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文档简介

电路分析基础难点一阶动态电路分析第一页,共六十一页,编辑于2023年,星期一学习目标

理解动态元件L、C的特性,并能熟练应用于电路分析。深刻理解零输入响应、零状态响应、暂态响应、稳态响应的含义,并掌握它们的分析计算方法。弄懂动态电路方程的建立及解法。熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素分析法。第二页,共六十一页,编辑于2023年,星期一

3.1电容元件和电感元件3.1.1电容元件

电容器是一种能储存电荷的器件,电容元件是电容器的理想化模型。斜率为R0qu图3-1电容的符号、线性非时变电容的特性曲线当电容上电压与电荷为关联参考方向时,电荷q与u关系为:q(t)=Cu(t)C是电容的电容量,亦即特性曲线的斜率。当u、i为关联方向时,据电流强度定义有:

i=Cdq/dt非关联时:

i=-Cdq/dt

+-uCi+q-q第三页,共六十一页,编辑于2023年,星期一电容的伏安还可写成:式中,u(0)是在t=0时刻电容已积累的电压,称为初始电压;而后一项是在t=0以后电容上形成的电压,它体现了在0~t的时间内电流对电压的贡献。由此可知:在某一时刻t,电容电压u不仅与该时刻的电流i有关,而且与t以前电流的全部历史状况有关。因此,我们说电容是一种记忆元件,,有“记忆”电流的作用。第四页,共六十一页,编辑于2023年,星期一

当电容电压和电流为关联方向时,电容吸收的瞬时功率为:瞬时功率可正可负,当p(t)>0时,说明电容是在吸收能量,处于充电状态;当p(t)<0时,说明电容是在供出能量,处于放电状态。对上式从∞到

t进行积分,即得t时刻电容上的储能为:第五页,共六十一页,编辑于2023年,星期一式中u(-∞)表示电容未充电时刻的电压值,应有u(-∞)=0。于是,电容在时刻t

的储能可简化为:

由上式可知:电容在某一时刻t

的储能仅取决于此时刻的电压,而与电流无关,且储能≥0。电容在充电时吸收的能量全部转换为电场能量,放电时又将储存的电场能量释放回电路,它本身不消耗能量,也不会释放出多于它吸收的能量,所以称电容为储能元件。第六页,共六十一页,编辑于2023年,星期一

3.1.2电感元件电感器(线圈)是存储磁能的器件,而电感元件是它的理想化模型。当电流通过感器时,就有磁链与线圈交链,当磁通与电流i参考方向之间符合右手螺旋关系时,磁力链与电流的关系为:0i斜率为R+-uLi图3-2电感元件模型符号及特性曲线当u、i为关联方向时,有:

这是电感伏安关系的微分形式。Ψ(t)=Li(t)Ψ第七页,共六十一页,编辑于2023年,星期一电感的伏安还可写成:式中,i(0)是在t=0时刻电感已积累的电流,称为初始电流;而后一项是在t=0以后电感上形成的电流,它体现了在0-t的时间内电压对电流的贡献。上式说明:任一时刻的电感电流,不仅取决于该时刻的电压值,还取决于-∞~t所有时间的电压值,即与电压过去的全部历史有关。可见电感有“记忆”电压的作用,它也是一种记忆元件。第八页,共六十一页,编辑于2023年,星期一当电感电压和电流为关联方向时,电感吸收的瞬时功率为:与电容一样,电感的瞬时功率也可正可负,当p(t)>0时,表示电感从电路吸收功率,储存磁场能量;当p(t)<0时,表示供出能量,释放磁场能量。对上式从∞到

t进行积分,即得t时刻电感上的储能为:第九页,共六十一页,编辑于2023年,星期一因为所以

由上式可知:电感在某一时刻t

的储能仅取决于此时刻的电流值,而与电压无关,只要有电流存在,就有储能,且储能≥0。第十页,共六十一页,编辑于2023年,星期一3.2换路定律及初始值的确定

3.2.1换路定律

通常,我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的突然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规律,知道了电压、电流的初始值,就能掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。

