2022年北师大版数学九上期末测试卷(附答案)

九上期末试卷

一、单项选择题〔共10题；共30分〕

1.以下几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是〔〕

A.B.C.D.

2.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=6〔x＞0〕的图象交于A〔m，6〕，B〔3，n〕两

𝑥

点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，以下结论：①一次函数解析式为y=﹣2x+8；②AD=BC；

③kx+b﹣6＜0的解集为0＜x＜1或x＞3；④△AOB的面积是8，其中正确结论的个数是〔〕

𝑥

个个个个

3.某反比例函数的图象经过点〔-1，6〕，那么此函数图象也经过点().

A.(2,−3)B.(−3,−3)C.(2,3)D.(−4,6)

4.一个口袋中装有10个红球和假设干个黄球，在不允许将求倒出来数的前提下，为估计袋

中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与

10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程20次，得到红球与10的比值的平

均数为，根据上述数据，估计口袋中大约有〔〕个黄球．

5.以下结论中正确的选项是〔〕

A.有两条边长是3和4的两个直角三角形相似

B.一个角对应相等的两个等腰三角形相似

C.两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似

D.有一个角为60°的两个等腰三角形相似

6.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为〔〕

A.B.C.D.

7.函数y=x-5，令x=1，1，3，2，5，3，7，4，9，5，可得函数图象上的十个点．在这

22222

十个点中随机取两个点〔，〕，〔，〕，那么，两点在同一反比例函数图

Px1y1Qx2y2PQ

象上的概率是〔)

A.1B.4C.7D.2

945455

8.以下图形中，面积最大的是〔〕

A.边长为6的正三角形B.长分别为3、4、5的三角形

C.半径为√3的圆D.对角线长为6和8的菱形

9.如图，A〔1，2〕、B〔-1，-2〕是函数y＝2的图象上关于原点对称的两点，BC∥x轴，AC

𝑥

∥y轴，△ABC的面积记为S，那么〔)

A.S=2B.S=4C.S=8D.S=1

10.等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上的一点，AD=BD，那么以下结论中正确的有

〔〕①△BCD是等腰三角形；②点D是线段AC的黄金分割点；③△BCD∽△ABC；④BD

平分∠ABC．

个个个个

二、填空题〔共10题；共33分〕

如图，∥𝑙∥𝑙，如果：：，那么的长是．

11.𝑙123AB𝐵𝐶=23,𝐷𝐸=4EF________

关于的一元二次方程2﹣2﹣的两个实数根分别是、，且22，那么

12.xx2kx+kk=0x1x2x1+x2=4

2﹣2的值是．

x1x1x2+x2________

13.如图，现有一张矩形纸片ABCD，其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿

直线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点B′，那么B′、C两点之间的距离是________cm．

14.如图，在矩形ABCD中，AB：BC=3：5．以点B为圆心，BC长为半径作圆弧，与边AD交

于点E，那么𝐴𝐸的值为________．

𝐸𝐷

𝑚𝑛

15.实数m、n满足m2﹣4m﹣1=0，n2﹣4n﹣1=0，那么+=________．

𝑛𝑚

16.如图，在ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，假设∠1=20°，那么∠2的度数为________．

17.如图，AB⊥AC，AD⊥BC，AB=6，BC=9，那么图中线段的长BD=________，AD=________，

AC=________

18.假设关于x的方程〔a+3〕x|a|﹣1﹣3x+2=0是一元二次方程，那么a的值为________．

如图，在平面直角坐标系中，点〔，〕，点〔，〕，作第一个正方形

19.A√30B01OA1C1B1

且点在上，点在上，点在上；作第二个正方形且点在

A1OAB1OBC1ABA1A2C2B2A2A1A

上，点在上，点在上，如此下去，那么点的纵坐标为．

B2A1C2C2AB…Cn________

20.如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦=−√3𝑥+√3交x轴于A点，交y轴于B点，点C

