高中数学精讲优练课型第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式课件新人教版必修4

第三章三角(sānjiǎo)恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式第一页，共43页。【知识(zhīshi)提炼】两角差的余弦公式公式cos(α-β)=______________________简记符号______使用条件α，β都是_______cosαcosβ+sinαsinβC(α-β)任意(rènyì)角第二页，共43页。【即时小测】1.思考下列问题(1)公式之间有什么(shénme)关系？提示：公式是公式cos(α-β)的特例.即.第三页，共43页。(2)cos(α-β)=cosα-cosβ，一定成立(chénglì)吗？何时成立(chénglì)？提示：当α=60°，β=30°时，cos(α-β)=cos30°=，而cosα-cosβ=cos60°-cos30°=-.所以cos(60°-30°)≠cos60°-cos30°，第四页，共43页。因此对任意角α，β，cos(α-β)=cosα-cosβ不一定成立(chénglì).而当α=45°，β=90°时，cos(α-β)=cos(45°-90°)=cos45°=，cosα-cosβ=cos45°-cos90°=cos45°=，此时cos(α-β)=cosα-cosβ成立(chénglì)，即α=+2kπ，k∈Z，β=+2nπ，n∈Z时，cos(α-β)=cosα-cosβ成立(chénglì).第五页，共43页。2.sin11°sin71°+sin79°sin19°=()A.1 B.C. D.【解析(jiěxī)】选D.sin11°sin71°+sin79°sin19°=cos79°cos19°+sin79°sin19°=cos(79°-19°)=cos60°=.第六页，共43页。3.若sinαsinβ=m，cosαcosβ=n，则cos(α-β)=________.【解析(jiěxī)】cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=n+m.答案：n+m第七页，共43页。4.计算(jìsuàn)：cos555°=________.【解析】cos555°=cos(720°-165°)=cos165°=cos(180°-15°)=-cos15°=-cos(45°-30°)=-(cos45°cos30°+sin45°sin30°)=.答案：第八页，共43页。5.已知sinθ=，θ∈，则=__________.【解析(jiěxī)】因为sinθ=，θ∈，所以.所以=.答案：第九页，共43页。【知识探究】知识点两角差的余弦公式观察图形，回答下列问题：问题1：观察上述图形，你能得出什么(shénme)结论？问题2：根据公式C(α-β)，要计算C(α-β)需要哪些量？第十页，共43页。【总结提升】对公式C(α-β)的三点说明(1)公式的结构特点公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名(tóngmíng)函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.第十一页，共43页。(2)公式的适用(shìyòng)条件公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β.第十二页，共43页。(3)公式的“活”用公式的运用要“活”，体现(tǐxiàn)在顺用、逆用、变用.而变用又涉及两个方面：①公式本身的变用，如.②角的变用，也称为角的变换，如.第十三页，共43页。【题型探究(tànjiū)】类型一给角求值【典例】1.sin7°cos23°+sin83°cos67°的值为()A. B. C. D.2.的值为()A. B.1 C. D.3.cos105°+sin195°=________.第十四页，共43页。【解题探究】1.典例1中的求解关键(guānjiàn)是什么？提示：本题考查公式的逆用．如何将式子转化为两角差的余弦公式的展开式的形式是关键(guānjiàn)．2.典例2中的求解关键(guānjiàn)是什么？提示：本题考查公式的逆用．如何将特殊的数值变形为特殊角的三角函数值，使式子转化为两角差的余弦公式的展开式是关键(guānjiàn)．第十五页，共43页。3.典例3中的求解(qiújiě)思路是什么？提示：先利用诱导公式，然后再利用两角差的余弦公式求解(qiújiě)．第十六页，共43页。【解析(jiěxī)】1.选B.原式=cos83°cos23°+sin83°sin23°=cos(83°-23°)=cos60°=.2.选C.原式===.第十七页，共43页。3.cos105°+sin195°=cos105°+sin(90°+105°)=cos105°+cos105°=2cos105°=2cos(135°-30°)=2(cos135°cos30°+sin135°sin30°)=.答案(dáàn)：第十八页，共43页。【方法技巧】运用两角差的余弦公式求值的关注点(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记.(2)在逆用两角差的余弦公式解题时，要善于(shànyú)进行角的变形，使之符合公式特征.(3)在逆用公式解题时，还要善于(shànyú)将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值.第十九页，共43页。【变式训练】求下列(xiàliè)各式的值：(1)cos15°cos105°+sin15°sin105°.