14不等式的证明课件

第1章不等关系与基本不等式北师大版选修4－5不等式选讲§1.4不等式的证明一、教学目标：1.通过不等式的性质及常用的证明方法比较法使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．2.通过揭示问题本质特征，使得难解性问题转化为可解性问题，从而培养学生的分问题、解决问题的能力并提高逻辑推理能力．二、教学重点：重点是较灵活运用常规方法证明不等式教学难点：选择适当的证明方法三、教学方法：启发式四、教学过程4、不等式的证明（1）

___比较法

根据前面学过的知识，我们知道可以用比较法来比较两个实数与的大小。1、ab>0a>b，

ab<0a<b，

ab=0a=b.

理论根据：2、若a、b>0,则：（比商法）（比差法）

比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差—变形—判断符号—下结论。作商—变形—与1比较大小---下结论。要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。尝试2尝试3例2.已知都是正数，并且求证证明：∵都是正数，

并且

即：

1.本题变形的方法—通分法2.本题的结论反映了分式的一个性质：若都是正数，当时，当时，(2)作商比较法不等式的证明（2)—分析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为判定这些条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定所求证的不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。

用分析法论证“若A则B”这个命题的格式是：欲证命题B为真，只需证命题B1为真，只需证命题B2为真，

……

只需证命题Bn为真，只需证命题A为真，令已知命题A为真，故命题B为真。用简要的形式写为：B

B1B2……BnA

结论（寻求不等式成立的充分条件）条件

分析法的思路是：“执果索因”，未知已知

即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式为止。例2.求证：.所以为了证明只需证明展开得不等式的证明（3)—综合法

有时我们也可以利用已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质等推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法.

综合法是证明不等式的基本方法，用综合法证明不等式的逻辑关系是：（A为证明过的不等式、公式等，B为要证的结论）由因导果由例1可得一个重要的不等式：由因导果反证法先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。例题例1、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，

abc>0，求证：a,b,c>0

证：设a<0,∵abc>0,∴bc<0

又由a+b+c>0,则b+c>a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0

与题设矛盾若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可证：b>0,c>0

在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大)要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)

这种证明方法,我们称之为放缩法。放缩法的依据就是传递性。放缩法

1、当

n>2时，求证：

证：∵n>2∴

∴n>2时,考点五不等式的证明——放缩法【证明】∵,∴<2().令k=1,2,3,…,n，则有

<2(-0),<2(-1),<2(-),…,<2(-).以上各式相加得1+++…+<2.证明：不等式1+++…+<2(n∈N*).【分析】此种类型的题宜用放缩法.不等式证明方法(6)几何法

通过构造几何图形，利用几何图形的性质、特点来证明不等式的方法称为几何法。

例1、已知：

求证：证明：在如右图的正方形ABCD中有两个边长分别为a，b的矩形AHOF和矩形ECGO，DACFEGOBabbaH例2、已知，利用几何法证明不等式：证明：AC切⊙