3

是线段AB的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C逆时针旋转30°交x轴于点D，再过D

点作直线∥，交与点，然后过点继续作直线∥，交轴于点，并

DC1OCABC1C1D1C1DCxD1

不断重复以上步骤，记的面积为，的面积为，依此类推，后面的三角形

△OCDS1△DC1D1S2

面积分别是，，那么，假设，当无限大时，的值无

S3S4…S1=________S=S1+S2+S3+…+SnnS

限接近于________．

三、解答题〔共9题；共57分〕

如图，在由边长为的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及及；

21.1△A1B1C1△A2B2C2

〔1〕假设点A、C的坐标分别为〔﹣3，0〕、〔﹣2，3〕，请画出平面直角坐标系并指出

点B的坐标；

〔〕画出关于轴对称再向上平移个单位后的图形；

2△ABCy1△A1B1C1

〔〕以图中的点为位似中心，将作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到

3D△A1B1C1

△A．

2B2C2

22.如图是一个粮仓〔圆锥与圆柱组合体〕的示意图，请画出它的三视图．

23.，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．

24.随着国家“惠民政策〞的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药

品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98

元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．

25.甲、乙两位同学做抛骰子〔均匀正方体形状〕实验，他们共抛了60次，出现向上点数的

次数如表：

向上点数123456

出现次数810791610

〔1〕计算出现向上点数为6的频率．

〔2〕丙说：“如果抛600次，那么出现向上点数为6的次数一定是100次．〞请判断丙的说

法是否正确并说明理由．

〔3〕如果甲乙两同学各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为3的倍数的概率．

26.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，CE与DE

交于点E.请探索CD与OE的位置关系，并说明理由.

27.如图，在平面直角坐标系中，AO⊥BO，∠B=30°，点B在y=3的图象上，求过点A的反

𝑥

比例函数的解析式．

28.如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，且AF=DF．

〔1〕求证：四边形ADCE是平行四边形；

〔2〕当AB、AC之间满足𝐴𝐵=𝐴𝐶时，四边形ADCE是矩形；

〔3〕当AB、AC之间满足𝐴𝐵=𝐴𝐶,𝐴𝐵⊥𝐴𝐶时，四边形ADCE是正方形．

29.【问题情境】

如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平

分线CF于点F．

【探究展示】

〔1〕如图1，假设点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．

〔2〕如图2，假设点E是BC的上的任意一点〔B、C除外〕，∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍

然成立？假设成立，请予以证明；假设不成立，请说明理由．

【拓展延伸】

〔3〕如图3，假设点E是BC延长线〔C除外〕上的任意一点，求证：AE=EF．

答案解析局部

一、单项选择题

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】B

10.【答案】D

二、填空题

11.【答案】6

12.【答案】4

13.【答案】18

5

14.【答案】4

15.【答案】2或﹣18

16.【答案】110°

17.【答案】4

；2√5

；3√5

18.【答案】3

𝑛

19.【答案】(3√3)

2

20.【答案】√3；9√3

420

三、解答题

21.【答案】解：〔1〕如下图，B〔﹣4，2〕；

〔〕如下图：即为所求；

2△A1B1C1

〔〕如下图：即为所求．

3△A2B2C2

22.【答案】

23.【答案】证明：证法一：∵四边形ABCD为矩形，

∴AB＝CD，∠A＝∠C＝9０°．

在△ABE和△CDF中

𝐴𝐸=𝐶𝐹

∵{∠𝐴=∠𝐶，∴△ABE≌△CDF〔ＳAＳ〕，

𝐴𝐵=𝐶𝐷

∴BE＝DF〔全等三角形对应边相等〕

证法二：∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

又∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF

即ED＝BF，

而ED∥BF，

∴四边形BFDE为平行四边形

∴BE＝DF〔平行四边形对边相等〕．

利用全等三角形对应边相等求证

24.【答案】解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得：200(1−𝑥)2=98

解得：=1.7〔不合题意舍去〕，𝑥=0.3=30%．

𝑥12

答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．

25.【答案】解：〔1〕出现向上点数为6的频率=1；

6

〔2〕丙的说法不正确，

理由：〔1〕因为实验次数较多时，向上点数为6的频率接近于概率，但不说明概率就等一

定等于频率；

〔2〕从概率角度来说，向上点数为6的概率是1的意义是指平均每6次出现1次；

6

〔3〕用表格列出所有等可能性结果：

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

共有36种等可能性结果，其中点数之和为3的倍数可能性结果有12个

∴P〔点数之和为3的倍数〕=12=1．

363

26.【答案】解：DC⊥OE.

