《高等数学》第一章-函数、连续与极限课件

第一章人民邮电出版社e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics函数、连续与极限高等数学e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第一章第二节数列的极限定义与计算第三节函数的极限定义与计算第四节极限的证明与性质第五节两个重要极限第六节无穷小的概念与比较第七节函数的连续性及其性质第一节

集合与函数课前导读集合

习惯上，用大写英文字母

表示集合，用小写字母

表示集合的元素.

3具有某种确定性质的对象的全体称为集合（简称集），组成集合的个别对象称为集合的元素.

表示

是集

的元素（读作

属于

），

表示

不是集

的元素（读作

不属于

）.

集合按照元素的个数分为有限集和无限集

，不含任何元素的集合称为空集，记为

.课前导读函数4

如果按照某个法则，对每个数，变量总有唯一确定的值与之对应，则称此对应法则为定义在上的函数，

与对应的值称为在处的函数值，记作，即.

变量称为自变量，称为因变量.数集称为定义域，

称为函数的值域.一、集合的概念设

是两个集合，图1-1

一、集合的概念

我们把自然数的全体组成的集合称为自然数集，记作.由整数的全体构成的集合称为整数集，记为.

用

表示全体有理数构成的有理数集，

表示全体实数构成的实数集.显然有.

注：

在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.1.集合及其运算

由同时包含于

与

的元素构成的集合（见图

1-2），称为

与的交集（简称交），记作

，即

且

；

由包含于

或包含于

的所有元素构成的集合（见图

1-3），称为与

的并集（简称并），记作

，即

或

；集合的基本运算有四种：并、交、差、补.设

是两个集合.图1-2图1-31.集合及其运算

由包含于

但不包含于

的元素构成的集合（见图

1-4），称为

与

的差集（简称差），记作

，即

且

；

特别地，若我们所讨论的问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为

）中进行，图1-4图1-5集合

是

的子集（见图

1-5），此时称

为

的余集（或补集），记作

或.1.集合及其运算关于集合的余集，我们有如下性质.性质1（对偶性质）设

是一个基本集，

是它的两个子集，则01OPTION02OPTION1.集合及其运算

设

是两个非空的集合，则由有序数对

组成的集合称为

与

的直积.例如：设

即为

面上全体点的集合，

常记作

.图1-6则

，如图

1-6所示.

除了集合的四种基本运算，我们还可以定义两个集合的乘积.2.区间数集称为开区间，记作（见图1-7），即和称为开区间的端点，其中为左端点，为右端点，且，

.类似地，数集称为闭区间，记作（见图1-8），

图1-7设和都是实数，且，图1-8和也称为闭区间的端点，且，.abx(a,b)[a,b]abx2.区间数集及称为半开区间，分别记作和(见图1-9和图1-10）.以上这些区间都称为有限区间，数称为这些区间的长度.从数轴上看，这些区间是长度为有限的线段.图1-9图1-10[a,b)(a,b]abxabx2.区间这些区间在数轴上表示长度无限的半直线，如图1-11~1-14所示.图1-11此外，对于这样的集合：，，，，我们引进记号（读作正无穷大）及（读作负无穷大），则可类似的表示无限的半开区间或开区间：图1-12图1-13图1-14全体实数的集合也记作，它也是无限的开区间.

abx

axbxbx3.邻域图1-15设与为两个实数，且，数集称为点的邻域，记作

，即，其中称作的中心，称作的半径.因此，也就是开区间.见图1-15，显然，这个开区间以点为中心，而长度为.

+在数轴上，表示点与点的距离，因此点的邻域

在数轴上就表示与点距离小于的点的全体.由于等价于，即，所以3.邻域有时用到的邻域需要将邻域中心去掉（见图1-16），点的邻域去掉中心后，称为点的去心

邻域，记作，即这里就表示

.为了方便，有时将开区间称为的左邻域，而将开区间称为

的右邻域.如果不强调半径，以点为中心的任何开区间称为点的邻域，记作.-+图1-16二、常用函数(α

是常数)y=xyy=x2

x11oy=x3(1,1)

图1-171.基本初等函数当时，的定义域是；(１)幂函数:当时，的定义域是；当时，的定义域是（见图1-17）；当时，的定义域是,幂函数的最小定义域是.1.基本初等函数

yx1Oyx(a>1)(0<a<1)1O图1-18图1-19当时是单调增加函数；当时是单调减少函数.以为底的指数函数记为，在工程技术上经常用到这个指数函数.(３)对数函数:1.基本初等函数yx1Oyx1O(a>1)(0<a<1)图1-20图1-21当时，

