2021年四川省中考数学考点解读：第14讲《二次函数的应用》课件

第14讲二次函数的应用命题点1二次函数的实际应用1．(2020·南充)某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．(1)如图，设第x(0＜x≤20)个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式(写出x的范围)．体验南充中考真题(2)设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x＋40(0＜x≤20)．在(1)的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？(利润＝收入－成本)解：(1)由图可知，当0<x≤12时，z＝16；当12<x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx＋b，(2)设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，①当0<x≤12时，w＝(16－10)(5x＋40)＝30x＋240，∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12＋240＝600；②当12<x≤20时，w＝(－1/4x＋19－10)(5x＋40)＝－5/4x2＋35x＋360＝－5/4(x－14)2＋605.∵－5/4<0，∴当x＝14时，w最大值＝605.综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大为605万元．2．(2019·南充)在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元？(2)经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售．笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？解：(1)设钢笔、笔记本的单价分别为x元、y元．根据题意，得答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元．(2)设钢笔单价为a元，购买数量为b支，支付钢笔和笔记本总金额为w元．①当30≤b≤50时，a＝10－0.1(b－30)＝－0.1b＋13，w＝b(－0.1b＋13)＋6(100－b)＝－0.1b2＋7b＋600＝－0.1(b－35)2＋722.5.∵当b＝30时，w＝720，当b＝50时，w＝700，∴当30≤b≤50时，700≤w≤722.5.②当50＜b≤60时，a＝8，w＝8b＋6(100－b)＝2b＋600.∵700<w≤720，∴当30≤b≤60时，w的最小值为700元，∴当一等奖学生为50人时花费最少，最少为700元．3．(2013·南充)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系：(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由所给函数图象，得∴函数关系式为y＝－x＋180.(2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)＝－x2＋280x－18000＝－(x－140)2＋1600，当x＝140时，W最大＝1600.∴售价定为140元/件时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．4．(2020·遂宁)新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．(1)求A、B两种花苗的单价分别是多少元？(2)经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元．请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？变式训练解：(1)设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元．根据题意，得答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元．(2)设购买B花苗x盆，则购买A花苗为(12－x)盆，设总费用为w元．根据题意，得w＝20(12－x)＋(30－x)x，即w＝－x2＋10x＋240(0≤x≤12)．∵－1＜0，∴w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265；当x＝12时，w的最小值为216.答：本次购买至少准备216元，最多准备265元．命题点2

二次函数的综合应用(必考)5．(2020·南充)已知二次函数图象过点A(－2，0)，B(4，0)，C(0，4)．(1)求二次函数的解析式；(2)如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．(3)点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ＝5/3，求点K的坐标．解：(1)∵二次函数图象过点B(4，0)，点A(－2，0)，∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)．∵二次函数图象过点C(0，4)，∴4＝a(0＋2)(0－4)，∴a＝－1/2，∴二次函数的解析式为y＝－1/2(x＋2)(x－4)，即y＝－1/2x2＋x＋4.

6．(2019·南充)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，点B(－3，0)，且OB＝OC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，且∠POB＝∠ACB，求点P的坐标；(3)抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m＋4.点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.①求DE的最大值；②点D关于点E的对称点为F.当m为何值时，四边形MDNF为矩形？解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(－1，0)，点B(－3，0)，∴设交点式y＝a(x＋1)(x＋3)，∵OC＝OB＝3，点C在y轴负半轴，∴C(0，－3)．把点C代入抛物线解析式，得3a＝－3，∴a＝－1.∴抛物线解析式为y＝－(x＋1)(x＋3)，即y＝－x2－4x－3.(2)如图1，过点A作AG⊥BC于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，

∴∠AGB＝∠AGC＝∠PHO＝90°.∵∠ACB＝∠POB，∴△ACG∽△POH.

①当p＜－3或－1＜p＜0时，点P在点B左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数，∴OH＝－p，PH＝－(－p2－4p－3)＝p2＋4p＋3，∴－p＝2(p2＋4p＋3)，②当－3＜p＜－1或p＞0时，点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号，∴p＝2(p2＋4p＋3)，解得p1＝－2，p2＝－3/2，∴P(－2，1)或(－3/2，3/4)．综上所述，点P的坐标为(－2，1)或(－3/2，3/4)或(3)①如图2，∵x＝m＋4时，y＝－(m＋4)2－4(m＋4)－3＝－m2－12m－35，∴M(m，－m2－4m－3)，N(m＋4，－m2－12m－35)．设直线MN解析式为y＝kx＋n，∴直线MN：y＝(－2m－8)x＋m2＋4m－3.设D(t，－t2－4t－3)(m＜t＜m＋4)，∵DE∥y轴，∴xE＝xD＝t，E[t，(－2m－8)t＋m2＋4m－3]，∴DE＝－t2－4t－3－[(－2m－8)t＋m2＋4m－3]＝－t2＋(2m＋4)t－m2－4m＝－[t－(m＋2)]2＋4，∴当t＝m＋2时，DE最大，最大值为4.②如图3，∵D、F关于点E对称，∴DE＝EF.∵四边形MDNF是矩形，∴MN＝DF，且MN与DF互相平分，∴DE＝1/2MN，E为MN中点，

7．(2018·南充)如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B.

