《力学》第7章-医学课件

第七章刚体力学引言1．问题的提出2．刚体：形状和大小完全不变的物体3．讨论：运动速度远小于弹性扰动传播速度3．同一问题视为何种模型，与研究问题的形式有关。4．研究刚体的方法：

A．将刚体视为不变质点系，用已知的质点系的力学规律研究。

B．刚体运动：平动、绕固定轴的转动。越努力越幸运研究内容：1、平动①运动学规律②动力学规律2、定轴转动①运动学规律②动力学规律3、平面运动①运动学描述②动力学规律4、平衡问题5、介绍旋进运动及应用越努力越幸运§7.1刚体运动的描述一、刚体的平动1．刚体的平动：在运动中，刚体上的任意一条直线在各个不同时刻的位置都保持平行。2．平动的特点(运动学特点)：结论：各质元在平动中有相同的速度和加速度，知道某一质元的运动，就知道了整个刚体的平动。二、刚体绕固定轴的转动1．定轴转动及特点A．定轴转动越努力越幸运B．定轴转动的特点每一点到转轴的半径在同一时间内转过相同角度。2．三个角量A．角坐标与角位移运动学方程（1）规定：面对转轴，逆时针转动为正。（2）单位：rad

量纲：1角位移：内，角坐标的增量。面对转轴：逆时针转；顺时针。B．角速度面对转轴：逆时针转动；反之。单位：rad·s-1量纲越努力越幸运C．角加速度单位：量纲：3．运动学方程的求解A．已知，求匀角速转动时B．已知和初始条件若为匀加速转动越努力越幸运4．线量和角量的关系A．线量：刚体上各质点作圆周运动的位移、速度、加速度。B．角量：描述刚体整体转动的角位移、角速度、角加速度。C．关系三、角速度矢量1．角位移（有限大小）不是矢量。2.瞬时角速度只与无限小角位移相联系，是矢量。3．角速度矢量方向沿转轴，且与旋转运动组成右手螺旋系统。越努力越幸运3．角加速度矢量正交分解形式转轴与Z轴重合，则：四、刚体的平面运动什么是平面运动？怎样描述平面运动?（1）位置如何描述（图形法、描述法）（2）平面运动分析→分解（平动、转动）（3）运动描述1．刚体的平面运动2．确定刚体空间位置的方法越努力越幸运3．平面运动的合成（分解）刚体的平面运动=平动+转动（合成）方法1：（1）先平移到末位置，再转动。（2）先转动，再平移到末位置。方法2：把时间分为无穷多个小区间，每一间隔内的运动视为平动与转动，（与实际相同），总的运动效果是各间隔运动的时间积累。4．平面平行运动时，刚体上任一点的速度。a.建立基本参考系，任选基点Bb.刚体绕通过B点的Z’轴转动越努力越幸运特例：圆柱体的无滑滚动条件任两点A，B：无滑滚动时，与地面接触点越努力越幸运§7.2刚体的动量和质心运动定理一、刚体的质心一般情况下，刚体的质量可视为连续分布。质量均匀分布时越努力越幸运讨论：（1）质量均匀分布，刚体具有对称轴或对称中心时，其中心必然在对称轴或对称中心上。若有几条这样的对称轴，质心必在几条对称轴交点上。（2）虽然质量分布不均匀，但分布与几何形状具有相同的对称轴，质心也在对称轴上。（3）若刚体由几部分组成，先求出各部分的质心，再用质点系的质心公式求出刚体的质心。二、刚体的动量与质心运动定理1．动量守恒定律2．质心运动定理刚体的动量：越努力越幸运三、例题P231习题7.2.2质心坐标的计算解：1）如图建立OX坐标系，由于对称性，质心必在OX轴上。越努力越幸运例题2.P231习题7.2.3质心运动定理应用举例解：注意到杆为平面运动，由质心运动定理，在任意夹角时A在此椭园轨迹上运动。越努力越幸运§7.3刚体定轴转动的角动量转动惯量一、定轴转动时对轴上一点的角动量A．对O点的角动量B．轻杆与转轴成夹角不为时方向不沿转轴越努力越幸运结论：（1）刚体对轴上某一点的角动量等各质元对该点角动量的矢量和。（2）刚体绕固定轴转动时，角动量矢量不一定沿角速度方向，可能成一定夹角。