该定律是指若电容电压、电感电流为有限值,则uC、iL不能跃变,即换路前后一瞬间的uC、iL是相等的,可表达为:

uC(0+)=uC(0-)

iL(0+)=iL(0-)必须注意:只有uC、

iL受换路定律的约束而保持不变,电路中其他电压、电流都可能发生跃变。第十一页,共六十一页,编辑于2023年,星期一3.2.2初始值的确定

换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值,用uC(0+)和iL(0+)来表示,它是利用换路前瞬间

t=0-电路确定uC(0-)和iL(0-),再由换路定律得到uC(0+)和iL(0+)的值。电路中其他变量如iR、uR、uL、iC的初始值不遵循换路定律的规律,它们的初始值需由t=0+电路来求得。具体求法是:画出t=0+电路,在该电路中若uC(0+)=uC(0-)=US,电容用一个电压源US代替,若uC(0+)=0则电容用短路线代替。若iL(0+)=iL(0-)=IS,电感一个电流源IS代替,若iL(0+)=0则电感作开路处理。下面举例说明初始值的求法。第十二页,共六十一页,编辑于2023年,星期一例1:在图3-3(a)电路中,开关S在t=0时闭合,开关闭合前电路已处于稳定状态。试求初始值uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+)和uL(0+)。图3-3例1图第十三页,共六十一页,编辑于2023年,星期一解(1)电路在t=0时发生换路,欲求各电压、电流的初始值,应先求uC(0+)和iL(0+)。通过换路前稳定状态下t=0-电路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流稳态电路中,uC不再变化,duC/dt=0,故iC=0,即电容C相当于开路。同理iL也不再变化,diL/dt=0,故uL=0,即电感L相当于短路。所以t=0-时刻的等效电路如图3-3(b))所示,由该图可知:(2)由换路定理得第十四页,共六十一页,编辑于2023年,星期一因此,在t=0+瞬间,电容元件相当于一个4V的电压源,电感元件相当于一个2A的电流源。据此画出t=0+时刻的等效电路,如图3-3(C)所示。(3)在t=0+电路中,应用直流电阻电路的分析方法,可求出电路中其他电流、电压的初始值,即

iC(0+)=2-2-1=-1AuL(0+)=10-3×2-4=0第十五页,共六十一页,编辑于2023年,星期一例2:电路如图3-4(a)所示,开关S闭合前电路无储能,开关S在t=0时闭合,试求

i1

、i2

、i3、

uc、uL的初始值。

图3-4例2图解(1)由题意知:

(2)由换路定理得

第十六页,共六十一页,编辑于2023年,星期一因此,在t=0+电路中,电容应该用短路线代替,电感以开路代之。得到t=0+电路,如图3-4(b)所示。(3)在t=0+电路中,应用直流电阻电路的分析方法求得通过以上例题,可以归纳出求初始值的一般步骤如下:(1)根据t=0-时的等效电路,求出uC(0-)

及iL(0-)。(2)作出t=0+时的等效电路,并在图上标出各待求量。(3)由t=0+等效电路,求出各待求量的初始值。

i3(0+)=0uL(0+)=20×i2(0+)=20×0.3=6V第十七页,共六十一页,编辑于2023年,星期一当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应.图3-5RC电路的零输入1i+-UCISR0R2C(a)uR+-+-uCCi(b)3.3零输入响应图3-5(a)所示的电路中,在t<0时开关在位置1,电容被电流源充电,电路已处于稳态,电容电压uC(0-)=R0IS,t=0时,开关扳向位置2,这样在t≥0时,电容将对R放电,电路如图3-5(b)所示,电路中形成电流i。故t>0后,电路中无电源作用,电路的响应均是由电容的初始储能而产生,故属于零输入响应。3.3.1

RC电路的零输入响应第十八页,共六十一页,编辑于2023年,星期一-uR+uc=0而uR=i

R,

,代入上式可得上式是一阶常系数齐次微分方程,其通解形式为

uc=Aept

t≥02式式中A为待定的积分常数,可由初始条件确定。p为1式对应的特征方程的根。将2式代入1式可得特征方程为

RCP+1=01式换路后由图(b)可知,根据KVL有第十九页,共六十一页,编辑于2023年,星期一从而解出特征根为

则通解3式将初始条件uc(0+)=R0IS代入3式,求出积分常数A为将代入3式,得到满足初始值的微分方程的通解为4式放电电流为

t≥0

t≥0

5式第二十页,共六十一页,编辑于2023年,星期一令τ=RC,它具有时间的量纲,即故称τ为时间常数,这样4、5两式可分别写为

t≥0

t≥0由于为负,故uc和i

均按指数规律衰减,它们的最大值分别为初始值uc(0+)=R0IS

当t→∞时,uc和i衰减到零。第二十一页,共六十一页,编辑于2023年,星期一图3-6RC电路零输入响应电压电流波形图画出uc及i的波形如图3-6所示。

第二十二页,共六十一页,编辑于2023年,星期一3.3.2RL电路的零输入响应一阶RL电路如图3-7(a)所示,t=0-时开关S闭合,电路已达稳态,电感L相当于短路,流过L的电流为I0。即iL(0-)=I0,故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开,所以在t≥0时,电感L储存的磁能将通过电阻R放电,在电路中产生电流和电压,如图3-7(b)所示。由于t>0后,放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的,所以为零输入响应。图3-7

