而使工期推迟15天;另有10%的可能遇到大风暴而使工期推迟20天。对于以上可能出现的情况，考虑两种方案：（1）提前加班，确保工程在15天内完成，实施此方案需增加额外支付18000元。（2）先维持原定的施工进度，等到15天后根据实际出现的天气状况再作对策：a）若遇阴雨天，则维持正常进度，不必支付额外费用。b）若遇小风暴，则有下述两个供选方案：一是抽空（风暴过后）施工，支付工程延期损失费20000元，二是采用应急措施，实施此措施可能有三种结果：有50%的可能减少误工期1天，支付延期损失费和应急费用24000元;的可能减少误工期2天，支付延期损失费和应急费用18000元;有20%的可能减少误工期3天支付延期损失费和应急费用12000元。3）若遇大风暴，则仍然有两个方案可供选择：一是抽空进行施工，支付工程的延期损失费50000元;二是采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有70%的可能减少误工期2天，支付延期损失费及应急费用54000元;有20%可能减小误工期3天，支付延期损失费及应急费用46000元;有10%的可能减少误工期4天，支付延期损失费及应急费用38000元。试进行决策，选择最佳行动方案。解：（1）据题意画出决策树，如图：

A正常速度

风暴CE0－18000

－12000－18000

－24000

－20000

BDF－54000

－46000

－38000－50000

减少误工3天(0.2)

减少误工4天(0.1)减少误工2天(0.7)

减少误工1天(0.5)减少误工2天(0.3)减少误工3天(0.2)

阴雨0.40.5

0.1

-

提前加班

应急正常施工

正常施工

应急

台风

A正常速度

风暴CE0－18000

－12000－18000

－24000

－20000

BDF－54000

－46000

－38000－50000

(0.2)(0.1)(0.7)(0.5)(0.3)(0.2)

阴雨0.40.5

0.1

提前加班

应急正常施工

正常施工

应急

台风

求解上述模型先做一级决策对台风情形，计算采取应急措施付出的数学期望为：E(F)=-(0.7×54000+0.2×46000+0.1×38000)=-50800-50800同理，对决策结点C计算采取应急措施时状态结点E所支付的数学期望值为-19800-19800A正常速度

风暴CE0－18000

－12000－18000

－24000

－20000

BDF－54000

－46000

－38000－50000

(0.2)(0.1)(0.7)(0.5)(0.3)(0.2)

阴雨0.40.5

0.1

-

提前加班

应急正常施工

正常施工

应急

台风

求解上述模型对决策D，因为采取应急措施的数学期望为-50800，正常施工的期望即为-50000显然，应采取决策为正常施工。-50800-19800-50000同理，对决策C，应采取应急措施进行施工，即C的期望值为-19800-19800A正常速度

风暴CE0－18000

－12000－18000

－24000

－20000

BDF－54000

－46000

－38000－50000

(0.2)(0.1)(0.7)(0.5)(0.3)(0.2)

阴雨0.40.5

0.1

-

提前加班

应急正常施工

正常施工

应急

台风

求解上述模型再做二级决策：再状态结点B处，用第1级决策的结果计算“效益”的数学期望值为：E(B)=0×0.4+(-19800)×0.5+(-50000)×0.1=-14900-50800-19800-50000-19800-14900A正常速度

风暴CE0－18000

－12000－18000

－24000

－20000

BDF－54000

－46000

－38000－50000

(0.2)(0.1)(0.7)(0.5)(0.3)(0.2)