(3)特例：质量分布与几何形状有共同对称轴的刚体，绕该对称轴转动时，刚体对轴上任一点的角动量与角速度方向相同。二、刚体对一定转轴的转动惯量

1．举例说明转动惯量

2．刚体对定轴的转动惯量定义：转动惯量越努力越幸运是转动惯性大小的量度（1）与m有关，m大，转动惯性大.（2）与轴有关，轴不同，不同，不同。（3）与质量分布有关，质量分布离轴近，小，离轴远，大。单位：量纲：3．转动惯量的计算若质量视为连续分布若质量分布均匀越努力越幸运例1.求均匀细棒绕垂直通过质心转轴的转动惯量。解：设棒长为L，质量为m，则例2.均匀薄圆环绕垂直环面通过中心转轴的转动惯量。解：设圆环半径为R，总质量为m，由于是薄圆环，所有质元离轴等距离R为常数。越努力越幸运例3.质量为m,半径为R，密度均匀的圆盘，求它对通过盘心与盘面垂直的转轴的转动惯量。解：设盘厚为取一质元，其半径为，宽为，则质元质量例4.求均匀薄球壳绕直径的转动惯量。解：设球壳半径为R，总质量为m，则面密度将薄球壳划分为许多高为的圆环，则环面积为越努力越幸运或：越努力越幸运例5.求均匀球体绕直径的转动惯量。解：类似上题，设球体半径为R，质量为m，体密度为，将球体划为许多厚为的圆盘形质元，利用例3结论，厚为dz

的圆盘

越努力越幸运4．平行轴定理和正交轴定理(1)．平行轴定理证明：讨论：刚体绕通过质心转轴的转动惯量最小。(2).薄板的正交轴定理越努力越幸运三、刚体转动的角动量定理和转动定理1．角动量定理刚体对固定转轴z的角动量的增量，等于对该轴外力矩冲量矩的代数和。2．转动定理刚体绕定轴转动时，刚体对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积等于外力对此转轴的合力矩。转动定理是刚体转动的动力学方程，与牛顿第二定律类似。是转动惯性大小的量度。积分形式：越努力越幸运四、刚体的重心1．重心：刚体处于不同方位时，重力作用线都要通过的那一点。2．重心坐标ABDWCCABDWxzCy越努力越幸运3．讨论⑵若：重心与质心重合。⑶重心与质心在概念上不同，失重情况下，谈不上重心。⑴当物体的线度与它们到地面间的距离相比很小时，上述重心坐标公式才成立。越努力越幸运五.典型例子[例题2]如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴处，闸门及钢架对质点的总转动惯量为,可用钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.图(a)越努力越幸运（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力和质点对闸门钢架的支承力.（2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门[图(b)]需拉力是多少？图(b)越努力越幸运xyO图(a)[解]（1）以弧形闸门及钢架为隔离体，受力如图(a)所示.建立直角坐标系Oxy，向x及y轴投影得根据转动定理起动时根据质心运动定理越努力越幸运即起动瞬时绳对闸板的拉力为，质点O对闸门钢架的支承力竖直向上，大小等于29mg/90.图(b)(2)用表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应用牛顿第二定律，得：比较上面结果，可见提升弧形闸门所用的拉力较小.越努力越幸运[例题3]如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0

，并测得m自静止开始下落h高度的时间为t,求待测物体的转动惯量I，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线的长度不变.hII0rm越努力越幸运[解]分别以质点m和转动系统I+I0

作为研究对象，受力分析如图.xyO越努力越幸运例题：[P233题目7.3.7]转动定理与质点动力学方程结合应用解:选OZ轴通过O点垂直纸面指向外,设滑轮的转动惯量为I,则联解以上各式可得：越努力越幸运§7.4刚体定轴转动的动能定理一、力矩的功若力矩为恒量功率定轴转动中，恒力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。二、刚体定轴转动的动能定理

