2023高考数学必刷题函数概念与基本初等函数（选填压轴题）解析版

专题02函数概念与基本初等函数（选填压轴题）

一、函数及其表示

①抽象函数定义域②复合函数定义域③根式型、分式型求④抽象函数的值域

值域

⑤复合函数的值域⑥根据值域求参数

二、函数的基本性质

①单调性（复合函数②函数的值域（复合③恒成立（能成立）④奇偶性

的单调性）函数的值域）问题

⑤周期性⑥对称性⑦函数奇偶性+单调性+对称性联袂

三、分段函数

①分段函数求值域或最值②根据分段函数的单调性求参数

四、函数的图象

①特殊值②奇偶性③单调性④零点⑤极限联袂

五、二次函数

①二次函数的单调性②二次函数的值域（最值）

六、指对塞函数

①单调性②值域

③图象④复合型

七、函数与方程

①函数的零点（方程的根）的个数②已知函数的零点（方程的根）的个数，求

参数

③分段函数的零点（根）的问题④二分法

八、新定义题

①高斯函数②狄利克雷函数

③劳威尔不动点④黎曼函数

⑤纳皮尔对数表⑥同族函数

⑦康托尔三分集⑧太极图

一、函数及其表示

1.（2022•浙江♦高三专题练习）已知函数y=/（2，）的定义域是[-1』，则函数/（log.、x）的定

义域是（）

A.[-1,1]B.1,3C.[1,3]D.[73,9]

【答案】D

由得2"e；,2,

所以1呜万€1,2,所以xe[69].

故选：D.

2.（2022•北京师大附中高一期末）已知函数/（x）=x,5（x）=ac2-x,其中a>0,若

百叩,3],3x2e[l,3],使得成立,则。=（）

34

A.-B.一cD.y

23-I

【答案】B

f(x)=x,xe[l,3],/(x)>0,又fa)/(x2)=g(xl)g(x2),，g(x)*0,

二由，(玉)/(w)=g(xJg(xJ得'

d\A|/J1人2J

设〃(x)=^^=-^,/MW=77T-

g(x)ax-1f(x)

则”<1,3],切目1,3],以用）=加区），「・的值域是加“）值域的子集.

a>0,xe[l,3]时，〃?(x),显然0e[a-l,3a-l],(否则0属于/?(x)的值域,

但〃(X)N0).

•,.h(x)G[----,----],

3。-1a-i

—!—>a-\

3tz—1...

)()•

----<3a-\

a-\

由上讨论知"l,3a-l同号,

(小必”「.(小)(3”1)“「

。>1时，（*）式可化为

(67-1)(367-1)>13

当时，（*）式可化为(a-l)(3^-l)>l一j

0<a<g(小商”「・无解.

4

综上：〃=1.

故选:B.

3.（2022•河南南阳•高一期末）若函数的定义域为[0,2],则函数8（制=〃馆X）的定

义域为.

【答案】[M00]

•••/«的定义域为[0,2]

1gxe[0,2]

/.xe[1,100]

即g（x）=/（lgx）的定义域为口，100]

故答案为：[uoo]

'j.2.2r_1A

4.（2022•全国•高三专题练习）已知函数y=/，一的定义域是[l,y),则函数

、X+X"-1j

y=的定义域是.

【答案】。,2]

令g(x)=1^(xzi)，

1+

则g(力=~-=1+—]—(x21)

则"z1："=z

x+x-\x+x-iXv---1--,r11J

X

,・・y=x-，在[l,+oo)上单调递增，/.x-->0,

XX

X

・•.“X）的定义域为。,2].

故答案为：。,2].

5.（2022•全国•高三专题练习）设八幻=1g答，则/（；）+/（2）的定义域为

2-x2x

【答案】（-4,-DU（l，4）

由—2+x>0得-2<x<2,

2-x

X2

故一2<土<2且—2<±<2,

2x

x2

-2<-<2=>-4<x<4,-2<一<2nxv-1或x>l

2x

解得：xe(-4,-l)U(l,4).

故答案为：(Y,T)U(1,4)

6.(2022♦江西•赣州市赣县第三中学高一开学考试)函数/(x)=JG+VT工的值域为

…一限35

【答案】—

由己知得，f(x)=J2x-1+j2-x,xeg,2,

构造函数/?(x)=-"7次+、—工,xJ」,21，则〃(x)在L,21上单调递增，

V212」12」

即可得/z(x)e-后1]

因为/2。)+层(幻=],

所以尸⑴二2-川⑴©|,1,

所以f(x)e等，平

故答案为：手，斗

7.(2022・上海•高三专题练习)函数y=五士x—3+3的值域为

X+1

【答案】吐叵]

48

-X2+4X-3=-(x-2)2+1>0=>1<X<3.