是单调减少函数(见图1-21).当时的对数函数记为，称为自然对数函数.对数函数的定义域是,其图像位于

轴的右方且通过点..当

时，是单调增加函数(见图1-20)；1.基本初等函数对数具有以下运算性质：对任意的，,（i）（ii）（iii）和互为反函数，它们的图像关于直线对称，且有，进一步，我们在以后的计算中经常会用到和.1.基本初等函数(４)三角函数正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数和余割函数统称为三角函数.图1-22图1-23的定义域是R，值域是[-1，1]，最小正周期是2π，它是奇函数(见图1-22)；的定义域是R，值域是[-1，1]

，最小正周期是2π，它是偶函数(见图1-23)；y1-1222Oπ2π3π4ππ3ππ-πxy1-1222O-π2π3π4ππππ3πx

R

R1.基本初等函数的定义域是，值域是，最小正周期是π

，在定义域上是奇函数（见图1-24）；图1-24图1-25的定义域是，值域是，最小正周期是π，在定义域上是奇函数（见图1-25）；-ππ2π3π

x﹣ππ2π3π

xyy

1.基本初等函数正割、余割函数与余弦、正弦函数的关系式为1.基本初等函数(５)反三角函数定义１在区间上的正弦函数的反函数记作，定义域为，值域为，称为反正弦函数(见图1-26).yπ2π211Ox图1-26

1.基本初等函数定义2在区间上的余弦函数的反函数记作，图1-27定义域为，值域为，称为反余弦函数(见图1-27).y=arccosx,

[1,1]yπ-11Ox1.基本初等函数定义3在区间上的正切函数的反函数记作，定义域是，值域为，称为反正切函数，在整个定义域上是单调递增函数(见图1-28)；图1-28定义在区间上的余切函数的反函数为，定义域是

，值域为，称为反余切函数，在整个定义域上是单调递减函数(见图1-29).三角函数的反函数统称为反三角函数.图1-29xOyπ2π2-,

yπxO,

2.几类特殊的函数例1

函数，其中C

为某确定的常数.它的定义域为，值域为，它的图形是一条平行于x

轴的直线(见图1-30)，这个函数称为常数函数.Oxy图1-30例2

函数的定义域为，值域，它的图形如图1-31所示，这个函数称为绝对值函数.Oxyxy=图1-312.几类特殊的函数例3

函数的定义域为，值域，它的图形如图1-32所示,这个函数称为符号函数.xy1Oy=sgnx-1图1-322.几类特殊的函数例4设为任一实数，比如，，，,-2-10123-1-212y=[x]xy图1-33

函数的定义域为

，值域为整数集，它的图形如图1-33所示.

不超过的最大整数称为的整数部分，记作.可以看出，它的图形在的整数值处出现跳跃，而跃度为１，这个函数称为取整函数.一般地，有

，当2.几类特殊的函数在例２、例３等例子中看到，有时一个函数要用几个式子表示，这种自变量在不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数称为分段函数.

分段函数在实际问题中经常出现，我们应重视对它的研究.2.几类特殊的函数例5

函数

是一个分段函数,

它的定义域

.当时，对应的函数值；当时，对应的函数值.它的图形如图1-34所示.例如，则；

，则.yy=f(x)y=x-1－1O1y=x3x1图1-343.初等函数我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的，

并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数.例如都是初等函数，本书中讨论的函数基本上都是初等函数.3.初等函数例6

设，求和.解01OPTION02OPTION03OPTION3.初等函数例７求函数的定义域.解

所给函数由复合而成.从而，

的定义域是，因此，函数的定义域为.即，解这个关于的不等式，得，3.初等函数例8

设的定义域是，求的定义域.解

函数

由复合而成.因为

的定义域为，

因此，开区间

的并即为

的定义域.即.故必有的值域是，e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第一章第一节集合与函数第三节函数的极限定义与计算第四节极限的证明与性质第五节两个重要极限第六节无穷小的概念与比较第七节函数的连续性及其性质第二节数列的极限定义与计算课前导读36数列

:我们把这无穷多个数排成的序列称为数列，其中称为数列的首项，称为数列的第n

项，或称为数列的一般项(通项).等差数列

:公差，通项公式为，前n项求和公式为.等比数列

:公比，通项公式为，前n项求和公式为.一、数列极限的概念一尺之棰，日取其半，万世不竭.———«庄子·天下篇»一尺长的木棍，每天截掉一半，每天截取的长度按照天数可排成一个数列:１.数列极限的引入

数列的通项为，当无限增大(记作，读作趋于无穷大)时，

在数学上称这个确定的数0

是数列当时的极限.无限接近一个确定的数0.