刚体的转动动能，就是各质元作圆周运动的动能之和。力所做的功等于该力对于转轴的力矩对角坐标的积分。越努力越幸运刚体为不变质点系刚体绕定轴转动的动能定理:定轴转动时，转动动能的增量等于刚体所受外力矩作功的代数和。越努力越幸运三、刚体的重力势能结论：刚体的重力势能只取决于刚体重心距零点势能的高度，与刚体方位无关。越努力越幸运[例题1]装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为R，重锤质量为m2

，最初静止，后将重锤释放下落并带动柱体旋转，求重锤下落h高度时的速率v，不计阻力，不计绳的质量及伸长.hR[解]方法1.利用质点和刚体转动的动能定理求解.由质点动能定理由刚体动能定理越努力越幸运约束关系联立得方法2.利用质点系动能定理求解将转动柱体、下落物体视作质点系由质点系动能定理约束关系联立得越努力越幸运[例题2]均质杆的质量为m，长为l,一端为光滑的支点.最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示.（1）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度v；（2）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力.O越努力越幸运[解](1)由机械能守恒得联立得CEp=0(2)根据质心运动定理分量式越努力越幸运杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动定理，角加速度为零，所以方向向上.又越努力越幸运§7.5刚体平面运动的动力学一、刚体平面运动的基本动力学方程1．选择基点:一般选质心。2．建立坐标系（1）坐标系：研究质心平动（2）坐标系：研究刚体绕轴的定轴转动3．建立动力学方程（1）O系中的平动：用质心运动定理分量形式：（2）C系中的定轴转动：角动量定理转动定理平面运动=平动+定轴转动越努力越幸运二、作用于刚体上的力1．两种效果、滑移矢量2．力偶和力偶矩(1).力偶：大小相等、方向相反、彼此平行的一对力。特点：合力为零，不影平动，合力矩一般不为零，对转动可能产生影响。⑴两种效果:平动；转动。特点：施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.ABABC(2)施于刚体的力是滑移矢量

⑶力的三要素:大小、方向和作用线.

越努力越幸运作用于刚体上的力可等效为：作用线通过质心的力——平动；力偶——转动。分析刚体受力的简单方法：（1）将各力的合力求出，作用于质心。（2）转动力矩的和等效为一力偶作用于刚体。

力偶矩对刚体的影响是产生角加速度，因此，两力的大小、方向、作用线挪动以后，只要力偶矩保持不变，则与原力偶矩等效。力偶矩大小等于力偶中一力与力偶臂的乘积，方向与二力成右手螺旋。(2).力偶矩：越努力越幸运例题1.将一根质量为m的均匀长细杆，用细绳从两端水平挂起，其中一根绳子突然被剪断，另一根绳内的张力是多少？解：建立OY系研究质心平动，建立一质心系研究对通过质心轴（与杆垂直）的转动。由质心运动定理投影方程由转动定理越努力越幸运解法二：由质心运动定理投影方程取绳未剪断的一端，通过杆，垂直纸面向里为转轴z。由转动定理越努力越幸运[例题1]如图，固定斜面倾角为

，质量为m半径为R的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的加速度ac及斜面作用于柱体的摩擦力F.xyOCx´y´[解]根据质心运动定理y轴上投影对质心轴的转动定理无滑滚动P238例题1越努力越幸运[例题2]质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均停止转动.前后轮相距L，与地面的摩擦因数为.汽车质心离地面高度为h，与前轮轴水平距离为l.求前后车轮对地面的压力.3.对刚体平面运动的动力学问题研究平面运动=质心平动+绕质心转动若刚体作二维平动若研究问题中仅用质心运动定理就够用时，可视为质点。否则，还有力矩平衡问题要考虑。越努力越幸运OCxyx´y´[解]

汽车受力如图.y轴投影对质心轴的转动定理根据质心运动定理越努力越幸运由上面方程可解出根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为FN1、FN2

，但方向向下.三、刚体平面运动的动能由克尼希定理动能定理越努力越幸运解：由机械能守恒律1）圆柱：无滑滚动的条件为2）薄球壳：3）对球体：例4：计算从同一高度自静止状态沿斜面无滑滚下时，均匀圆柱，薄球壳，球体的质心所获得的速度。越努力越幸运解：设碰撞后小球和杆的质心速度分别为，杆绕质心的角速度为（1）从惯性参考系看，系统动量守恒。建立OX轴（2)从杆的质心参考系看，角动量守恒。例5：光滑的桌面上有一质量为M，长为2L的细杆，一质量为m

