2022-2023学年2023届上海市徐汇区高三数学一模试卷＋标答

2022学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷

高三数学试卷

2022.12

考生注意：

1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分.

2.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等

相关信息.

3.所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律

不得分.

4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.

一'填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7T2题每题5分）考生

应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知全集。=R,集合/={x||x|>0},则，=.

2.在复平面内，复数z所对应的点的坐标为（1,-1）,则zN=.

3.不等式521的解集为____________.

X2+2X+3

4.函数y=tanx在区间学）上的零点是.

5.已知/（x）是定义域为R的奇函数，且xWO时，/（x）=，T,则/（x）的值域

是.

6.在（工一4）9的二项展开式中，/项的系数是.

X

7.已知圆锥的侧面积为2%,且侧面展开图为半圆，则该圆锥底面半径为.

8.在数列{《,}中，q=2,且a0=a“_]+lg/一（〃N2）,则400=.

9.某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）

进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图.设成绩在88

分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两

班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成绩不

低于乙班选取得学生成绩记为事件Z,则事件Z发生

的概率尸（⑷=.

徐汇高三数学共4页第1页

10.在中，AC=4,且工在方方向上的数量投影是—2,贝”前—4诙|（；leR）的

最小值为.

11.设左eR,函数丁=k2一4》+3］的图像与直线y=Ax+l有四个交点，且这些交点的横坐

标分别为2,"（…？5<%），则X答此的取值范围为------------.

12.已知正实数a、b满足3a+2b=6,则b++/一%+1的最小值为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13T4题每题4分，第15T6题每题5分）每

题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.设。6>0,则“q〉b”是“‘<，”的（）

ah

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件

14.己知圆G的半径为3,圆G的半径为7,若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（）

A.0B.4C.8D.12

15.已知平面a、0、/两两垂直，直线〃、b、0满足：aua,bu"cuy,则直线a、

6、c位置关系不可能是()

A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面

16.设数列｛%｝为：1，11111111111111

22444488888888

其中第1项为1,接下来2项均为,，再接下来4项均为工，再接下来8项均为,，…，以

1248

此类推，记S,,=£《，现有如下命题：①存在正整数左，使得为<7；②数列是严

i=l攵

格减数列.下列判断正确的是（）

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要

的步骤.

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

徐汇高三数学共4页第2页

如图，在直三棱柱N8C-4耳G中，AB=AC=2,AAt=4,

ABVAC,BEL4B1交44于点E,。为CQ的中点.

(1)求证：8£_1_平面/80；

(2)求直线8Q与平面所成角的大小.

18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

」,17

已知/(x)=lnx-(a+l)x+—ar"(«eR).

(1)当a=0时，求函数y=/(x)在点(1,/(I))处的切线方程:

(2)当ae(O,l］时，求函数y=/(x)的单调区间.

19.(本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分)

近年来，为“加大城市公园绿地建设力度，形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续建起

众多“口袋公园”.现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公

园”.如图所示，以防中点工为圆心，FG为半径的扇形草坪区48C,点P在弧8c上(不

与端点重合)，AB、弧8C、C4、PQ、PR、RQ为步

行道，其中尸0与N8垂直，PR与4c垂直.设NPAB=e

(1)如果点尸位于弧8c的中点，求三条步行道

尸0、PR、及。的总长度；

(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、

便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道

PQ、PR、开辟临时摊点，积极推进“地摊经济”发展，预计每年能产生的经济效益分别为

每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少？(精

确到1万元)

徐汇高三数学共4页第3页

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

己知曲线G的方程为=1（4eR,1=1,2,3）,直线/:y=l（x+l）,keR.

（i）若曲线G是焦点在％轴上且离心率为孝的椭圆，求4的值；

⑵若左=1,4工一1时，直线/与曲线G相交于两点M，N,且|〃N|=J5,求曲线G

的方程；

（3）若直线/与曲线G在第一象限交于点4（为，》），是否存在不全相等4,4,4满足

4+4=2%,且使得只=玉》3成立.若存在，求出吃的值：若不存在，请说明理由.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

对于数列上｝，｛%｝,其中y.eZ,对任意正整数〃都有氏-则称数列出｝为数

列｛》,,｝的“接近数列”.已知也｝为数列｛叫的“接近数列"，且4=£叼纥=.

/=1/=!

（1）若%=〃+:（〃是正整数），求4,4,4,4的值；

（2）若4,+（〃是正整数），是否存在左（上是正整数），使得4<4,如果存

在，请求出左的最小值，如果不存在，请说明理由:

（3）若｛4｝为无穷等差数列，公差为d,求证：数列｛a｝为等差数列的充要条件是deZ.

徐汇高三数学共4页第4页

参考答案及评分标准2022.12

填空题:(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)

1.{0}2.23.[-2,1]4.乃

5.(-1,1)6,-6727.18.4

9.210.2百11.f-oo,--112.丝

913)13

二.选择题：(本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分)

13.C14.C15.B16.D

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的

17.(本题满分14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分)

解：(1)因为三棱柱Z8C-44G为直三棱柱，所以平面4BC,

所以44J.4C.

因为NBCIX4=4,所以4C_L平面441坊8.

因为8Eu平面//田超，所以4C_L8E.

因为ACHAB^A,

因此，8£_L平面/々C.

(2)由(1)知两两垂直，如图建立空间直角坐标系Z-孙z.