令x-2-cos9且[0,n]

V-X2+4%-3+3

..y=--------------

x+1

=吗+3,表示两点(-3,-3)和(cosO,sine)的斜率，cos20+sin2^=l(0e[O,7r]),

故点(cosasin。)在单位圆的上半部分.

如图，斜率最小-为3-0二3斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率,

sin0+cos^=--

3

sin0-(-3)sin®1

何化简得si""'"?叫sin2O+cos2，=1,解得

-1<cos<0

0<sin，<1

Vl7-113

=¥•所以

,故切线的斜率为=一—

c吗os^-(十-3)-VI7-1+3

6

斜率的取值范围，也即函数的值域出?

8.（2022•上海•模拟预测）若函数y=/（x）的值域是43],则函数尸（X）=F（2X+1）+R；二

的值域是.

【答案】⑵1]

因函数y=/（x）的值域是g,3],从而得函数，=/（2x+D值域为g,3],

函数尸（X）变为y=f+l,feU，3],由对勾函数的性质知＞=£+[在4，1]上递减，在[1,3]上

递增，

，=1时，为in=2,而/=3时，y=|,f=3时，y=¥，即

所以原函数值域是⑵为^

故答案为：⑵号]

9.（2022•全国•高一）函数y=2-+4x的值域是.

【答案】［0,2］.

-X2+4X=-(X-2)2+4<4,S.-x1+4x>0,

0<-X2+4X<4,

,,,0<J-x2+4x<2，

-2<-yj-x2+4x<0>

•10<2-yJ-x2+4x<2'

故函数y=2-yl-x2+4x的值域是［。，2］.

故答案为：［0,2］

10.(2021•全国•高一专题练习)己知函数y=V+2x在闭区间值,切上的值域为［-1,3］，则

的最大值为.

画出函数〃X)=X2+2X的图像可知，要使其在闭区间[。,加上的值域为[-1,3],

由于有且仅有=，所以一1e[a,b]^a<-\<b,

而3)=〃1)=3,所以有[a,句=[-3』],a=—3或8=1,

又；。<0,。力的最大值为正值时,6<0,

/.〃工1,。=一3,

所以〃•/>=-3"当b取最小值时,,a力有最大值.

又：皓-1,

•.的最大值为(-3)X(-1)=3；

故答案为：3.

二、函数的基本性质

1.(2021•江苏•海安高级中学高一阶段练习)已知函数〃x)=ln(x2-l)+2'+2T,则使不

等式〃x+l)<〃2x)成立的x的取值范围是

A.(-00,-l)U(l,+oo)B.(-2,-1)

C.D.(-<»,-2)U(l,+oo)

【答案】D

已知函数/(x)=ln(V—1)+2'+2-',令/一1>0,解得了<_1或了>1,所以函数/(力的定义域

为(F,T)U(1,E),则其定义域关于原点对称，

又x)=ln((—x)2-l)+2-，+2、=ln(x2—1)+2，+2T=〃x),所以函数〃x)为偶函数，当

x>1时，=In(x2-1)+2、+2T，乂y=In(寸一1)及y=2'+2-'在x>1时都是增函数，所以

〃x)在x>l时也是增函数，

]x+l|<|2x|《㈣1

故解不等式/(%+l)v/(2x),即卜+1|〉1，解得卜>0或r<-2即xv-2或尢>1,综上不等

2x1>11-1

U1彳>一或％<——

22

式/(x+l)<〃2x)成立的x的取值范围为2)=(1,田).

故选:。

2.(2021•江苏•高一单元测试)已知函数/(x)的定义域是(0,+8),且满足

/(^)=/(x)+/(y),如果对于0<x<y，都有〃x)>〃y),不等式

〃T)+〃3-X)N-2的解集为()

A.[—1,0)53,4]B.-L-|C.H，-3)D.[-L0)

【答案】D

由于/1(盯)=f(x)+〃y),

令x=y=i则/⑴=2/(1),即/⑴=0,

则/(l)=/(2x£|=〃2)+佃=0,

由于/[)=1，则/⑵=一1,

即有"4)=2/(2)=-2,

由于对于0<x<y,都有〃x)>/(y),

则f(x)在(0,+8)上递减，

不等式“一切+”3—月2-2即为，［一X(3-X)］N〃4).