的小球沿桌面以垂直撞击细杆的一端。设碰撞是完全弹性的，求碰后球和杆的运动情况。在什么情况下，细杆旋转半圈后会第二次撞上小球。越努力越幸运

欲使细杆转半圈后再次击中小球，则杆的质心速度必须与碰撞后球速度相等。越努力越幸运7．6刚体的平衡一、平面力系中刚体的平衡方程1.平衡的充分必要条件：2.平衡条件的第一种形式3.平衡条件的第二种形式：越努力越幸运4.平衡条件第三种形式写成对不在一条直线上的三个转轴的力矩平衡方程例：一架均匀的梯子，重为W，长为2上端靠与光滑的墙上，下端置于粗糙地面上，梯子与地面的静摩擦系数为，有一体重为的人登上距梯下端的地方，求梯子不滑动的条件。解：梯子不滑动的力平衡条件为建立如图所示的0-xy坐标系对于参考点C的力矩平衡方程为1.当一定时，人能攀登的高度为：梯子不滑动的条件为：

越努力越幸运2.若要求攀到一定高度，则要求满足二．天平的灵敏度是一个刚体绕定点转动的平衡问题，只需一个力矩平衡方程。比例系数为灵敏度，与自身结构有关。物理意义：思考：如何提高灵敏度？越努力越幸运§7.7自转与旋进一、常平架回转仪绕转轴运动的角动量守恒,1.常平架回转仪的构造2.常平架回转仪的原理转动体自转轴方位保持不变.Oxyz①②③④①支架②外环③内环④转动体3.应用

安装在导弹、飞机、坦克或舰船中，随时纠正导弹等的方向和姿态.具有轴对称性和绕对称轴有较大转动惯性量。陀螺仪不受重力的矩，且能在空间任意取向。越努力越幸运二、回转仪的旋进

旋进(进动)——高速自转物体的轴,在空间转动的现象.WGl1.杠杆陀螺的进动陀螺高速自转,有重力矩,仅方向不同.t很小时角动量增量xz越努力越幸运矢量式旋进角速度因此xz

越努力越幸运越努力越幸运2.玩具陀螺的进动

与并不一致，因陀螺的形状是对称的，外力矩较小，近似认为一致.进动原理同杠杆陀螺.越努力越幸运越努力越幸运三、地球的旋进与章动

太阳冬夏太阳视运动轨道黄道面法线S23.5°N地球在太阳引力矩的作用下的旋进章动——

的夹角发生周期性的变化.越努力越幸运三、例题P231习题7.2.2质心坐标的计算解：1）如图建立OX坐标系，由于对称性，质心必在OX轴上。越努力越幸运例题2.P231习题7.2.3质心运动定理应用举例解：注意到杆为平面运动，由质心运动定理，在任意夹角时A在此椭园轨迹上运动。越努力越幸运7.3.6均质杆可绕支点O转动，当与杆垂直的冲力作用某点A时，支点O对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化，则A点称为打击中心.设杆长为L，求打击中心与支点的距离.第7章习题

[解答]先进行打击前后的受力分析。建立如图坐标系，z轴垂直纸面向外。由质心运动定理得：由转动定理建立切向和法向单位矢量，则投影方程为越努力越幸运例题：[P233题目7.3.7]

转动定理与质点动力学方程结合应用解:选OZ轴通过O点垂直纸面指向外,设滑轮的转动惯量为I,则联解以上各式可得：越努力越幸运7.3.8斜面倾角为θ，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R，转动惯量为I，受到驱动力矩M，通过绳所牵动斜面上质量为m的物体，物体与斜面间的摩擦系数为μ，求重物上滑的加速度，绳与斜面平行，不计绳质量。mgTNfaθTτβ解：隔离鼓轮与重物，受力分析.对重物对鼓轮应用转动定理

在坐标轴与斜面分别平行和垂直的坐标系投影越努力越幸运例题：[P233题目7.3.9]解:将重物视为质点，建立铅直向下oy坐标系，则将轮盘视为刚体，根据转动定理，根据线量和角量关系越努力越幸运解：设碰撞后小球和杆的质心速