阴雨0.40.5

0.1

-

提前加班

应急正常施工

正常施工

应急

台风

最后结论：不用提前加班，等15天后遇阴雨太天或台风都只须听其自然按原来的进度施工，而遇暴风雨则采取应急措施，此决策方案支付的数学期望为14900元-50800-19800-50000-19800-14900【讨论题】天龙服装厂设计了一款新式女装准备推向全国。如果直接大批量生产与销售，主观估计成功与失败的概率各为0.5其分别的获利为1200万元与-500万元，如取消生产销售计划，则损失设计与准备费用40万元。为稳妥起见，可先小批量生产试销，试销的投入需45万元。据历史资料与专家估计，试销成功与失败的概率分别为0.6与0.4，又据过去情况，大批生产销售为成功的例子中，试销成功的占84%，大批生产销售失败的事例中，试销成功的占36%。试根据以上数据，通过建立决策树模型按期望值准则确定最优决策。问题分析与模型假设

4.设定以下变量

1.问题涉及直接大批量生产与销售、取消生产销售计划和小批量试销售这样三个决策方案的取舍，在每种方案下又分为成功或失败两种结果；2.决策目标在表面上看是获利大小，实际上是要决定试销与否；3.尚需注意后面几句话：“大批生产销售为成功的例子中，试销成功的占84%，大批生产销售失败的事例中，试销成功的占36%”，这意味着要计算两个概率，其一是当试销成功时，大批量销售成功与失败的概率；其二是试销失败情况下，大批量销售成功与失败的概率，这意味着要利用贝叶斯概率公式；

--试销成功，则--试销失败；

--大量销售成功，则--大量销售失败。模型建立1.先来计算两个概率，注意到代入贝叶斯概率公式

从而即当试销成功时，大批量销售成功与失败的概率分别为0.78和0.22.同理可以算出在试销失败情况下，大批量销售成功与失败的概率分别为0.22和0.78.试销-45万成功0.6失败0.4不试销大量销售大量销售大量销售取消销售取消销售取消销售成功0.78成功0.22成功0.5失败0.78失败0.22失败0.51200万-500万-40万1200万-500万-40万1200万-500万-40万试销与否作为决策思路，从左至由画出决策树模型如下，这棵树即为所求的数学模型。为了简单化，原题没有对求解等后续过程作要求。我们不妨将模型求解出来。（三）模型求解试销-45万成功0.6失败0.4不试销大量销售大量销售大量销售取消销售取消销售取消销售成功0.78成功0.22成功0.5失败0.78失败0.22失败0.51200万-500万-40万1200万-500万-40万1200万-500万-40万图--3350350-40-126479.6434.6826826案例一航空公司的预订票策略1.问题的提出在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。当然也可以订票时只订座，登机时才付款，这两种办法对于下面的讨论是等价的。设某种型号的飞机容量为n，若公司限制预定n张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本，如果不限制订票数量呢，那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，必然会引起那些不能登机飞走的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨，公司不管以什么方式予以补救，也会导致受损和一定的经济损失，如客员减少，挤掉以后班机乘客，公司无偿供应食宿，付给一定的赔偿金等。这样，综合考虑公司经济利益，必然存在一个恰当订票数量和限额。

假设飞机容量为300，乘客准时到达机场而未乘上飞机赔偿费是机票价格的10%，飞行费用与飞机容量、机票价格成正比（由统计资料知，比例系数为0.6，乘客不按时前来登机的概率为0.03），请你:

1）建立一个数学模型，给出衡量公司经济利益和社会声誉的指标，对上述预定票业务确定最佳的预定票数量。

2）考虑不同客源的不同需要，如商人喜欢上述这种无约束的预定票业务，他们宁愿接受较高的票价，而按时上下班的雇员或游客，会愿意以若不能按时前来登机则机票失效为代价，换取较低额的票价。公司为降低风险，可以把后者作为基本客源。根据这种实际情况，制定更好的预订票策略。2.模型假设与符号说明模型假设（1）假设预订票的乘客是否按时前来登机是随机的。