１.数列极限的引入解决实际问题时，

经常用到极限方法.极限方法作为高等数学中的一种基本方法，很有必要做进一步详细的讨论.先看下面的４个数列.，，，…，，…;，，，…，，…;，，，…，，…;，，，…，，…;（2）（1）（4）（3）它们的一般项依次为，，，.１.数列极限的引入在几何上，数列

可看作数轴上的一个动点，如图1-35所示，它依次取数轴上的点，，，，…x3x2

x1x4x5x6xnx图1-35按函数的定义，数列

可看作自变量为正整数的函数，即，它的定义域是全体正整数，当自变量依次取时，对应的函数值就排列成数列.１.数列极限的引入现在我们所关心的问题是:(１)给定一个数列后，该数列的变化趋势如何？

随着的无限增大，能否无限接近某个常数?(２)如果能无限接近某个确定的数，则该常数是多少?

数列(４)的一般项

将无限接近于常数1.

可以看出，在前面所列的4

个数列中，当时，

数列(１)的一般项将无限接近于常数0.而数列(２)的一般项却在无限增大，

它不接近于任何确定的数值.数列(３)的一般项始终交替地取值为1和-1，不接近于任何确定的数值.据此，我们可以认为，数列(１)和(４)是“有极限”的，而数列(２)和(３)是“无极限”的.１.数列极限的引入从上述各例观察可以看到，数列的一般项变化趋势有两种情况:无限接近于某个确定的常数和不接近于任何确定的常数.这样就可以得到数列的描述性定义.如果当数列

的项数无限增大时，它的一般项无限接近于一个确定的常数，记作或则称为数列

的极限.此时也称数列

收敛于，例如，.１.数列极限的引入如果当数列

的项数无限增大时，

它的一般项不接近于任何确定的常数，则称数列

没有极限，或称数列

发散，习惯上记作不存在.例如，不存在.

例如.当数列

的项数无限增大时，如果也无限增大，则数列

没有极限.此时，习惯上也称数列

的极限是无穷大，记作.，2.数列极限的定义在上述极限的描述性定义中，我们都是用“无限增大”和“无限接近”来描述极限概念的.为了给极限一个精确的定义，关键是要给予“无限增大”和“无限接近”以定量的刻画.一般来说，两个数a、b

的接近程度可用b-a

来度量.

我们以数列为例.2.数列极限的定义考虑，显然，越大，就越“接近”1.这个数1就是的极限.

只要足够大，就可以小于任何给定的正数.这时，，…均能使不等式成立.如果要求，即，只要，这时，，…均能使不等式成立.同样，如果要求，即，只要，一般地，不论给定的正数

多么小，总存在一个正整数，使得对于

时的一切，不等式

均成立，这就是数列

当时无限“接近”于1的精确刻画，2.数列极限的定义设为一数列，定义如果这样的常数不存在，就称数列没有极限，或称数列发散.

，或.或者称数列

收敛于，记作如果存在一个常数，对于任意给定的正数，总存在一个正整数，使得对于

时的一切，不等式

均成立，则称常数

是数列

的极限，2.数列极限的定义我们用“”表示“任意的”，用“”表示“存在”，就可以用更简洁的语言来描述数列的极限.如果

，，当

时，恒有，则.

注

(１)定义中，

刻画了和的接近程度，的“任意”性极其重要.只有这样，

才能体现和的“无限接近”；

(２)正整数与任意给定的正数

有关.对于给定的

，相应的不是唯一的，即只要其存在，并没有要求其达到最小；(３)由定义也可看出，的极限是否存在仅与它的发展趋势有关.只要从某项开始，

即可，与前有限项的变化无关.若在数轴上标出，，…，，…及，2.数列极限的定义下面给出“数列

的极限为”的几何解释.数列极限几何解释再作的

邻域(见图1-36)，就会发现，当

时，点均落在内，至多有有限个(个)落在外.a-2a+

图1-362.数列极限的定义例１

已知，证明.必须指出，数列的定义可用于验证是数列

的极限，但却无法用于求极限.要使证明，即，故数列

的极限为0，取，则当

时，恒有，即2.数列极限的定义例2

已知，证明.证明,即，由例2的证明可以发现：对于任意的，都有.请感兴趣的读者自行证明.(不妨设，想想为什么可以这样假设.)要使恒有，等式两端同时取对数，，从而，取，则当