(1)求抛物线的解析式；(2)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标；(3)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E.是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．解：(1)设y＝a(x－1)2＋4(a≠0)，把C(0，3)代入抛物线解析式，得a＋4＝3，即a＝－1，则抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.(2)由B(3，0)，C(0，3)，得到直线BC解析式为y＝－x＋3.∵S△OBC＝S△QBC，∴PQ∥BC，①过P作PQ1∥BC，交抛物线于点Q1，如图1所示．∵P(1，4)，∴直线PQ1解析式为y＝－x＋5.即Q1(2，3)．②设对称轴交BC于G，则G的坐标为(1，2)，∴PG＝GH＝2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y＝－x＋1.(3)存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示．过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN解析式为y＝－x＋b，消去y，得x2－3x＋b－3＝0，∴NF2＝|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝21－4b.∵△MNF为等腰直角三角形，∴MN2＝2NF2＝42－8b.∵NH2＝(b－3)2，∴NE2＝1/2(b－3)2.∵△MNF为等腰直角三角形，∴MN2＝2NF2＝42－8b.

8．(2020·内江)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(4，0)、C(0，2)三点，点D(x，y)为抛物线上第一象限内的一个动点．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；(3)过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．延伸训练解：(1)将A(－1，0)、B(4，0)、C(0，2)代入y＝ax2＋bx＋c，得(2)方法一：如图1，过D作DM∥BC交y轴于M，设点M的坐标为(0，m)．∵△BCD的面积为3，∴△BCM的面积为3，∴3×2÷4＝1.5，则m＝2＋1.5＝7/2，M(0，7/2)．∵点B(4，0)，C(0，2)，∴直线BC的解析式为y＝－1/2x＋2，∴直线DM的解析式为y＝－1/2x＋7/2，联立直线DM及抛物线解析式成方程组，得∴点D的坐标为(3，2)或(1，3)．方法二：如图2，过D作DG⊥x轴，垂足为G点，与BC交于K点，设D(a，b)(其中a＞0，b＞0)，∴K(a，2－a/2)，∴DK＝b－2＋a/2，∴S△BCD＝S△CDK＋S△BDK＝1/2×4×(b－2＋a/2)＝2b－4＋a＝3，∴2b＋a＝7.∵D在抛物线y＝－1/2x2＋3/2x＋2上，∴b＝－1/2a2＋3/2a＋2，∴a2－4a＋3＝0，∴(a－1)(a－3)＝0，∴a＝1或3.∵当a＝1时，b＝3，当a＝3时，b＝2，∴点D的坐标为(3，2)或(1，3)．(3)存在．分两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F(0，－2)，连接BF，如图3所示．∵OC＝OF，OB⊥CF，∴∠ABC＝∠ABF，∴∠CBF＝2∠ABC.∵∠DCB＝2∠ABC，∴∠DCB＝∠CBF，∴CD∥BF.∵点B(4，0)，F(0，－2)，∴直线BF的解析式为y＝1/2x－2，∴直线CD的解析式为y＝1/2x＋2.联立直线CD及抛物线的解析式成方程组，得∴点D的坐标为(2，3)．②当∠CDE＝2∠ABC，过点D作MD∥x轴交y轴于点N，交BC的延长线于点M，

解得n1＝0(舍去)，n2＝29/11.∴点D的横坐标为29/11.综上所述：存在点D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或29/11.焦点1二次函数的实际应用样题1

某商店购进一批成本为每件30元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售．经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．重点难点素养拓展(1)求该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元，请直接写出每天的销售量y(件)的取值范围．[分析]

(1)将点(30，100)、(45，70)代入一次函数表达式y＝kx＋b，即可求解；(2)由题意，得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－55)2＋1250，即可求解；(3)由题意，令(x－30)(－2x＋160)＝800，结合二次函数的图象和性质及x的取值范围，求出方程的解，即可得到结论．[解答]解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将点(30，100)、(45，70)代入一次函数表达式，得∴该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝－2x＋160(30≤x≤50)．(2)由题意，得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－55)2＋1250.∵－2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时w＝1200.答：销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润是1200元．(3)由题意，令(x－30)(－2x＋160)＝800，解得x1＝40，x2＝70.又30≤x≤50，∴根据二次函数的图象和性质，可得销售单价x的取值范围为40<x≤50，当x＝40时，y＝－2×40＋160＝80，当x＝50时，y＝－2×50＋160＝60，∴60≤y＜80，∴每天的销售量应为不少于60件而少于80件．1．(2020·成都)在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，12≤x<24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：变式训练x(元/件)1213141516y(件)120011001000900800(1)求y与x的函数关系式；(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．x(元/件)1213141516y(件)1200110