-x>0x<0

则原不等式即为・3-x>0,即有.x<3,

-x(3-x)<4-14x44

即有一14x<0,即解集为［-1,0).

故选：D.

3.(2022•吉林・梅河口市第五中学高一期末)已知函数“力=幺-2》+1川》-1|,若实数。满

足〃a-l)>〃2a-l),则实数。的取值范围是()

A.(og)B.(-»,0)

C.同D.(O,l)U闻

【答案】D

函数f,定义域为xelfO.Dua+oo),

X/(2-x)=(2-x)'-2(2-x)+ln|2-x-l|=x2-2x+ln|x-l|=f(x),

所以函数/(x)=f—2x+ln|x—l|关于x=l对称，

当xe(l,+oo)时，y=x,-2x,y=ln|x-l|单调递增，故函数/(了六/一2x+ln|x-l|单调递增,

函数〃》)=/-2了+1中-1|在(1,+<»)上单调递增，在(—/)匕单调递减，

由/(a-l)>/(2a-l)可得，,

2。-1#I

4

解得0<。<]，且4工1.

故选：D.

4.(2022•北京•高三专题练习)已知函数/⑴的定义域为火，当xe[2,4]时，

-X2+4X,2M3

/(%)=，/+2,g(x)=ar+l,若对V%£[2,4],HX2e[-2,1],使得g(巧)../(%),

-----,3<M，4

.x

则正实数〃的取值范围为()

A.(0,2jB.(0,|jC.12,+oo)D.[1,+8)

【答案】D

解：•.•对V占e[2,4],叫e[-2,1],使得g(x)./a),双吃)…../a)…，

①当xe[2,3|时，/(X)=-/+4X=-((X-2)2+4,=4,

>0

②当xe(3,4]时，fM=£ll=x+l,­.­/-W=l-4--•■/Wit(3.4]上单调递增,

XXx

99

=f(4)=|,由①②得/(初，皿=5，

97

又・.・a>0,g(x)=or+l在/g-2,U上为增函数，，8(。皿=々+1,.,/+1..万，.5.彳，

7

的取值范围为弓，+◎.

故选：D.

5.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(幻="‘(04x41),函数g(x)=(〃z-l)x

2X+1

(14x42).若任意的W«0,l],存在马41,2],使得〃与)=8(々)，则实数，”的取值范围

为()

55

B.[2,3]

3,2

【答案】D

对任意的由e［0,l］,存在扇叩,2］,使得=

即f(x)在［0』上的值域是g(x)在［1,2］上的值域的子集,

当初<1时，.**m-\<0,

m+1fvi+2

・•.〃x)在［0,1］上单调递增，；J(x)的值域为—,

又♦.•g(x)=(相-l)x在［1,2］上单调递减，，g(x)的值域为：［2机-2,机-1］,

"2+1m+2

C[2/H-2,^-1],

2'3

,方程无解

772+2+1

当m>l时，加一1>0,，/⑺在［0』］匕单调递减，.・・/(X)的值域为—

g(x)的值域为：［帆一1,2m-2］,c［m-l,2m-2］

当机=1时，f(x)=l,g(x)=O,显然不满足题意.

综上，实数团的取值范围为

故选：D.

6.(多选)(2022•湖北•沙市中学高一期末)定义在R上的函数/(x)满足/(x+2)=2/(x),

-X2+4x,2<x<3

且当xw[2,4]时,/(%)="炉+2,g(x)=ax+l,若任给玉=[-2,0],存在々,

,3<x<4

使得g(毛)=〃与)，则实数。的取值可以为(

【答案】ABD

-x2+4x,24x43

当xe［2,4］时，〃力=

可知f(x)在［2,3］上单调递减，在(3,4］上单调递增，

119-

(可,引，

所以“X)在［2,4］上的值域为3,1,

因为/(x+2)=2〃x),所以〃X)=5/(X+4),所以在卜2,0］卜一的值域为

■3

当a>0时，g(x)为增函数，g(x)=^+l在卜2,1］上的值域为［—2a+l,a+l］,所以<:

—<a+l

8

解得：

O

(3

->a+l

当a<0时，g(x)为减函数，g(x)=«r+l在［-2,1］上的值域为［a+L-2a+l］,所以，;

—<-2a+1

8

解得：“W-二;

当a=0时，g（x）为常数函数，值域为{1},不符合题意；

综上：a的取值范围是,8,-；d

则ABD满足题意.

