福建省厦门市中考数学试题及答案

-PAGE7-22．（本题满分9分）工厂加工某种零件，经测试，单独加工完成这种零件，甲车床需用x小时，乙车床需用(x2－1)小时，丙车床需用(2x－2)小时.（1）单独加工完成这种零件，若甲车床所用的时间是丙车床的eq\f(2,3)，求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间；（2）加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同？请说明理由.23．（本题满分9分）已知：如图8，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于E，∠BCD＝∠BAC.（1）求证：AC＝AD；（2）过点C作直线CF，交AB的延长线于点F，若∠BCF＝30°,则结论“CF一定是⊙O的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例.24．（本题满分10分）如图9，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)、B(6，3)，连结AB.如果点P在直线y＝x－1上，且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的“邻近点”．（1）判断点Ｃ(eq\f(7,2)，eq\f(5,2))是否是线段AB的“邻近点”，并说明理由；（2）若点Q(m，n)是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围．25．（本题满分10分）已知□ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．（1）如图10，若PE＝eq\r(3)，EO＝1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF＝BC＋3eq\r(2)－4，求BC的长．26．（本题满分12分）已知点A(1，c)和点B(3，d)是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝eq\f(k2,x)（k2＞0）的交点．（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若AM＝BM，求点B的坐标；（2）设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y＝eq\f(k2,x)（k2＞0）于点N．当eq\f(PN,NE)取最大值时，若PN＝eq\f(1,2)，求此时双曲线的解析式．22．（本题满分9分）（1）解:由题意得,x＝eq\f(2,3)(2x－2) 1分∴x＝4. 2分∴x2－1＝16－1＝15(小时). 3分答：乙车床单独加工完成这种零件所需的时间是15小时. 4分（2）解1：不相同. 5分若乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同，由题意得, 6分eq\f(1,x2－1)＝eq\f(1,2x－2). 7分∴eq\f(1,x＋1)＝eq\f(1,2).∴x＝1. 8分经检验，x＝1不是原方程的解.∴原方程无解. 9分答：乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不相同.解2：不相同. 5分若乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同，由题意得, 6分x2－1＝2x－2. 7分解得，x＝1. 8分此时乙车床的工作时间为0小时，不合题意. 9分答：乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不相同.23．（本题满分9分）（1）证明1：∵∠BCD＝∠BAC，∴eq\o(\s\up8(︵),\s\do0(BC))＝eq\o(\s\up8(︵),\s\do0(BD)). ……1分∵AB为⊙O的直径，∴AB⊥CD， ……2分CE＝DE. ……3分∴AC＝AD. ……4分证明2：∵∠BCD＝∠BAC，∴eq\o(\s\up8(︵),\s\do0(BC))＝eq\o(\s\up8(︵),\s\do0(BD)). 