（2）假设已预订票的乘客不能前来登机的乘客数是一个随机变量。

（3）假设飞机的飞行费用与乘客的多少无关。符号约定n：飞机的座位数，即飞机的容量；

g：机票的价格；

f：飞行的费用；

b：乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费；m：售出的机票数；

k：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数，即迟到的乘客数，它是一个随机变量；

pk：已预订票的m个乘客中有k个乘客不能按时前来登机的概率；

p：每位乘客迟到的概率；

Pj（m）：已预订票前来登机的乘客中至少挤掉j人的概率，即社会声誉指标；

S：公司的利润；

ES：公司的平均利润。

当m-k≤n

时，说明m-k个乘客全部登机，此时利润S=（m-k）g-f3.问题的分析及数学模型问题的分析通过上面引进的符号易知，赔偿费b=0.1g，飞行费用f=0.6ng，每位乘客迟到的概率p=0.03，已预订票的m个乘客中，恰有k个乘客不能按时前来登机，即迟到的乘客数k服从二项分布B（m，p），当m-k>n时，说明有n个乘客登机，有m-k-n个乘客没有登上飞机，即被挤掉了，此时利润S=ng–f-(m–k-n)b根据以上的分析，利润S可表示为：迟到的乘客数k=0,1,2,…,m-n-1时，说明有m-k-n个乘客被挤掉；

迟到的乘客数k=m-n，m-n+1，…，m时，说明已来的m-k个乘客全部登机了。于是平均利润因为由于k服从B（n，p）可知，随机变量k的数学期望E（k）=mp，此时，所以模型建立

通过以上对问题的分析，可以在一定的社会声誉指标Pj（m）范围内，寻求合适的m，根据f=0.6Ng的关系，使得目标函数ES/f达到最大，即下面考虑社会声誉指标:

由于m=n+k+j，所以k=m-n-j，即当被挤掉的乘客数为j时，等价的说法是恰有m-n-j个迟到的乘客。

公司希望被挤掉的乘客人数不要太多，被挤掉的概率不要太大，可用至少挤掉j人的概率作为声誉指标，相应地k的取值范围为k=0,1,2,…,m-n-j，社会声誉指标

为了对模型（1）进行求解，可以分别给定m，比m=305,306,…,350，计算ES/f，同时，给定j，比如取j=5，计算社会声誉指标Pj（m），从中选取使ES/f最大，且社会声誉指标Pj（m）小于等于某个α（比如取α=0.05）的最佳订票数m。4.模型求解下面给出MATLAB计算程序：

%飞机最佳订票策略ch34

%文件名：ch34.m

%m表示售出的票数；Es表示平均利润；p表示声誉指标；

form=305:325

sm=0;

p=0;

fork=0:m-305

pp=(prod(m-k+1:m)/prod(1:k))*0.03^k*0.97^(m-k);p=p+pp;

sm=sm+(m-k-300)*pp/prod(1:k);

end

Es=(1/180)*[0.97*m-1.1*sm]-1;

m

Es

p

end

mESp3050.64369.2338e-0053060.64909.3723e-0043070.65430.00483083093103113123133143150.65960.66490.67030.67560.68100.68640.69170.69710.01670.04420.09520.17420.27960.40280.53140.6525

3160.70240.75663170.70780.83883180.71320.89903190.71850.93993200.72390.96613210.72930.98183220.73470.99073230.74000.99543240.74540.99793250.75080.9990从计算结果易见，当m=309时，社会声誉指标当m=310时，社会声誉指标所以为了使ES/f量大，且要满足社会声誉指标，则最佳订票数可取m=309。2、某市要投资一个项目，有3个方案可供选择：（1）一次投资到位，需要资金1.4亿；根据测算，该项目产品如果销售好，每年可获利2千万元；如果销售差，每年将亏损0.5千万元，项目的服务期20年。（2）二次投资，先投资5.8亿万元，如果销售时，六年后扩大项目规模，追加投资8千万元，如果第一次产品销售好，每年可获利0.8千万元，销售差时，每年可获利0.6千万元；扩大规模后，每年获利1.9千万元，扩建后的服务期14年。（3）小规模投资5.8千万元，服务期20年。根据市场预测，该项目上马之后，产品20年内销售好的概率为0.7，销售不好的概率为0.3。选择最优方案