证明如下:∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形OCED为平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD交于点O，

∴OD=OC，

∴四边形OCED是菱形，

∴DC⊥OE

27.【答案】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，

设B〔m，3〕

𝑚

在Rt△ABO中，∵∠B=30°，

∴OB=√3OA，

∵∠AOD=∠OBE，

∴Rt△AOD∽Rt△OBE，

∴𝐴𝐷=𝑂𝐷=𝑂𝐴，即𝐴𝐷=𝑂𝐷=1，

𝑂𝐸𝐵𝐸𝑂𝐵𝑚3√3

𝑚

∴AD=√3𝑚，OD=√3，

3𝑚

∴A点坐标为(−√3，√3𝑚)，

𝑚3

设点A所在反比例函数的解析式为𝑦=𝑘，

𝑥

∴k=−√3⋅√3𝑚=−1，

𝑚3

∴点A所在反比例函数的解析式为𝑦=−1．

𝑥

28.【答案】〔1〕证明：∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

∵AE∥BC，

∴∠AEF=∠DBF，

在△AFE和△DFB中，

∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐷𝐵𝐹

{∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐵𝐹𝐷，

𝐴𝐹=𝐷𝐹

∴△AFE≌△DFB〔AAS〕，

∴AE=BD，

∴AE=CD，

∵AE∥BC，

∴四边形ADCE是平行四边形；

〔2〕当AB=AC时，四边形ADCE是矩形；

∵AB=AC，AD是△ABC的中线，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∵四边形ADCE是平行四边形，