1分∵AB为⊙O的直径，∴eq\o(\s\up8(︵),\s\do0(BCA))＝eq\o(\s\up8(︵),\s\do0(BDA)). 2分∴eq\o(\s\up8(︵),\s\do0(CA))＝eq\o(\s\up8(︵),\s\do0(DA)). 3分∴AC＝AD. 4分证明3：∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°. 1分∵PF＝PE，∴AO＝OD. 7分∴AC＝2OA＝2OD＝BD.∴□ABCD是矩形. 8分∴□ABCD是正方形. 9分∴BD＝eq\r(2)BC.∵BF＝eq\f(3,4)BD，∴BC＋3eq\r(2)－4＝eq\f(3eq\r(2),4)BC.解得，BC＝4. 10分解3：∵点P是AD的中点，∴AP＝DP.又∵PE＝PF，∴Rt△PEA≌Rt△PFD.∴∠OAD＝∠ODA.∴OA＝OD. 5分∴AC＝2OA＝2OD＝BD.∴□ABCD是矩形. 6分∵点P是AD的中点，点O是BD的中点，连结PO.∴PO是△ABD的中位线，∴AB＝2PO. 7分∵PF⊥OD，点F是OD的中点，∴PO＝PD.∴AD＝2PO.∴AB＝AD. 8分∴□ABCD是正方形. 9分∴BD＝eq\r(2)BC.∵BF＝eq\f(3,4)BD，∴BC＋3eq\r(2)－4＝eq\f(3eq\r(2),4)BC.解得，BC＝4. 10分解4：∵点P是AD的中点，∴AP＝DP.又∵PE＝PF，∴Rt△PEA≌Rt△PFD.∴∠OAD＝∠ODA.∴OA＝OD. 5分∴AC＝2OA＝2OD＝BD.∴□ABCD是矩形. 6分∵PF⊥OD，点F是OD的中点，连结PO.∴PF是线段OD的中垂线，又∵点P是AD的中点，∴PO＝PD＝eq\f(1,2)BD 7分∴△AOD是直角三角形,∠AOD＝90°. 8分∴□ABCD是正方形. 9分∴BD＝eq\r(2)BC.∵BF＝eq\f(3,4)BD，∴BC＋3eq\r(2)－4＝eq\f(3eq\r(2),4)BC.解得，BC＝4. 10分26．（本题满分12分）（1）解：∵点A(1，c)和点B(3，d)在双曲线y＝eq\f(k2,x)（k2＞0）上，∴c＝k2＝3d 1分∵k2＞0，∴c＞0，d＞0.A(1，c)和点B(3，d)都在第一象限.∴AM＝3d. 2分过点B作BT⊥AM，垂足为T.∴BT＝2. 3分TM＝d.∵AM＝BM，∴BM＝3d.在Rt△BTM中，TM2＋BT2＝BM2，∴d2＋4＝9d2，∴d＝eq\f(eq\r(2),2).点B(3，eq\f(eq\r(2),2)). 4分（2）解1：∵点A(1，c)、B(3，d)是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝eq\f(k2,x)（k2＞0）的交点，∴c＝k2,，3d＝k2，c＝k1＋b，d＝3k1＋b. 5分∴k1＝－eq\f(1,3)k2，b＝eq\f(4,3)k2.∵A(1，c)和点B(3，d)都在第一象限，∴点P在第一象限.∴eq\f(PE,NE)＝eq\f(k1x＋b,eq\f(k2,x))＝eq\f(k1,k2)x2＋eq\f(b,k2)x＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x. 6分∵当x＝1，3时，eq\f(PE,NE)＝1；又∵当x＝2时，eq\f(PE,NE)的最大值是eq\f(4,3).∴1≤eq\f(PE,NE)≤eq\f(4,3). 7分∴PE≥NE. 8分∴eq\f(PN,NE)＝eq\f(PE,NE)－1＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x－1. 9分∴当x＝2时，eq\f(PN,NE)的最大值是eq\f(1,3). 10分由题意，此时PN＝eq\f(1,2)，∴NE＝eq\f(3,2). 11分∴点N(2，eq\f(3,2)).∴k2＝3.∴y＝eq\f(3,x). 12分解2：∵A(1，c)和点B(3，d)都在第一象限，∴点P在第一象限.∵eq\f(PE,NE)＝eq\f(k1x＋b,eq\f(k2,x))＝eq\f(k1,k2)x2＋eq\f(b,k2)x，当点P与点A、B重合时，eq\f(PE,NE)＝1，即当x＝1或3时，eq\f(PE,NE)＝1.∴有eq\f(k1,k2)＋eq\f(b,k2)＝－1，eq\f(9k1,k2)＋eq\f(3b,k2)＝－1. 