故选：ABD

7.（2022•河北•高三阶段练习）函数〃x）=S'的最大值为2,且在b8,；上单调递

增，则a的范围是,〃+色4的最小值为.

a

【答案】［1,+8）2

注意到y=是减函数，

y=/-ar+匕在（-8,；上单调递减,

而y=x?-ax+匕的递减区间是（-8段,

a、11

.-2—,a>\.

22

/1xx2-ax+b

1的最大值为2,

22

y=x2-ax+b=[x--|+b盘的最小值为—I,

I2

小.l,

HP—=—I,Z?+—=

44a

h(a]=-+—-\,h'(a)=-~~^=0,a=2,

v74av'2a2

在a=2处取得最小值2.

故答案为：［I,+«＞）,2

8.（2022•全国•模拟预测）已知函数/（x）的定义域。=（«,0）50,y），对任意的x—XzG。,

都有〃与七）=/（与）+/仁）-3,若/（x）在（0,+8）上单调递减，且对任意的f«9,+co）,

〃回＞〃-^/^。恒成立，则，”的取值范围是.

【答案】（―1,。）。（0,1）

解法一：令=7t-9=忑+^^,

易知g（f）在［9,+oo）上单调递减,所以g（f）4g（9）=3,

所以〃加）＞3.在/（办々）=/（司）+/（々）-3中，

令%=%=1,得/（1）=3,令为=X2=-1，

得/（一1）=3,令士=x,x,=-l,

得f（-x）="x），乂/⑺的定义域。=（­，。）5。，+8），

所以f（x）是偶函数.

因为〃x）在（0,”）上单调递减,且/⑴=3,

所以由〃向＞3,得/（帆）＞〃1）,得0＜帆＜1,

解得一1＜根＜0或0＜"2＜1,故机的取值范围是（-1,0）5°」）.

解法二：令g（，）=CG?="+*,

易知g（f）在［9,M）上单调递减,所以g（f）4g（9）=3,

所以〃加）＞3.根据“X）的定义域。=（y,0）6（）,+8）,

对任意的X1,X2ED,都有/（与%2）=/（4）+/5）一3,

且“X）在（O,y）上单调递减，可设〃x）=log05W+3，

则由y（/n）＞3,得logo,5帆＞0，得0＜同＜1,

解得一1V机V。或0＜〃2＜1,

故答案为：（T,0）u（0,l）.

9.（2022•河北省唐县第一中学高一期中）设函数〃x）=logos（f-2x-3）,则/（%）的单调

递增区间为.

【答案】

记N（X）=X2-2x-3,

因为y=logos"为减函数，所以当y=/*）单调递增时，y=〃Q）单调递减，

由〃（x）=d-2工-3＞0得x＞3或工＜-1,

又当冗＜7时，y=〃（x）单调递减.

故x＜—1.

故答案为：（-8,-1）.

10.（2022•山西吕梁•高一期末）已知函数y=（；）/3-3在区间（；，2）上单调递增，则实

数a的取值范围是.

【答案】T，；

/、ax'_2.x_3

由函数y=；在区间(7,2)上单调递增，

得函数y=加—2x-3在区间(-1,2)上单调递减，

当a=0时，y=-2x-3在区间上单调递减，符合题意.

当a<0时，由y=#-2x-3在区间(-1,2)上单调递减，

得24-1,解得：-l<a<0.

a

当〃>0时，由y二奴之一21一3在区间(一1,2)上单调递减，

得，22,解得：0<a<l

a2

综上所述，。的取值范围是。e-1,1.

11.(2022•安徽省舒城中学高一阶段练习)已知函数/(x)=xJ4x+3,g(x)=tnx+5-2m,

若对任意的百W1,4],总存在±e[L4],使〃x,)=g®)成立,则实数机的取值范围是

【答案】(F-3]56M)

因为〃X)=X2-4X+3=(X-2)2-1,

所以函数/(x)的对称轴为x=2,

对任意的芭e[l,4],记/")«-1,3].记4=卜1,3].