∴四边形ADCE是矩形，

故答案为：AB=AC；

〔3〕当AB⊥AC，AB=AC时，四边形ADCE是正方形，

∵AB⊥AC，AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵AD是△ABC的中线，

∴AD=CD，AD⊥BC，

又∵四边形ADCE是平行四边形，

∴四边形ADCE是正方形，

故答案为：AB⊥AC，AB=AC．

29.【答案】〔1〕证明：取AB的中点M，连结EM，如图1：

∵M是AB的中点，E是BC的中点，

∴在正方形ABCD中，AM=EC，

∵CF是∠DCG的平分线，

∴∠BCF=135°，

∴∠AME=∠ECF=135°，

∵∠MAE=∠CEF=45°，

在△AME与△ECF中，

，

∴△AME≌△ECF〔SAS〕，

∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；

〔2〕证明：取AB上的任意一点使得AM=EC，连结EM，如图2：

∵AE⊥EF，AB⊥BC，

∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，

∴∠MAE=∠CEF，

∵AM=EC，

∴在正方形ABCD中，BM=BE，

∴∠AME=∠ECF=135°，

在△AME与△ECF中，

，

∴△AME≌△ECF〔SAS〕，

∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；

〔3〕证明：取AB延长线上的一点M使得AM=CE，如图3：

∵AM=CE，AB⊥BC，

∴∠AME=45°，

∴∠ECF=AME=45°，

∵AD∥BE，

∴∠DAE=∠BEA，

∵MA⊥AD，AE⊥EF，

∴∠MAE=∠CEF，

在△AME与△ECF中，

，

∴△AME≌△ECF〔SAS〕，

∴AE=EF．

北师九年级〔上〕期中数学试卷

一、选择题〔此题总分值24分，共有8道小题，每题3分〕

1．以下说法正确的有〔〕个．

①菱形的对角线相等；

②对角线互相垂直的四边形是菱形；

③有两个角是直角的四边形是矩形；

④正方形既是菱形又是矩形；

⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．

A．1B．2C．3D．4

2．关于方程x2﹣2=0的理解错误的选项是〔〕

A．这个方程是一元二次方程

B．方程的解是

C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式

D．这个方程可以用公式法求解

3．一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有2个红球，每次将球

搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球

的频率稳定在20%，那么可以估算a的值是〔〕

A．15B．10C．4D．3

4．关于x的一元二次方程x2+mx+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是〔〕

A．不存在B．4C．0D．0或4

5．如图在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB=1：3：6，那么S：

△ADE

S：S=〔〕

四边形DEGF四边形FGCB

A．1：8：27B．1：4：9

C．1：8：36D．1：9：36

6．如图，在菱形ABCD中，AB=13，对角线AC=10，假设过点A作AE⊥BC，垂足为E，

那么AE的长为〔〕

A．8B．C．D．

7．如图，ABCD是正方形，E是边CD上〔除端点外〕任意一点，AM⊥BE于点M，CN

⊥BE于点N，以下结论一定成立的有〔〕个．

①△ABM≌△BCN；

②△BCN≌△CEN；

③AM﹣CN=MN；

④M有可能是线段BE的中点．

A．1B．2C．3D．4

8．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间

距均为1，那么新矩形与原矩形相似．

乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间

距为1，那么新三角形与原三角形相似．

对于两人的观点，以下说法正确的选项是〔〕

A．两人都对B．两人都不对C．甲对、乙不对D．甲不对，乙对

二、填空题〔此题总分值18分，共有6道小题，每题3分〕

9．假设===，〔a+c+e≠0〕，那么=．

10．直角三角形的三边恰好是三个连续整数，那么这个直角三角形的斜边长是．

11．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3，绿色卡片两张，标号分别

为1，2，假设从五张卡片中任取两张，那么两张卡片的标号之和小于4的概率为．

12．方程ax2+x+1=0有两个不等的实数根，那么a的取值范围是．

13．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，

点A的坐标为〔0，〕，那么点E的坐标是．

14．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC

于点M，N，连接CM，那么CM的长为．

三、作图题〔此题总分值10分，第一小题4分，第二小题6分〕

15．〔10分〕△ABC，作△DEF，使之与△ABC相似，且=4．要求：

〔1〕尺规作图，保存作图痕迹，不写作法．

〔2〕简要表达作图依据．

四、解答题〔此题共5小题，总分值68分〕

16．〔16分〕计算

〔1〕用两种不同方法解方程：x2﹣3﹣2x=0

〔2〕解方程：x2=2x；

〔3〕解方程：3+2x2﹣x=0．

17．〔12分〕某中学调查了某班全部35名同学参加音乐社团和美术社团的情况，数据如表

〔单位：人〕：

参加美术社团未参加美术社团

参加音乐社团65

未参加音乐社团420

〔1〕从该班任选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率；

〔〕在既参加音乐社团，又参加美术社团的名同学中，有名男同学、、、，