(2)cos(α-35°)·cos(25°+α)+sin(α-35°)·sin(25°+α).(3)cos40°cos70°+cos20°cos50°.【解析】(1)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=0.(2)原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=.(3)原式=cos40°cos70°+sin70°sin40°=cos(70°-40°)=cos30°=.第二十页，共43页。类型(lèixíng)二给值求值【典例】1.已知sinα=，sinβ=，且180°<α<270°，90°<β<180°，则cos(α-β)=________.2.已知，且<α<，求cosα的值.第二十一页，共43页。【解题探究】1.典例1中，要求cos(α-β)还需要知道(zhīdào)哪些量，计算未知量时要注意什么？提示：要求cos(α-β)还需要知道(zhīdào)cosα和cosβ，计算时要注意α，β的取值范围.2.典例2中，已知角α，如何建立关系？提示：.第二十二页，共43页。【解析】1.因为(yīnwèi)sinα=，180°<α<270°，所以cosα=，因为(yīnwèi)sinβ=，90°<β<180°，所以cosβ=，所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=.答案：第二十三页，共43页。2.因为(yīnwèi)，所以，所以.所以==，即cosα的值为.第二十四页，共43页。【延伸探究(tànjiū)】1.(变换条件)若典例2中条件变为“”，则cosα的值如何？第二十五页，共43页。【解析】因为(yīnwèi)又因为(yīnwèi)所以所以所以==第二十六页，共43页。2.(变换条件)典例2中条件“”改为“”，结果如何？【解析】因为(yīnwèi)所以由得因为(yīnwèi)==第二十七页，共43页。【方法技巧】给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意(zhùyì)观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.(2)常见角的变换①α=(α-β)+β；②；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β).第二十八页，共43页。【补偿训练(xùnliàn)】已知sinθ=，θ∈，则的值为________.【解析】由sinθ=，且θ∈，得cosθ=，所以答案：第二十九页，共43页。类型(lèixíng)三给值求角【典例】1.(2015·南昌高一检测)已知α为三角形的内角且cosα+sinα=，则α=________.2.已知cos(α-β)=，cos(α+β)=，且，，求角β的值.第三十页，共43页。【解题探究】1.典例1中cosα+sinα通过怎样的变形(biànxíng)之后才能应用两角差的余弦公式？提示：cosα+sinα=coscosα+sinsinα.2.典例2中，已知角α-β与α+β与所求角β有什么关系？提示：2β=(α+β)-(α-β).第三十一页，共43页。【解析】1.因为(yīnwèi)cosα+sinα=coscosα+sinsinα=所以答案：第三十二页，共43页。2.由得sin(α-β)=.由得=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)又因为(yīnwèi)所以所以2β=π，所以β=.第三十三页，共43页。【延伸探究(tànjiū)】若本例2中求β的值.【解析】因为所以又因为β=(α+β)-α，所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα又因为所以β=.第三十四页，共43页。【方法技巧】已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调(dāndiào)的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角.第三十五页，共43页。【变式训练(xùnliàn)】已知α，β均为锐角，且求α-β的值.【解析】因为α，β均为锐角，且所以所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ又因为所以又因为sinα<sinβ，所以α<β，即α-β<0.所以-<α-β<0.所以α-β=-.第三十六页，共43页。【补偿训练】已知向量a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，α，β∈(0，π)且a⊥b，求α-β的值.【解析】因为(yīnwèi)a⊥b，所以a·b=0，即cosαcosβ+sinαsinβ=0.从而cos(α-β)=0.因为(yīnwèi)α，β∈(0，π)，所以-π<α-β<π，所以第三十七页，共43页。易错案例灵活(línɡhuó)应用两角差的余弦公式求值【典例】(2015·汕头高一检测)在△ABC中，sin(A+B)=，cosB=-，则cosA的值为__________.第三十八页，共43页。【失误(shīwù)案例】第三十九页，共43页。【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：该解法忽略了隐含条件，没有(méiyǒu)注意角的范围，导致求值错误.在解题中应挖掘出这个隐含条件.第四十页，共43页。【自我(zìwǒ)矫正】在△ABC中，因为