由题意知，当加=0时不成立，

当心>0时，g(x)=/nr+5-2加在[1,4]上是增函数,

所以g(x)w[5-2m+5],记B=[5—a,2〃?+5]

由题意知，BEA

-1>5-m

所以

2m+5>3>解得机之6,

当"?<0时，g(x)=wx+5-2机在[1,4]上是减函数,

所以g(x)e[2m+5,5—,记C=[2m+5,5,

山题意知，CRA

2m+5K—1

所以4-23,解得人—3.

综上所述，实数机的取值范围是(fT36,”).

故答案为：(Y，-3]D[6,W)

12.(2022・上海・曹杨二中高一期末)已知常数a>0,函数y=f(x)、y=g(x)的表达式分

别为/(x)=―J、g(x)=x-=.若对任意占w［—a,a］,总存在％«-〃,司，使得

ax~+13

/&)*(%),则a的最大值为.

【答案】n

2

依题意，函数g(x)=x-£在［―a,a］上单调递增，则当x=a时，g(x)nm=g(a)=^a,

2

因对任意苦总存在w使得,则存在xe［-a,a］,f(x)>-a

成立，

则当xe［-a,a］时，人口由2成立，而函数f(x)=京工是奇函数，当x<0时，f。)<0,

当x>0时，/(x)>0,

因此，在［-名句上的最大值只能在(0M上取得

而当x>0时，八“)二」了，/(x)在(0,J=］上单调递增，在13，内)上单调递减，

6~1—>ja<a

当即0<aWl时，/(x)在(。㈤上单调递增，/a)max=/(a)=-^.

由六Ha解得。〈a”!，于是得。<心技

即a>l时，/(X)在(0,J=］上单调递增，在［；,团上单调递减,

当*7cl7a

f(x)g=〃％)=泰<；，

而2t2，此时不存在*£(°，。】使得成2立，

综上得即0<〃4更，

V22

所以a的最大值为更.

2

故答案为：鱼

2

13.(2022•全国•高三专题练习)设函数/(力=：-2公-3b,若对任意的正实数a和实数b,

总存在x°«l,4］,使得/(/)>，"，则实数机的取值范围是.

【答案】(V

由题意得：〃司四＞“在xe［L4］恒成立，设〃x)1mx=例3),

u(x)=--2ax-3b,

x

因为〃%)=-已-2"0在代［1川恒成立，所以〃⑺在［1,4］单调递减，

所以L-8Q-3Z?K〃(X)W,

4

(1)^(,--Sa-3h)+(\-2a-3b)=0^＞b=--—,

4243

3

M(a)=3a+—；

(2)当(；一8。-3匕)+(1一2。-3/?)＞0=＞/?＜最一小

加(。)二1一2。一3/?＞3〃+］；

(3)当(；一8。一3。)+(1-2。-3与＜0=8＞亮一4，

13

M(a)=Sa+3b--＞3a+-；

3

所以当。＞0时，M(6Z)＞-,

8

3

所以"Z＜［.

8

故答案为(YO，|,

14.(2022•上海•高三专题练习)已知t为常数，函数y=|Y-2xT|在区间［0,3］上的最大

值为2,贝U/=_____________

【答案】1

显然函数、=y-2》-力的最大值只能在x=l或x=3时取到，

若在x=l时取到，则|1-2-4=2,得f=l或f=-3

，=1,工=3或1时，＞max=2；f=—3,x=3时，y=6(舍去)；

若在x=3时取到，则|9-6-”=2,得f=l或r=5

r=l,工=3或1时，ymax=2；t=5,x=l时，y=6(舍去)

所以r=l

15.(2022・重庆市万州第二高级中学高二阶段练习)已知函数/(1)=3+1)111%+0?+1(。＜一1)

如果对任意王ee(0,+8),|/(9)-/(电)24后—9I，则。的取值范围为.

【答案】(-8,-2]

,/函数f(x)=(a+l)lnx+ax2+](々〈—I),

函数，(x)的定义域为(0,+8),f\x)=^-+2ax<0,

函数J。)在(0,+8)上单调递减，

又对任意公€(°，+°°)，|/(与)一/(々)24后一天I，

不妨假设,之%>。则)<f®),

所以|/(4)一〃々)|N4归-人等价于f(x2)-/(A,)>4xl-4x2,即fix,)+4x,</(x2)+4%,

令g(x)=/(x)+4x,则函数g(x)=/(x)+4x单调递减，

,〃+12ax2+4x+6[+l

又g(x)=---+2以+4=--------------,

XX

于是g'(x)wo在(0,+8)上恒成立，BP2O¥24-4X4-6Z+1<0,又。<-1,工=一]>0,

''''△=42-4x2ax(«+l)<0，解得°4一2,

所以”的取值范围为(7,-2].