RL电路的零输入响应第二十三页,共六十一页,编辑于2023年,星期一由图(b),根据KVL有

uL+uR=0

将代入上式得1式iL=Aeptt≥0上式为一阶常系数齐次微分方程,其通解形式为

2式将2式代入1式,得特征方程为

LP+R=0

故特征根为第二十四页,共六十一页,编辑于2023年,星期一则通解为

若令,τ是RL电路的时间常数,仍具有时间量纲,上式可写为

t≥0t≥03式将初始条件i

L(0+)=

iL

(0-)=I0代入3式,求出积分常数A为

iL

(0+)=A=I0这样得到满足初始条件的微分方程的通解为

t≥04式第二十五页,共六十一页,编辑于2023年,星期一

电阻及电感的电压分别是t≥0t≥0分别作出iL

、uR和、uL的波形如图3-8(a)、(b)所示。由图3-8可知,iL、uR及uL的初始值(亦是最大值)分别为iL(0+)=I0、

uR(0+)=RI0、uL(0+)=-RI0,它们都是从各自的初始值开始,然后按同一指数规律逐渐衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数τ,这与一阶RC零输入电路情况相同。

第二十六页,共六十一页,编辑于2023年,星期一图3-8RL电路零输入响应iL、uR和uL的波形第二十七页,共六十一页,编辑于2023年,星期一从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步分析可知,对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路,不仅电容电压、电感电流,而且所有电压、电流的零输入响应,都是从它的初始值按指数规律衰减到零的。且同一电路中,所有的电压、电流的时间常数相同。若用f

(t)表示零输入响应,用f(0+)表示其初始值,则零输入响应可用以下通式表示为t≥0

应该注意的是:RC电路与RL电路的时间常数是不同的,前者τ=RC,后者τ=L/R。第二十八页,共六十一页,编辑于2023年,星期一例3:如图3-9(a)所示电路,t=0-时电路已处于稳态,t=0时开关S打开。求t≥0时的电压uc、uR和电流ic。解由于在t=0-时电路已处于稳态,在直流电源作用下,电容相当于开路。图3-9例3图所以由换路定律,得作出t=0+等效电路如图(b)所示,第二十九页,共六十一页,编辑于2023年,星期一电容用4V电压源代替,由图(b)可知

换路后从电容两端看进去的等效电阻如图(C)所示,为:

时间常数为第三十页,共六十一页,编辑于2023年,星期一AVt≥0t≥0也可以由

求出i

C

=-0.8e-tAt≥0

Vt≥0计算零输入响应,得第三十一页,共六十一页,编辑于2023年,星期一

3.4零状态响应

在激励作用之前,电路的初始储能为零仅由激励引起的响应叫零状态响应。3.4.1RC电路的零状态响应

图3-10所示一阶RC电路,电容先未充电,t=0时开关闭合,电路与激励US接通,试确定k闭合后电路中的响应。

图3-10(a)RC电路的零状态响应在k闭合瞬间,电容电压不会跃变,由换路定律uc(0+)=uc(0-)=0,t=0+时电容相当于短路,uR(0+)=US,故电容开始充电。随着时间的推移,uC将逐渐升高,第三十二页,共六十一页,编辑于2023年,星期一uR则逐渐降低,iR(等于ic)逐渐减小。当t→∞时,电路达到稳态,这时电容相当于开路,充电电流ic(∞)=0,uR(∞)=0,uc=(∞)=Us。由kVLuR+uc=US而uR=RiR=RiC=