则4(0,0,0),3,(2,0,4),£>(0,2,2),8(2,0,0),

设£(0,0,a),所以质=(0,2,2),福=(2,0,4)屈=(-2,0,a),

因为福_L而，所以4a-4=0,即a=l.

所以平面AB、C的一个法向量为BE=(-2,0,1).

又瓦5=(—2,2,-2)

设直线片。与平面AB.C所成角的大小为6(0<^<|),则

•A(乃"屉•丽岳

sin0=cos——0=I,.=------.

【2)BE^D15

因此，直线与平面所成角的大小为arcsin姮.

115

18.(本题满分14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分)

1

解：（1）当a=0时，/（x）=lnx-x,=

X

所以r（i）=o.

所以函数丁=/（x）在点（1,/。））处的切线方程为y+l=O.

（2）因为/。）=111*一5+1口+30¥:!,定义域为（0,+8）,

所以/‘（X）」_（〃+1）+“X="-（。+—+1=g-Dgi）.

XXX

①当0＜。＜1时，/（X）与f\x）在（0,+oo）上的变化情况如下:

1_

X(0,1)1(1.-)

aaa

/'（X）+0—0+

极小值

极大值=

/（X）//(l)=-ln(7-l---/

a2a

所以函数y=/（x）在（0,1）及d,+8）内严格增，在。」）内严格减；

aa

②当。=i时，令ra）=o,解得x=i,所以函数在x=i时有唯一的驻点.但是，由于永远

成立r（x”0,驻点两侧导数值的正负没有发生变化，因此该驻点不是单调区间的分界点，

所以此函数的单调增区间为（0,+oo）.

因此，当0＜。＜1时，函数y=/（x）的单调增区间为（0,1）及（匕+8）,单调减区间为（1」）;

aa

当。=1时，函数y=/（x）单调增区间为（。，物）.

19.（本题满分16分，第（1）小题8分，第（2）小题8分）

TT

解：（1）易彳导NBAC=一,

3

由于点尸位于弧8C的中点，所以点尸位于N84。的角平分线上，

则|尸。卜|PR|=|尸2卜sinNPAB=200xsin-=100,

6

\AQ\=\AP\cosZPAB=200x去=100栏,

因为ZBAC=y,\AQ\=|/7?|=1008，所以A4RQ为等边三角形,

则忸。|=|/。|=1006,因此三条街道的总长度为

/=|P0|+|PR|+P?Q|=1OO+1OO+1OO6=2OO+1OO6(米).

2

(2)

|PQ|二|/尸|sin。=200sina

|1=1工尸Isin(q—eJ=200sin(e]=1006cos6—100sin0,

|AQ|=|AP|cos0=200cos6,

\AR|=|/P|cos(亨—6)=200cos1-^=100cos6+100枢sin0

由余弦定理可知：+\AR|2-2H2l|J7?|cosy,

=(200cos6)2+(100cose+100V3sin6))2-2x200cos8(100cos6+10073sin6)cosy=30000,

则IR。|=1006,

设三条步行道每年能产生的经济总效益

W,则/=(|PQ|+|PR|)x5+|R0|x5.9

=(200sin。+100&cos。-100sin6)x5+59073

=1000sin(e+g)+590后

当sin（。+工）=1即。=工时少取最大值,最大值为1000+590G«2022.

36

答：三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.

20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）

解：（1）由题得4>0,曲线G为：/+膜=1,又离心率为2=①，a=\,则。=也

1a22

（1\

又因为1=U—J+I—2J，因此，4=2.

⑵设M（XM，%）,N（XN，%），

x2+4y2=]

，2

联立方程《W(/l2+l)x+2A2x+(A2-l)=0

y=x+l

因为4力_],A=442—4(4+1)(4-1)=4

3

则XM+%N=2",XM*N=必~，所以，=11=五，解得4=1或-3.

因此，曲线。2的方程为：x2+/=ls5cx2-3y2=l.

⑶联立卜+4：=:得4公(》+1)2=12

y=A(x+l)，

\-2k2

又菁＞0,得4/(x+l)=l—X,解得苍=]+；'/「

假设存在4+4=2办(4，4，4不全相等)，使得苞彳3=工；成立.

(I-M2)(I-^2)fi-^Y

”(1+4公)(1+4%2)[1+4左2),

]+4/j4―(4+4)左2_]+4左4—24左2

]+44左4+(4+4)左-]+石1+4-,

进一步有1------—7~^-----;—r=1----、4夕)------

1+44%+(4+4)左1+.左+24,左-，

化简得

l+44/+(4+4)F1+后女4+2%储，

由6（X,.，B）在第一象限,苍>。且,=左（再+1）〉0,得%>0

(i)4=0,则4+4=0，X2-=1;

(ii)quo,贝(144左4=#-4,得44=后,又因为4+4=2",

则4=4=4与已知矛盾.

综上所述：存在4+4=2%（4,4,4不全相等），使得宕=演与成立，此时z=L

21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

解：（1）4=1也=2也=3也=4.

（2）当〃为奇数时，4,=|+（2），由函数歹=5+（2）的单调性可知,

（3231ZBry（131sir止士，c

即Rrla“e|一,——，得。“-2e|—一,——，进一步有b“=2,

"（2100J"12100J"

4

3f9Y+l3<9V+l3

当〃为偶数时，,由函数y=5—1木J的单调性可知即

7713、”曰,229]

----,一|,得—1elOOO^J进一步有〃=1.

10002J"

2〃为奇数

综上所述：”=<nGN*

1〃为偶数

3〃+l