故答案为：(-°0,-2].

16.(2022•浙江宁波•高一期末)已知f(x)=(ei-l)n(x+2a-l),若〃x)20对

xe(l一恒成立，则实数a=.

【答案】|

当0VX+2(7-141,即l-2avx42—2a时，ln(x+2a-l)40,

乂〃力20,故巳1一140,则恒成立，

一2

所以a»2—2a,解得。之§；

当了+2〃一1>1,即％>2—2〃时，ln(x+2tz-l)>0,故e,%—120,即恒成立，

2

「.a<2-2。，解得。(§：

综上,实数”=：.

故答案为：

17.(2022•湖南长沙•高三阶段练习)已知函数/⑴=/,以幻=24卜-1|,〃为常数.若对于

任意打，X20O,2],且羽VX2,都有/区)-/(W)Vg(X)-g*2)，则实数。的取值范围是

【答案】[0,l]##{a|0<«<l}

对于任意为,X200,2],且X/VX2,都有/(X1)-/(X2)<g(X|)-g(X2),即

f(xt)-g(3)</(々)-g"2)，令尸(X)=/(X)—g(x)=V-2ak-1|,即F(X1)<F(z)只需在[0,

2]上单调递增即可，

当x=l时,产(力=1,函数图象恒过(1,1)：

当x>l时,F(x)=x2-2ax+2a；

当x<l时，F(x)=x2+lax-2a；

要使尸(x)在区间[0,2]上单调递增，则当l〈xV2时，尸。)=/-2以+24的对称轴

x=a<\,HPa<1；

当04%<1时，F(x)=—+2ax-2a的对称轴x=-aM0,B|Ja>0；

Kl+2axl-2a<l-2axl+2a,

综上04a41

故答案为：[0,1].

8n

x--------JC<。

18.(2022•上海•高三专题练习)已知函数/(x)=x,若对任意的王e[2,«»),

|x-a|x>0

都存在9«-2,-1],使得〃甚).”修)2%则实数。的取值范围为.

7

【答案】(—,：]

4

:玉日2,+<»),々«-2,-1],/(々)>0,

，即对任意的玉e[2,+oo),都存在&e[-2,-1],使"2丫__§_恒

X,42

-X2

成立，

•'•有|%[―〃|--~~Q~=—>

(JI1limn87

X2---

I“2/min

当时，显然不等式恒成立；

当0vav2时，2—a>—,解得0<a<—；

74

当。22时，\x]-a\E[0,+oo),此时不成立.

7

综上,a<~.

7

故答案为：(-8,/

19.(2022•全国•高三专题练习)设函数/(幻=产+办+同，对于任意的实数a,b,总存在

%w［0,4］,使得/(x)2/成立，则实数t的取值范围是.

【答案】t<2

因为存在x°w［0,4］,使得F(x)2f成立,

所以，4/(初而，

因为对于任意的实数a,b,f</(x)max,

所以YlAx).”」2n恒成立，

设f(x)的最大值为A7(b),

令"(xXV+or+b,二次函数的对称轴为X=4，

当一色<0,即a>0时，“(X)单调递增，

2

此时成Mx)\6+4<i+b,

当b2-2a-8时，M(b)=\6+4a+h,当〃<-左一8时，M(b)=-b,

从而当a>0时，6=2-8时河(b)取最小值，M(b)旃=20+8>8,

当-4<a?0时:“(X)在［0,-9上单调递减，在［-］，4］上单调递减，

2

----\-b<w(x)W16+4〃+b,

2

所以当b=L-2a-8时，M(Z))min=--a+2a+8>8.

88

当-4时，〃(x)在［。，-今上单调递减，在4］上单调递减，

2

-^-+b<u(x)<b,

2

所以当b=J/时，M(b)min=^a>2.

OO

当a<-8时，"(x)单调递减，16+4a+〃4“(x)M人，

当bM-2a-8时，M(b)=-16-4a-b,当b>-功一8时，M(b)=b,

从而当aV-8时，6=0-8时M(b)取最小值，M(b)„,„=-2a-8>8.

综合得MS)1nm=2.所以Y2.