5分解得，k1＝－eq\f(1,3)k2，b＝eq\f(4,3)k2.∴eq\f(PE,NE)＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x. 6分∵k2＝－3k1，k2＞0，∴k1＜0.∵PE－NE＝k1x＋b－eq\f(k2,x)＝k1x－4k1＋eq\f(3k1,x)＝k1(eq\f(x2－4x＋3,x))＝eq\f(k1(x－1)(x－3),x)， 7分又∵当1≤x≤3时，(x－1)(x－3)≤0，∴k1(eq\f((x－1)(x－3),x))≥0.∴PE－NE≥0. 8分∴eq\f(PN,NE)＝eq\f(PE,NE)－1＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x－1. 9分∴当x＝2时，eq\f(PN,NE)的最大值是eq\f(1,3). 10分由题意，此时PN＝eq\f(1,2)，∴NE＝eq\f(3,2). 11分∴点N(2，eq\f(3,2)).∴k2＝3.∴y＝eq\f(3,x). 12分解3：∵点A(1，c)、B(3，d)是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝eq\f(k2,x)（k2＞0）的交点，∴c＝k2,，3d＝k2，c＝k1＋b，d＝3k1＋b. 5分k2＝3d，k1＝－d，b＝4d.∴直线y＝－dx＋4d，双曲线y＝eq\f(3d,x).∵A(1，c)和点B(3，d)都在第一象限，∴点P在第一象限.∴PN＝PE－NE＝－dx＋4d－eq\f(3d,x)＝－d(eq\f(x2－4x＋3,x))＝－eq\f(d(x－1)(x－3),x)， 6分又∵当1≤x≤3时，(x－1)(x－3)≤0，∴－eq\f(d(x－1)(x－3),x)≥0.∴PN＝PE－NE≥0. 7分∴eq\f(PN,NE)＝eq\f(－dx＋4d－eq\f(3d,x),eq\f(3d,x)) 8分＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x－1. 9分∴当x＝2时，eq\f(PN,NE)的最大值是eq\f(1,3). 10分由题意，此时PN＝eq\f(1,2)，∴NE＝eq\f(3,2). 11分∴点N(2，eq\f(3,2)).∴k2＝3.∴y＝eq\f(3,x). 12分5．已知：如图1，点O是△ABC的重心，连结AO并延长交BC于点D，则下列命题中正确的是()A．AD是∠BAC的平分线B．AD是BC边上的高C．AD是BC边上的中线D．AD是BC边上的中垂线11．△ABC的周长为20厘米，以△ABC的三条中位线组成的三角形的周长是厘米.13．如图2，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝10，则∠A＝°.14．已知关于x的方程ax2－x＋c＝0的一个根是0，则c＝.16．某药品经过两次降价，每瓶零售价由58元降为43元.已知两次降价的百分率均为x则第一次降价后的零售价是元（用含x的代数式表示）；若要求出未知数x，则应列出方程（列出方程即可，不要解方程）.17.已知：如图3，在平行四边形ABCD中，O是线段BD的中点，G是线段BC的中点，点F在BC的延长线上，OF交DC于点E.若AB＝6，CF＝2，EC＝1，则BC＝.21．（本题满分8分）一艘船向正东匀速航行到O处时，看到有一灯塔在它的北偏东60°且距离为32eq\r(3)海里的A处；经过2小时到达B处，看到该灯塔恰好在它的正北方向.（1）根据题意，在图5中画出示意图；（2）求这艘船的速度.22.（本题满分8分）若a＋b＝2，则称a与b是关于1的平衡数.（1）3与是关于1的平衡数，5－eq\r(2)与是关于1的平衡数；（2）若，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由.23．（本题满分9分）在关于x的一元二次方程x2－bx＋c＝0中，（1）若b＝2，方程有实数根，求c的取值范围；（2）若m是此方程的一个实数根，c＝1，b－m＝2，求b的值.24．（本题满分9分）已知：如图6，AD和BC相交于E点，∠EAB＝∠ECD.（1）求证：AB·DE＝CD·BE；（2）连结BD、AC，若AB∥CD，则结论“四边形ABDC一定是梯形”是否正确，若正确请证明；若不正确，请举出反例.25．（本题满分11分）已知：如图7，B、C、E三点在一条直