264A1A2A3A4

两名女同学、，现从这名男同学和两名女同学中个随机选取人，求未被选中但

B1B241A1

被选中的概率．

B1

18．〔12分〕：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，P、Q分别是DM、

BN的中点．

〔1〕求证：DM=BN；

〔2〕四边形MPNQ是怎样的特殊四边形，请说明理由；

〔3〕矩形ABCD的边长AB与AD满足什么长度关系时四边形MPNQ为正方形，请说明理

由．

19．〔12分〕某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克本钱80元，据销售人员调查发现，

每月的销售量y〔千克〕与销售单价x〔元/千克〕之间存在如下图的变化规律．

〔1〕求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式．

〔2〕假设某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少

元．

20．〔16分〕：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=3cm，点P由B点出

发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运

动，速度为cm/s；假设设运动的时间为t〔s〕〔0＜t＜3〕，解答以下问题：

〔1〕如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；

〔2〕如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分

线上，请说明理由；

〔3〕如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？

假设存在，试求出BG长；假设不存在请说明理由．

参考答案与试题解析

一、选择题〔此题总分值24分，共有8道小题，每题3分〕

1．以下说法正确的有〔〕个．

①菱形的对角线相等；

②对角线互相垂直的四边形是菱形；

③有两个角是直角的四边形是矩形；

④正方形既是菱形又是矩形；

⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．

A．1B．2C．3D．4

【考点】矩形的判定与性质；菱形的判定与性质．

【分析】根据菱形的判定与性质、矩形的判定与性质进行解答．

【解答】解：①菱形的对角线不一定相等，故错误；

②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；

③有三个角是直角的四边形是矩形，故错误；

④正方形既是菱形又是矩形，故正确；

⑤矩形的对角线相等，但不一定互相垂直平分，故错误；

应选：A．

【点评】此题考查了菱形和矩形的判定与性质．注意：正方形是一特殊的矩形，也是一特殊

的菱形．

2．关于方程x2﹣2=0的理解错误的选项是〔〕

A．这个方程是一元二次方程

B．方程的解是

C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式

D．这个方程可以用公式法求解

【考点】解一元二次方程-公式法；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的解；解一元

二次方程-直接开平方法．

【分析】根据一元二次方程的定义、解法、一般式逐一判断即可．

【解答】解：A、这个方程是一元二次方程，正确；

B、方程的解是x=±，错误；

C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式，正确；

D、这个方程可以用公式法求解，正确；

应选：B．

【点评】此题主要考查一元二次方程的定义和解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的

关键．

3．一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有2个红球，每次将球

搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球

的频率稳定在20%，那么可以估算a的值是〔〕

A．15B．10C．4D．3

【考点】利用频率估计概率．

【分析】因为除了颜色其他完全相同的球，在摸的时候出现的时机是均等的，通过大量重复

摸球实验后发现，摸到红球的可能性稳定在20%，可知红球占总球数大约就是20%，问题

就转化成了一个数的20%是2，求这个数，用除法计算即可．

【解答】解：根据题意得：

2÷20%=10〔个〕，

答：可以估算a的值是10；

应选B．

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，其中解题时首先通过实验得到事件的频率，然

后利用频率估计概率即可解决问题．

4．关于x的一元二次方程x2+mx+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是〔〕

A．不存在B．4C．0D．0或4

【考点】根的判别式．

【分析】根据方程有两个相等的实数根即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出

m的值．

【解答】解：∵方程x2+mx+m=0有两个相等的实数根，

∴△=m2﹣4m=0，

解得：m=0或m=4．

应选D．

【点评】此题考查了根的判别式，由方程有两个相等的实数根找出关于m的一元二次方程

是解题的关键．

5．如图在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB=1：3：6，那么S：S：S

△ADE四边形DEGF

=〔〕

四边形FGCB

A．1：8：27B．1：4：9C．1：8：36D．1：9：36

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】由DE∥FG∥BC，可得△ADE∽△AFG∽△ABC，又由AD：AF：AB=1：3：6，