故答案为：742

三、分段函数

X之0

；，若VxNl,f(x+2/n)+mf(x)>0,则

一尸，工<0

实数机的取值范围是()

B.\；,+8

A.(—1,+00)

C.(0,+oo)D.I--,1

【答案】B

,/(x+2m)4-A?/(X)=(X4-2m)~4-mx2>0,符合题意；

m<0时，/(x+2，〃)+时(x)>0,即/(x+2«i)>-时(x)=f

显然f(x)在R上递增，贝iJx+2w>Qx对VxNl恒成立

[\-4-m^x+2m>0对VxN1恒成立

1-yj-m>01

则：,—=>--<m<0;

1-\l-m+2/n>04

综上，“e(一5,+s),

故选:B.

[1—x,0<x<1

2.(2022・河南•二模(理))已知函数/(x)=,,,若/(a)=/S),且标b,

[Inx,x>1

则"(a)+4S)的最大值为()

A.0B.(3-ln2)ln2C.1D.e

【答案】D

作出函数/(x)的图像如下图：

因为〃a)=fS),且为b,结合图像，不妨设04a<1力>1,设为a)=F@)=f,则0</41,

且/(。)=1一“=/,即。=17,

f(。)=\nb=t,即b=e'，所以bf(o)+uf(b)=te'+(1—f)f=fe'—产+f,设

h(t)=te(-t2,则//(f)=fe'+e'-2f+l,

因为0<,所以。>lje'>0,0v2/42,所以。+1-2/>0,所以。⑴=/e'+e'-2f+l>0,

所以〃⑺在(0』单调递增，/7(r)</z(l)=e,

即〃⑴的最大值为e,所以"(〃)+^S)的最大值为©.

故选：D.

4X-2X+2+m,x<0

3.(2022•宁夏•银川一中三模(文))己知〃x)=1,的最小值为2,则加的

x+—,%>0

、x

取值范围为()

A.(-=o,3]B.(-<»,5]C.[3,+oo)D.[5,+oo)

【答案】D

当x>0时，f(x)=x+->2.x--=2,

x\x

4'-2x+2+m,x<0

又因为f(x)={1的最小值为2,

x+—，x>0

X

,所以需要当X40时，/(x)22恒成立，

所以4*-2*+2+相22在xw(9,01恒成立，

所以m2-4X+2X+2+2在xG(YO,0卜恒成立，

即w>-(2')'+4x2*+2在xe(-oo,01恒成立，

令2』,则0041,

原式转化为，让-『+4乂/+2在恒成立，

g(t)=T2+4xf+2是二次函数，开口向下，对称轴为直线7=2,

所以在上g(f)最大值为g⑴=5,

所以"725,

故选：D.

4.(2022・北京丰台,一模)已知函数/("=[/："<：，无最小值，则。的取值范围是()

\X—JX,X之Cl

A.(~00,—1]B.1)C.D.(1,+°0)

【答案】D

对于函数y=d-3x,

可得y=3x2-3=3(x+l)(x-l),

由y'>0,得xv-i或x>l,由y'<0,得

二函数y=x'-3x在(TO,-1)上单调递增，在(7,1)上单调递减，在(1,田)上单调递增,

■1.函数y=x'-3x在x=-1时有极大值2,在x=l时有极小值-2,

作出函数y=丁-3%与直线y=-2x的图象，

y=-2x

由图可知，当时，函数/(x)有最小值/(1)=-2,当。>1时，函数“X)没有最小值.

故选：D.

5.(2022•四川攀枝花•二模(文))已知函数〃x)=「’-(ae/?),若关于x的

e-ax,x>\

不等式/(x)20恒成立，则实数“的取值范围为()

A.[0,1]B.[0,2]

C.[l,e]D.[0,e]

【答案】D

当X41时，由』-2奴+2420恒成立，二次函数的对称轴为*=〃，

(1)当时，在(YOJ上单调递减,则f-⑴=1>0恒成立,

(2)当。<1时，/(x)mjll=f(a)=a(2-a)>0,所以OVa<l

综上可知，当“20时，x?-2ox+2a20在(~°°，1]上恒成立；

当x>l时，e'-orNO恒成立，即a4史在Q,”)上恒成立，

X

令g(x)=­.则/(X)=ea,T),

xx~

当x>l时,g'(x)>0,函数单增,又g(D=e,所以aVe；

综上可知，。的取值范围是[0,e],

故选：D

X

—,x<a,,,、

6.(2022•浙江•高三专题练习)已知函数f(x)=X2+1则当。=5时，函数/(x)

-x