全2022年湖北新高考七市(州)高三数学3月联考模拟测试卷含答案

2022年湖北新高考七市(州)高三数学3月联考模拟测试卷含答案湖北的襄阳、荆州、宜昌、荊门、十堰、孝感、恩施等七地2021届高三3月大联考数学卷

第8题，化抽象为具体，根据题意，f(x)>0，而f＇(x)<0，又(e^x)′=e^x>0的特殊性，故含e^x的复合函数就是最佳选择，像e^(-2x)、e^(-3x)、e^(-4x)、……都是符合条件的，比如e^(-3x)>0，由复合函数求导，知[e^(-3x)]′=-3e^(-3x)<0。可取f(x)=e^(-2x)>0，则f′(x)=-2e^(-2x)<0，根据题意0<a<1<b且ab=1，即b=1/a，再由A、B、C、D四个选项中，f(a)与f(b)分别在其不等式的左右两边，故可通过计算f(a)/f(b)的值，来找寻解题的途径。设f(x)=e^(-2x)，对于A，可取a=8/9，或9/10，或10/11等比较接近于1的数来验证其是错误的；对于B和D，皆可用1/2、1/3来验证其错误性的！事实上，本题不单考察的是抽象函数的特性，还有对“f(x)＋f＇(x)”特证的认识，在含有e^x的复合函数的求导中，曾出现过，即若有g(x)=e^xf(x)，则g＇(x)=(e^x)′f(x)＋e^xf＇(x)=e^x[f(x)＋f＇(x)]。故本题可通过构造函数来解，这也是本题的命题目的！解:设h(x)=e^xf(x)，则h＇(x)=e^x[f(x)＋f＇(x)]<0，故h(x)在(0，+∞)上递减，又0<a<1<b，于是有h(a)﹥h(b)，即e^af(a)﹥e^bf(b)，∴f(a)>e^(b－a)f(b)……①；再根据对数不等式:√(ab)<(a－b)/(lna－lnb)<(a＋b)/2，又ab=1，从而，有1=√(ab)<(a－b)/(lna－lnb)，∴b－a>ln(b/a)，即e^(b－a)>b/a……②；由①、②可得f(a)>(b/a)f(b)，即af(a)>bf(b)。因此，答案为C。另解:由f(x)＋f＇(x)<0，可构造函数:g(x)=e^xf(x)，则g＇(x)=e^x[f(x)＋f＇(x)]<0，知g(x)在(0，+∞)上递减，又0<a<1<b，故g(a)>g(b)，即e^af(a)>e^bf(b)，有f(a)>(e^b/e^a)f(b)，这与选项C:f(a)>(b/a)f(b)极为相似，若e^b/e^a>b/a，即e^b/b>e^a/a，则C正确。(此时，同构已出现！！！)令p(x)=e^x/x，又0<a<1<b，由p(x)=e^x/x的函数图象知，有p(a)=p(c)，即e^a/a=e^c/c=t，故有e^a=at，即a=lnt＋lna……①，有e^c=ct，即c=lnt＋lnc……②，由①－②，得a－c=lna－lnc，而a≠c，从而，有(a－c)/(lna－Inc)=1，由对数平均不等式，知√(ac)<(a－c)/(lna－lnc)，即ac<1，故c<1/a，而ab=1，因此，c<b，即b在c的右边，由图象可知，p(b)>p(c)，故p(b)>p(a)，即e^b/