利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得S：S：S=1：9：36，

△ADE△AFG△ABC

然后设△ADE的面积是a，那么△AFG和△ABC的面积分别是9a，36a，即可求两个梯形

的面积，继而求得答案．

【解答】解：∵DE∥FG∥BC，

∴△ADE∽△AFG∽△ABC，

∴AD：AF：AB=1：3：6，

∴S：S：S=1：9：36，

△ADE△AFG△ABC

设△ADE的面积是a，那么△AFG和△ABC的面积分别是9a，36a，

那么S=S﹣S=8a，S=S﹣S=27a，

四边形DFGE△AFG△ADE四边形FBCG△ABC△AFG

∴S：S：S=1：8：27．

△ADE四边形DFGE四边形FBCG

应选A．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是掌握相似三角

形面积的比等于相似比的平方．

6．如图，在菱形ABCD中，AB=13，对角线AC=10，假设过点A作AE⊥BC，垂足为E，

那么AE的长为〔〕

A．8B．C．D．

【考点】菱形的性质．

【分析】连接对角线BD，根据勾股定理求对角线BD=24，由菱形的面积列式得：S

菱形

，代入计算可求的长．

ABCD=BC•AE=AC•BDAE

【解答】解：连接BD交AC于O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=AC=×10=5，

∵AB=13=BC，

由勾股定瑆得：OB===12，

∴BD=2OB=24，

∵AE⊥BC，

∴S=BC•AE=AC•BD，

菱形ABCD

13AE=×10×24，

AE=，

应选C．

【点评】此题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形以下的性质是关键：①菱形的对角线互相

平分且垂直，②菱形的四边相等，③菱形的面积=两条对角线积的一半=底边×高；根据面

积法可以求菱形的边或高．

7．如图，ABCD是正方形，E是边CD上〔除端点外〕任意一点，AM⊥BE于点M，CN

⊥BE于点N，以下结论一定成立的有〔〕个．

①△ABM≌△BCN；

②△BCN≌△CEN；

③AM﹣CN=MN；

④M有可能是线段BE的中点．

A．1B．2C．3D．4

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】①根据AAS可以证明△ABM≌△BCN，利用了同角的余角相等；