1、最孤独的时光，会塑造最坚强的自己。

2、把脸一直向着阳光，这样就不会见到阴影。

3、永远不要埋怨你已经发生的事情，要么就改变它，要么就安静的接受它。

4、不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。

5、通往光明的道路是平坦的，为了成功，为了奋斗的渴望，我们不得不努力。

6、付出了不一定有回报，但不付出永远没有回报。

7、成功就是你被击落到失望的深渊之后反弹得有多高。

8、为了照亮夜空，星星才站在天空的高处。

9、我们的人生必须励志，不励志就仿佛没有灵魂。

10、拼尽全力，逼自己优秀一把，青春已所剩不多。

11、一个人如果不能从内心去原谅别人，那他就永远不会心安理得。

12、每个人心里都有一段伤痕，时间才是最好的疗剂。

13、如果我不坚强，那就等着别人来嘲笑。

14、早晨给自己一个微笑，种下一天旳阳光。

15、没有爱不会死，不过有了爱会活过来。

16、失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。

17、当我微笑着说我很好的时候，你应该对我说，安好就好。

18、人不仅要做好事，更要以准确的方式做好事。

19、我们并不需要用太华丽的语言来包裹自己，因为我们要做最真实的自己。

20、一个人除非自己有信心，否则无法带给别人信心。

21、为别人鼓掌的人也是在给自己的生命加油。

22、失去金钱的人损失甚少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。

23、相信就是强大，怀疑只会抑制能力，而信仰就是力量。

24、那些尝试去做某事却失败的人，比那些什么也不尝试做却成功的人不知要好上多少。

25、自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。

26、没有热忱，世间便无进步。

27、失败并不意味你浪费了时间和生命，失败表明你有理由重新开始。

28、青春如此华美，却在烟火在散场。

29、生命的道路上永远没有捷径可言，只有脚踏实地走下去。

30、只要还有明天，今天就永远是起跑线。

31、认真可以把事情做对，而用心却可以做到完美。

32、如果上帝没有帮助你那他一定相信你可以。

33、只要有信心，人永远不会挫败。

34、珍惜今天的美好就是为了让明天的回忆更美好。

35、只要你在路上，就不要放弃前进的勇气，走走停停的生活会一直继续。

36、大起大落谁都有拍拍灰尘继续走。

37、孤独并不可怕，每个人都是孤独的，可怕的是害怕孤独。

38、宁可失败在你喜欢的事情上，也不要成功在你所憎恶的事情上。

39、我很平凡，但骨子里的我却很勇敢。

40、眼中闪烁的泪光，也将化作永不妥协的坚强。

41、我不去想是否能够成功，既然选了远方，便只顾风雨兼程。

42、宁可自己去原谅别人，莫等别人来原谅自己。

43、踩着垃圾到达的高度和踩着金子到达的高度是一样的。

44、每天告诉自己一次：我真的很不错。

45、人生最大的挑战没过于战胜自己！

46、愚痴的人，一直想要别人了解他。有智慧的人，却努力的了解自己。

47、现实的压力压的我们喘不过气也压的我们走向成功。

48、心若有阳光，你便会看见这个世界有那么多美好值得期待和向往。

49、相信自己，你能作茧自缚，就能破茧成蝶。

50、不能强迫别人来爱自己，只能努力让自己成为值得爱的人。

51、不要拿过去的记忆，来折磨现在的自己。

52、汗水是成功的润滑剂。

53、人必须有自信，这是成功的秘密。

54、成功的秘密在于始终如一地忠于目标。

55、只有一条路不能选择――那就是放弃。

56、最后的措手不及是因为当初游刃有余的自己

57、现实很近又很冷，梦想很远却很温暖。

58、没有人能替你承受痛苦，也没有人能抢走你的坚强。

59、不要拿我跟任何人比，我不是谁的影子，更不是谁的替代品，我不知道年少轻狂，我只懂得胜者为。