时，故数列

的极限为0，即二、数列极限的计算极限的定义只能用来验证极限，而不能计算数列的极限，所以下面给出数列极限的运算法则.定理(数列极限的运算法则)

若，，则

；(加减法则)（1）

；(乘法法则)（2）

；(交换法则)（3）

；(除法法则)（4）定理的证明见第一章第四节.二、数列极限的计算例3求下列函数的极限：（1）（3）（5）（2）（4）（6）二、数列极限的计算解(１)将分子、分母同时除以，则有（1）题二、数列极限的计算（2）利用等差数列求和公式，可得解（2）题二、数列极限的计算解（3）（3）题利用数列的交换法则，可得（4）二、数列极限的计算题（4）解

二、数列极限的计算解（5）（5）题先将分子有理化，再利用数列极限的运算法则，可得二、数列极限的计算题（6）（6）解利用等比数列求和公式，可得e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第一章第一节

集合与函数第二节数列的极限定义与计算第四节极限的证明与性质第五节两个重要极限第六节无穷小的概念与比较第七节函数的连续性及其性质第三节函数的极限定义与计算课前导读59这一节介绍函数极限的定义.在前一节，我们探讨了数列的极限.数列的通项可以看成一类特殊的函数，本节将介绍自变量趋于无穷大（）和自变量趋于固定值

（）时的两种函数的极限.

那么数列极限就变成了，这里.

如果我们把函数的定义域扩充到，那么就变成了函数的极限.一、自变量趋于无穷大时的极限自变量趋于无穷大，包括三种情况:

且无限增大，则记作；

且无限增大，则记作；如果既可以取正值，又可以取负值且无限增大，则记作.我们先观察函数，和

的图像.对于函数的图像(见图1-37)，y1O1x(1,1)y=1xyx

O1

无限增大时，曲线无限接近于x轴，即.

对于函数的图像(见图1-38)，当

且无限增大时，曲线无限接近于直线，而当

且无限增大时，曲线无限接近于直线.图1-37图1-38一、自变量趋于无穷大时的极限一般地，我们假设函数

在(为某一正数)时有定义，，或.

定义１

如果在过程中，对应的函数值

无限接近确定的常数，则称为函数

当时的极限.精确地说，就有如下定义.设函数

当大于某一正数时有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，则就叫作函数当时的极限，记作一、自变量趋于无穷大时的极限定义１也可简述为以下形式.若，

，当

时，恒有

，则.如果，

，当

时，恒有，则.同样，我们也可以定义当时的函数

的极限.若

且，当

且

时，我们就得到时的函数

的极限定义.即时，有，或记为，如果，，当

时，恒有，则.即一、自变量趋于无穷大时的极限下面看一下极限

的几何解释.对任意给定的，作直线

及，总存在，当

时，

的图形必位于这两直线之间（见图1-39）.-XoXxy

A

函数极限的几何解释(趋于无穷大)图1-39一、自变量趋于无穷大时的极限显然可以得到下面的结论.定理１

且.注一般地，如果

或，同理，不存在，因为.很容易看出，.直线称为函数图形的水平渐近线.直线和称为函数图形的水平渐近线.那么称直线为函数

图形的水平渐近线.一、自变量趋于无穷大时的极限例１

证明.证明对，要使

，只需

，即，即恒有，取，则当时，二、自变量趋于有限值时的极限我们先看两个实例，

再给出当(为有限值)时函数极限的定义.

x

11O-12

x1O-112

图1-40图1-41二、自变量趋于有限值时的极限

所谓“

无限接近于确定的数值”，实质上等价要求

能任意小，这“任意小”又可用(其中

为任给的正数)来刻画.而意小”是在的过程中实现的，又由于这“任也就是仅要求充分接近时，使就行了.二、自变量趋于有限值时的极限综上所述，得到时函数极限的定义.定义2

或.定义2

也可简述为，，当时，恒有，那么.记作设函数

在点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数，于任意给定的正数(不论它多么小)，对总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值

都满足不等式，则称为函数在时函数的极限，注这里与、有关.二、自变量趋于有限值时的极限的几何解释如下.任意给定一正数，作平行于轴的两直线:

及.存在，当时，曲线

位于两条直线

及

之间(见图1-42).x

O

A

函数极限的几何解释(趋于定点)图1-42二、自变量趋于有限值时的极限例２

证明.证明

,要使只要取，，这个例子告诉我们，当时的极限值这一点的函数值.比如当

时的极限值就是2.因此.则当时，有，二、自变量趋于有限值时的极限例3

证明当时，.证明，不妨设，要使，即，只要

取，则当时，恒有

即二、自变量趋于有限值时的极限例4

证明.证明，要使即，又要求，即，注同样的方法可以证明.（这个结论可以推广到更一般的次根式）取，则当时，恒有.二、自变量趋于有限值时的极限上述

中的“”是指可以取左侧的点()而趋于，也可以取右侧的点()而趋于.有时我们只需考虑从的一侧(左侧或右侧)趋于，这时就需要将上述情况分别讨论.如果仅从的左侧趋于

(记作)时，

趋于，则称为

在时的左极限，记作.如果仅从的右侧趋于

(记作)时，

趋于，则称为

在时的右极限，记作.显然有.因此如果、中有一个不存在，或两个虽存在但不相等，则不存在.二、自变量趋于有限值时的极限例如，函数由于，yy=x-1y=x+1-1-111xO则不存在（见图1-43所示）；图1-43，，再比如，不存在，因为.三、函数极限的计算方法极限的定义只能用来验证函数的已知极限，那么如何计算(求)函数的极限呢？要讨论极限的求法，首先要建立相关的一些运算规则，比如极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等.

三、函数极限的计算方法定理２(函数极限的四则运算法则)设，，则定理２的证明见第一章第四节.（1）（2）（3）三、函数极限的计算方法推论

若

，存在，

则上述极限中将“”改为“”，结论仍然成立.（证明过程有所差别）（1）（2）（3）；若，则.；三、函数极限的计算方法按照四则运算法则，我们很容易计算下列极限.（1）（3）（2）三、函数极限的计算方法注（1）设，则三、函数极限的计算方法（2）设，其中、为多项式，则三、函数极限的计算方法例5求

.解因为，即分母的极限为零，所以不能直接应用极限运算法则.我们先利用多项式的因式分解，约去公因式后，再利用函数极限的四则运算法则进行运算.三、函数极限的计算方法例６计算解因分母的极限为零，要先对函数做必要的变形，因分子中含有根式，通常用根式有理化，然后约去分子、分母中的公因子.三、函数极限的计算方法定理３(复合函数的极限运算法则)

设函数

是由函数

与

复合而成的，在点的去心邻域内有定义，若，，且存在，当时，有，则三、函数极限的计算方法例7

求极限.解记，由于，故.三、函数极限的计算方法例8

求极限.由于，故

解记，三、函数极限的计算方法例9

求极限.解一

解二故原式令则当时，三、函数极限的计算方法例10

(１)求极限；（2）求极限.

解（1）当时，分母的极限为零，故不能直接应用商的极限运算法则.但若采取将分母有理化，即将分子与分母同时乘，则得（2）当时，分子与分母都没有极限，极限运算法则，故也不能直接应用商的极需先将分子、分母同时除以.三、函数极限的计算方法例11

已知,求之值.解因故解得e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第一章第一节

集合与函数第二节数列的极限定义与计算第三节函数的极限定义与计算第五节两个重要极限第六节无穷小的概念与比较第七节函数的连续性及其性质第四节极限的证明与性质课前导读90这一节介绍数列及函数极限性质，读者可以深入理解和熟悉极限的定义，同时为引入新的极限计算方式打下基础.本节可作为对极限要求较高的专业的选学内容.一、利用极限定义证明

证明

，要使，则当时，即，取，恒有，

一、利用极限定义证明例2

证明.证明

，要使即即，恒有取，则当时，一、利用极限定义证明例3

证明.证明

，要使只要，取，则当时，有二、数列极限的性质定理１(极限的唯一性)

数列

不能收敛于两个不同的极限.证明（反证法）假设同时有及，由可知，由可知

，取，当

时，，同时成立，矛盾.因此，数列不能收敛于两个不同的极限.取.

不妨设，恒有，当

时，，恒有当

时，二、数列极限的性质定理2(收敛数列的有界性)如果数列收敛，则该数列一定有界.证明不妨设，数列

有界是指存在，使一切满足.因此，取，如果数列无界，则其一定发散；则任何

，有.则，，当

时，恒有.取，即数列

有界.则对一切，均有，数列

有界，但发散.如果数列有界，则其未必收敛.例如，二、数列极限的性质定理3(收敛数列的保号性)

如果且(或)，则存在

，当

时，均有(或).证明

推论

如果

满足：，当

时，(或)，且，则(或).，当

时，恒