线性方程组的消元法和矩阵的初等变换详解演示文稿

线性方程组的消元法和矩阵的初等变换详解演示文稿当前第1页\共有47页\编于星期四\10点（优选）线性方程组的消元法和矩阵的初等变换当前第2页\共有47页\编于星期四\10点引例

有三家生产同一种产品的工厂A1

、A2

、A3，其年产量分别为40t，20t和10t，该产品每年有两个用户B1、B2

，其用量分别为45t和25t不妨假设每吨货物每公里的运费为1元，问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？当前第3页\共有47页\编于星期四\10点解设各厂到各用户的产品数量如表1-2依题意，3个厂的总产量和用户的总用量相等：当前第4页\共有47页\编于星期四\10点再来看总运费，由表1-1：12于是，题目要解决的问题是：使之满足方程组①和②并使总运费最少.当前第5页\共有47页\编于星期四\10点

几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知数的个数为n

，方程个数为m

，则线性方程组可以写成如下形式：若常数项均为0，则称方程组为齐次线性方程组，否则，称为非齐次线性方程组.当前第6页\共有47页\编于星期四\10点2.线性方程组的线性组合线性方程的加法：将两个线性方程(1)(2)的左右两边相加得到如下的新线性方程：称为原来两个线性方程的和。当前第7页\共有47页\编于星期四\10点线性方程乘常数将线性方程两边同乘以已知常数，线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。线性方程的线性组合将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数再将所得的两个方程相加，得到新方程：得到一个新的线性方程：当前第8页\共有47页\编于星期四\10点(3)称为原来两个方程(1)和(2)的一个称为这个线性方程的组合系数。将(1)和(2)看作一个线性方程组，其任意组解一定是线性组合(3)的解。对给定的两个线性方程组(I)和(II)，如果(II)中每个方程都是(I)中方程的线性组合，就称(II)是(I)的线性组合。线性组合，若方程组(I)和(II)互为线性组合，则称这两个方程组等价，等价的线性方程组一定同解。将方程组(I)变成方程组(II)的过程称为同解变换。当前第9页\共有47页\编于星期四\10点例1二、线性方程组的消元法求解线性方程组1、线性方程组的初等变换当前第10页\共有47页\编于星期四\10点解当前第11页\共有47页\编于星期四\10点用“回代”的方法求出解：当前第12页\共有47页\编于星期四\10点于是解得(2)当前第13页\共有47页\编于星期四\10点小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．

2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（以替换）定义1上述三种变换均称为线性方程组的初等变换．（以替换）（与相互替换）当前第14页\共有47页\编于星期四\10点3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．定理1线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解方程组．当前第15页\共有47页\编于星期四\10点2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)当前第16页\共有47页\编于星期四\10点2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)当前第17页\共有47页\编于星期四\10点2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)当前第18页\共有47页\编于星期四\10点2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)当前第19页\共有47页\编于星期四\10点2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)当前第20页\共有47页\编于星期四\10点当前第21页\共有47页\编于星期四\10点当前第22页\共有47页\编于星期四\10点当前第23页\共有47页\编于星期四\10点定理2在齐次线性方程组证明：显然，方程组在化成阶梯型方程组之后，方程个数不会超过原方程组中方程个数，即当前第24页\共有47页\编于星期四\10点第二节矩阵的初等变换

为了简化方程组的表达，可以省掉各个未知数，只考虑系数和常数项，把它们排成一个表，用这个表代替线性方程组，直接对这个表进行与求解线性方程组相应的初等变换，这样在表达上可以更加简洁和直观。为此，我们将引出矩阵的概念，介绍用矩阵的初等行变换将线性方程组化为阶梯型方程组后求解。当前第25页\共有47页\编于星期四\10点1.线性方程组的解取决于系数常数项一、矩阵及其初等变换当前第26页\共有47页\编于星期四\10点对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为当前第27页\共有47页\编于星期四\10点由个数排成的m

行n

列矩阵的数表称为m

行n

列矩阵.简称矩阵.记作定义1当前第28页\共有47页\编于星期四\10点简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.当前第29页\共有47页\编于星期四\10点例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.当前第30页\共有47页\编于星期四\10点例如是一个3阶方阵.几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作当前第31页\共有47页\编于星期四\10点只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).

称为对角矩阵(或对角阵）.（3）形如的方阵,不全为0当前第32页\共有47页\编于星期四\10点注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如记作（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.当前第33页\共有47页\编于星期四\10点（5）方阵称为单位矩阵（或单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念

1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.全为1当前第34页\共有47页\编于星期四\10点

2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.当前第35页\共有47页\编于星期四\10点矩阵的转置（1）定义

设是一个矩阵，把A的各行都变为列，不改变它们前后的顺序而得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记为A'

（或AT）即A'=当前第36页\共有47页\编于星期四\10点线性方程组称为方程组的系数矩阵；称为方程组的增广矩阵。当前第37页\共有47页\编于星期四\10点下面三种变换称为矩阵的初等行变换:定义2当前第38页\共有47页\编于星期四\10点等价关系的性质：一般，将具有上述三条性质的关系称为等价．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.定义3当前第39页\共有47页\编于星期四\10点例1求解线性方程组解：用矩阵的初等行变换解方程组当前第40页\共有47页\编于星期四\10点当前第41页\共有47页\编于星期四\10点当前第42页\共有47页\编于星期四\10点特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．当前第43页\共有47页\编于星期四\10点注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定