②根据两角对应相等，可以证明△BCN∽△CEN，因为斜边CE和BE不相等，所以一定不

全等；

③根据①中听全等可以得结论；

④根据正方形的对角线垂直平分可知：当M是线段BE的中点时，E在点D处，而中E是

边CD上〔除端点外〕任意一点，所以得出：M不可能是线段BE的中点．

【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABM+∠NBC=90°，

∵AM⊥BE于点M，CN⊥BE于点N，

∴∠AMB=∠BNC=90°，

∴∠ABM+∠BAM=90°，

∴∠NBC=∠BAM，

∴△ABM≌△BCN；

故①正确；

②∵∠BCE=∠CNE=90°，∠CEN=∠CEB，

∵CE≠BE，

∴△BCN∽△CEN，

故②不正确；

③∵△ABM≌△BCN，

∴AM=BN，BM=CN，

∴MN=BN﹣BM=AM﹣CN，

故③正确；

④当M是线段BE的中点时，E在点D处，而中E是边CD上〔除端点外〕任意一点，

所以M不可能是线段BE的中点．

故④不正确；

所以正确的有：①③2个，

应选B．

【点评】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质和判定，正方形的性质较多，要熟练

掌握：①正方形的四边相等，②正方形的四个角都是直角，③正方形的对角线垂直平分且

平分一组对角等；在正方形判定两三角形全等时，经常运用同角的余角相等证明角相等，从

而证明两三角形全等．

8．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间

距均为1，那么新矩形与原矩形相似．

乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间

距为1，那么新三角形与原三角形相似．

对于两人的观点，以下说法正确的选项是〔〕

A．两人都对B．两人都不对C．甲对、乙不对D．甲不对，乙对

【考点】相似图形．

【分析】利用位似图形的性质以及相似多边形的判定方法得出即可．

【解答】解：由题意可得新矩形边长为：7和10，

≠，

故两矩形不相似，

当新三角形的对应边间距离均为1时，那么两三角形的对应边平行，且对应点连线相交于一

点，故两三角形位似，即相似，

应选：D．

【点评】此题主要考查了相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似多边形的判定方

法是解题关键．

二、填空题〔此题总分值18分，共有6道小题，每题3分〕

9．假设===，〔a+c+e≠0〕，那么=2．

【考点】比例的性质．

【分析】根据等比性质，反比性质，可得答案．

【解答】解：由===，得

=，

由反比性质，得

=2，

故答案为：2．

【点评】此题考查了比例的性质，利用等比性质，反比性质是解题关键．

10．直角三角形的三边恰好是三个连续整数，那么这个直角三角形的斜边长是5．

【考点】一元二次方程的应用；勾股定理．

【分析】首先设中间的数为x，表示出其余2个数，利用勾股定理求解即可．

【解答】解：设较小的边长为x．那么最小的边长为〔x﹣1〕，斜边长为〔x+1〕，

〔x﹣1〕2+x2=〔x+1〕2，

解得，〔不合题意，舍去〕，

x1=0x2=4

故斜边长为x+1=5．

故答案为：5．

【点评】此题考查了利用勾股定理解直角三角形以及一元二次方程的应用，利用勾股定理得

到三边的关系是解决此题的关键．

11．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3，绿色卡片两张，标号分别

为1，2，假设从五张卡片中任取两张，那么两张卡片的标号之和小于4的概率为．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】从五张卡片中任取两张的所有可能情况，用列举法求得有10种情况，其中两张卡

片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，从而求得所求事件的概率．

【解答】解：从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：

红红，红红，红，红绿，红红，

12131绿11223

红绿，红绿，红绿，红绿，绿绿．

2122313212

其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，

红绿，红绿，红绿，

111221

故所求的概率为P=；

故答案为：．

【点评】此题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用

列举法来解题是这一局部的最主要思想，属于根底题．

12．方程ax2+x+1=0有两个不等的实数根，那么a的取值范围是a＜且a≠0．

【考点】根的判别式．

【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数不为0，即可得出关于a的一元一

次不等式组，解不等式组即可得出结论．

【解答】解：∵方程ax2+x+1=0有两个不等的实数根，

∴，

解得：a＜且a≠0．

【点评】此题考查了根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根找出关于a的一元一次不

等式组是解题的关键．

13．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，

点A的坐标为〔0，〕，那么点E的坐标是〔3，3〕．

【考点】位似变换；坐标与图形性质；正方形的性质．

【分析】由题意可得OA：OD=1：，又由点A的坐标为〔0，〕，即可求得OD的长，

又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．

【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，

∴OA：OD=1：，

∵点A的坐标为〔0，〕，

即OA=，

∴OD=3，

∵四边形ODEF是正方形，

∴DE=OD=3．

∴E点的坐标为：〔3，3〕．

故答案为：〔3，3〕．

【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比拟简单，注意理解位似变换与

相似比的定义是解此题的关键．

14．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC

于点M，N，连接CM，那么CM的长为．

【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质．

【分析】由线段垂直平分线的性质求出AM=CM，在Rt△DMC中，由勾股定理得出

DM2+DC2=CM2，得出方程〔6﹣CM〕2+32=CM2，求出CM即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠B=90°，AD=BC=6，AB=DC=3，

∵MN是AC的垂直平分线，

∴AM=CM，

∴DM=AD﹣AM=AD﹣CM=4﹣CM，

在Rt△DMC中，由勾股定理得：DM2+DC2=CM2，

〔6﹣CM〕2+32=CM2，

CE=，

故答案为：．

【点评】此题考查了矩形性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，关键是能得出关于

CM的方程．

三、作图题〔此题总分值10分，第一小题4分，第二小题6分〕

15．〔10分〕△ABC，作△DEF，使之与△ABC相似，且=4．要求：

〔1〕尺规作图，保存作图痕迹，不写作法．

〔2〕简要表达作图依据．

【考点】作图—相似变换．

【分析】〔1〕利用相似三角形的性质得出：△DEF的边长与△ABC边长的关系进而得出答

案；

〔2〕利用相似三角形的性质结合作三角形的方法得出答案．

【解答】解：〔1〕如下图：△DEF即为所求；

〔2〕∵△DEF∽△ABC，且=4，

∴===，

∴作AB，AC的垂直平分线，进而得出AB，AC的中点，即可得出ED，EF，DF的长．

【点评】此题主要考查了相似变换以及三角形的做法，正确得出△DEF边长变化规律是解

题关键．

四、解答题〔此题共5小题，总分值68分〕

16．〔16分〕计算

〔1〕用两种不同方法解方程：x2﹣3﹣2x=0

〔2〕解方程：x2=2x；

〔3〕解方程：3+2x2﹣x=0．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】〔1〕因式分解法和配方法求解可得；

