2022-2023学年广东省肇庆市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省肇庆市高一下学期期中数学试题一、单选题1．复数，其中为虚数单位，则复数的虚部是（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的乘法计算以及虚部的定义求解即可【详解】，故复数的虚部是1故选：A2．已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．6【答案】A【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解.【详解】因为，，，所以，解得.故选：A.3．在中，角的对边分别是.若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理即可求出.【详解】因为，由正弦定理得，即.故选：C.4．已知函数，则的（

）A．最小正周期为，最大值为 B．最小正周期为，最大值为C．最小正周期为，最大值为 D．最小正周期为，最大值为【答案】B【分析】利用辅助角公式化简得到，求出最小正周期和最大值.【详解】所以最小正周期为,最大值为2.故选：B5．向量，则在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量，所以在上的投影向量是,故选：C6．设两个非零向量不共线，且，，，则（

）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线【答案】D【分析】根据平面向量共线定理依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，，不存在实数，使得成立，三点不共线，A错误；对于B，，，不存在实数，使得成立，三点不共线，B错误；对于C，，，不存在实数，使得成立，三点不共线，C错误；对于D，，，，三点共线，D正确.故选：D.7．在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.8．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高度是m，则河流的宽度等于（

）A．m B．mC．m D．m【答案】D【分析】先求得，在中利用正弦定理即可求解.【详解】由题可得，所以，则,在中，，，，由正弦定理可得，即，解得.故选：D.二、多选题9．在下列向量组中，可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BC【分析】根据基底的概念，结合选项，利用共线向量的坐标表示计算，依次判断向量是否共线即可.【详解】对于A，因为，所以共线，不能作为基底，故A错误；对于B，因为，所以不共线，可以作为基底，故B正确；对于C，因为，所以不共线，可以作为基底，故C正确；对于D，因为，所以共线，不能作为基底，故D错误.故选：BC.10．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（

）A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．正方体【答案】ACD【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解.【详解】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形，三棱锥平行于底面的截面是三角形，正方体的截面可能是三角形，如图形成的截面三角形,故选：ACD11．设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（

）A．若为纯虚数，则实数a的值为2B．若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是C．实数是（为的共轭复数）的充要条件D．若，则实数a的值为2【答案】ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A：为纯虚数，有可得，故正确选项B：在复平面内对应的点在第三象限，有解得，故错误选项C：时，；时，即，它们互为充要条件，故正确选项D：时，有，即，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围12．在中角的对边分别为，，则（

）A．B．的面积为或C．是锐角三角形D．的外接圆面积是【答案】BD【分析】由余弦定理求得即可判断A，再求出，利用面积公式求出面积即可判断B，根据三边关系可判断三角形形状，再由正弦定理求出外接圆半径即可判断D.【详解】因为，则，解得或6，故A错误；由余弦定理，所以，当时，，当时，，所以的面积为或，故B正确；当时，，此时为钝角三角形，故C错误；设的外接圆半径为，由正弦定理可得，所以，所以外接圆面积为，故D正确.故选：BD.三、填空题13．已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限.【答案】一【分析】化简复数，根据共轭复数的定义得出答案.【详解】，，复数在复平面内对应的点的坐标为则复数在复平面内对应的点位于第一象限故答案为：一【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限以及共轭复数的概念及计算，属于基础题.14．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为________.【答案】【分析】根据直观图得到平面图形，利用勾股定理求出，即可得解；【详解】解：由直观图可得如下平面图形：其中，，所以，所以在直角三角形中，斜边边上的中线为；故答案为：四、双空题15．已知，，且，则_________；_______.【答案】【分析】由，利用两角和差正切公式可求得，，结合的范围可确定的值.【详解】，，；，，，，，，，.故答案为：；.五、填空题16．已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是______.【答案】【分析】利用正弦定理，将转化为边，得到，将所求的转化成，结合，全部转化为的函数，再求出的范围，从而得到答案.【详解】根据正弦定理，将转化为即，又因为锐角，所以.所以因为是锐角三角形，所以，所以，得，所以故的取值范围是.【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质，属于难题.六、解答题17．已知复数，，为虚数单位.(1)求及；(2)若，求的共轭复数.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据复数的运算法则即可求出，结合共轭复数的概念和复数的几何意义计算即可求解；（2）根据复数的乘、除法运算可得，结合共轭复数的概念即可求解.【详解】（1），，，，．（2）由，所以.18．已知向量.(1)若，求实数的值；(2)若，求向量与的夹角.【答案】(1)或.(2)【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示列出方程，解方程即可；（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得，结合数量积的定义计算即可求解.【详解】（1）已知，所以.又因为，所以有，所以，解得或.（2）因为，所以.又，所以，解得，所以.所以，因为，所以.19．在中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcosC＝（2a－c）cosB，(1)求∠B的大小；(2)若b＝，a＋c＝4，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知，根据正弦定理可对条件进行边角转化，进而结合∠B的范围求解；（2）由第（1）问∠B，结合b＝，a＋c＝4，借助余弦定理可以求解出ac，然后带入面积公式即可完成求解.【详解】（1）由已知及正弦定理可得sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin（B＋C）．又在三角形ABC中，sin（B＋C）＝sinA，因为，所以sinA≠0，∴2sinAcosB＝sinA，即cosB＝，因为，B＝．（2）∵b2＝7＝a2＋c2－2accosB，∴7＝a2＋c2－ac，又（a＋c）2＝16＝a2＋c2＋2ac，∴ac＝3，∴，即.20．已知函数.(1)将函数化为的形式，其中，，，并求的值域；(2)若，，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式化简可得，根据三角函数的值域可得答案；（2）由求出，由的范围求出，由展开代入可得答案.【详解】（1），∵，∴；（2）由，可知，∵，∴，∴，∴.21．如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线为湿地两边夹角为的公路(长度均超过千米)，在两条公路上分别设立游客接送点,从观景台到建造两条观光线路，测得千米，千米．(1)求线段的长度；(2)若，求两条观光线路与之和的最大值．【答案】（1）千米；（2）千米【分析】（1）在中利用余弦定理即可求得结果；（2）设，根据正弦定理可用表示出和，从而可将整理为，根据的范围可知时，取得最大值.【详解】（1）在中，由余弦定理得：千米（2）设，因为，所以在中，由正弦定理得：

，

当，即时，取到最大值两条观光线路距离之和的最大值为千米【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理求解实际问题，涉及到三角函数最值的求解问题，关键是能够将所求距离之和转化为关于角的函数问题，得到函数关系式后根据三角函数最值的求解方法求得结果.22．已知向量，函数，，．(1)当0时，求的值；(2)是否存在实数，