〔2〕因式分解法求解可得；

〔3〕由根的判别式小于0可得答案．

【解答】解：〔1〕因式分解法：〔x+1〕〔x﹣3〕=0，

∴x+1=0或x﹣3=0，

解得：x=﹣1或x=3；

配方法：x2﹣2x=3，

x2﹣2x+1=3+1，即〔x﹣1〕2=4，

∴x﹣1=±2，

解得：x=﹣1或x=3；

〔2〕x2﹣2x=0，

x〔x﹣2〕=0，

∴x=0或x=2；

〔3〕∵a=2，b=﹣，c=3，

∴△=﹣4×2×3＜0，

∴原方程无实数根．

【点评】此题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择适宜的方法是解题的关

键．

17．〔12分〕某中学调查了某班全部35名同学参加音乐社团和美术社团的情况，数据如表

〔单位：人〕：

参加美术社团未参加美术社团

参加音乐社团65

未参加音乐社团420

〔1〕从该班任选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率；

〔〕在既参加音乐社团，又参加美术社团的名同学中，有名男同学、、、，

264A1A2A3A4

两名女同学、，现从这名男同学和两名女同学中个随机选取人，求未被选中但

B1B241A1

被选中的概率．

B1

【考点】列表法与树状图法．

【分析】〔1〕先判断出这是一个古典概型，所以求出根本领件总数，“至少参加一个社团〞

事件包含的根本领件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；

〔2〕先求根本领件总数，即从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，有多少中选法，

这个可利用分步计数原理求解，再求出A被选中，而B被选中〞事件包含的根本领件个

“1不1

数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．

【解答】解：〔1〕设“至少参加一个社团〞为事件A；

从45名同学中任选一名有45种选法，∴根本领件数为45；

通过列表可知事件A的根本领件数为6+4+5=15；

这是一个古典概型，∴P〔A〕==；

〔2〕从4名男同学中任选一个有4种选法，从2名女同学中任选一名有2种选法；

从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人的选法有4×2=8，即根本领件总数为8；

设未被选中，而被选中〞为事件，显然事件包含的根本领件数为；

“A1B1BB3

这是一个古典概型，那么P〔B〕=．

【点评】主要考查了事件的分类和概率的求法．用到的知识点为：可能发生，也可能不发生

的事件叫做随机事件；概率=所求情况数与总情况数之比．

18．〔12分〕：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，P、Q分别是DM、

BN的中点．

〔1〕求证：DM=BN；

〔2〕四边形MPNQ是怎样的特殊四边形，请说明理由；

〔3〕矩形ABCD的边长AB与AD满足什么长度关系时四边形MPNQ为正方形，请说明理

由．

【考点】四边形综合题．

【分析】〔1〕根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；

〔2〕四边形MPNQ是菱形，连接AN，有〔1〕可得到BM=DN，再有中点得到PM=NQ，

再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三

角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形；

〔3〕利用对角线相等的菱形是正方形即可．

【解答】证明：〔1〕∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，

∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，

∴AM=AD，CN=BC，

∴AM=CN，

在△MAB和△NDC中，

∴△MBA≌△NDC〔SAS〕；

〔2〕四边形MPNQ是菱形．

理由如下：连接AP，MN，

那么四边形ABNM是矩形，

∵AN和BM互相平分，

那么A，P，N在同一条直线上，

易证：△ABN≌△BAM，

∴AN=BM，

∵△MAB≌△NDC，

∴BM=DN，

∵P、Q分别是BM、DN的中点，

∴PM=NQ，

在△MQD和△NPB中，，

∴△MQD≌△NPB〔SAS〕．

∴四边形MPNQ是平行四边形，

∵M是AD中点，Q是DN中点，

∴MQ=AN，

∴MQ