,代入上式可得到以uc为变量的微分方程

t≥0

初始条件为uC(0+)=01式1式为一阶常系数非齐次微分方程,其解由两部分组成:一部分是它相应的齐次微分方程的通解uCh,也称为齐次解;另一部分是该非齐次微分方程的特解uCP,即

uc=uch+ucp第三十三页,共六十一页,编辑于2023年,星期一将初始条件uc(0+)=0代入上式,得出积分常数A=-US,故由于1式相应的齐次微分方程与RC零输入响应式完全相同,因此其通解应为式中A为积分常数。特解ucp取决于激励函数,当激励为常量时特解也为一常量,可设ucp=k,代入1式得1式的解(完全解)为ucp=k=US第三十四页,共六十一页,编辑于2023年,星期一由于稳态值uc(∞)=US,故上式可写成

t≥02式由2式可知,当t=0时,uc(0)=0,当t=τ时,uc(τ)=US(1-e–1)=63.2%US,即在零状态响应中,电容电压上升到稳态值uc=(∞)=US的63.2%所需的时间是τ。而当t=4~5τ时,uc上升到其稳态值US的98.17%~99.3%,一般认为充电过程即告结束。电路中其他响应分别为t≥0

t≥0t≥0第三十五页,共六十一页,编辑于2023年,星期一根据uc、ic、iR及uR的表达式,画出它们的波形如3-10(b)、(c)所示,其变化规律与前面叙述的物理过程一致。图3-10(b)、(C)RC电路零状态响应uc、ic、iR及uR波形图第三十六页,共六十一页,编辑于2023年,星期一3.4.2RL电路的零状态响应图3-11(a)一阶RL电路的零状态响应

对于图3-11(a)所示的一阶RL电路,US为直流电压源,t<0时,电感L中的电流为零。t=0时开关s闭合,电路与激励US接通,在s闭合瞬间,电感电流不会跃变,即有iL(0+)=

iL(0-)=0,

选择iL为首先求解的变量,由KVL有:uL+uR=US

将,uR=RiL,代入上式,可得初始条件为

iL(0+)=01式第三十七页,共六十一页,编辑于2023年,星期一

1式也是一阶常系数非齐次微分方程,其解同样由齐次方程的通解iLh和非齐次方程的特解iLP两部分组成,即

iL=iLh+iLp其齐次方程的通解也应为式中时间常数τ=L/R,与电路激励无关。非齐次方程的特解与激励的形式有关,由于激励为直流电压源,故特解

iLP为常量,令iLP=K,代入1式得因此完全解为第三十八页,共六十一页,编辑于2023年,星期一代入t=0时的初始条件iL(0+)=0得于是

由于iL的稳态值,故上式可写成:

t≥0

电路中的其他响应分别为

t≥0

第三十九页,共六十一页,编辑于2023年,星期一它们的波形如图3-11(b)、(c)所示。t≥0t≥0图3-11(b)(C)一阶RL电路的零状态响应波形图

第四十页,共六十一页,编辑于2023年,星期一其物理过程是,S闭合后,iL(即iR)从初始值零逐渐上升,uL从初始值uL(0+)=US逐渐下降,而uR从uR(0+)=0逐渐上升,当t=∞,电路达到稳态,这时L相当于短路,iL(∞)=US/R,uL(∞)=0,uR(∞)=US。从波形图上可以直观地看出各响应的变化规律。第四十一页,共六十一页,编辑于2023年,星期一3.4.3单位阶跃响应单位阶跃函数用ε(t)表示,其定义如下:ε(t)=0t≤0-1t≥0+ε(t)的波形如图3-12(a)所示,它在(0-,0+)时域内发生了单位阶跃。图3-12单位阶跃函数第四十二页,共六十一页,编辑于2023年,星期一单位阶跃函数可以用来描述图3-12(b)所示的开关动作,它表示在t=0时把电路接入1V直流源时

u(t)的值,即:

u(t)=ε(t)V如果在t=t0时发生跳变,这相当于单位直流源接入电路的时间推迟到t=t0,其波形如图3-13所示,它是延迟的单位阶跃函数,可表示为ε(t-t0)=0t≤t0-

1t≥t0+图3-13延迟的单位阶跃函数第四十三页,共六十一页,编辑于2023年,星期一

当激励为单位阶跃函数ε(t)时,电路的零状态响应称为单位阶跃响应,简称阶跃响应。对于图3-10所示电路的单位阶跃响应,只要令US=ε(t)就能得到,例如电容电压为

若图3-10的激励uS=Kε(t)(K为任意常数),则根据线性电路的性质,电路中的零状态响应均应

如单位阶跃不是在t=0而是在某一时刻t0时加上的,则只要把上述表达式中的t改为t-t0,即延迟时间t0就行了。例如这种情况下的uC为第四十四页,共六十一页,编辑于2023年,星期一扩大K倍,对于电容有例4:求图3-14(a)电路的阶跃响应uC。

解先将电路ab左端的部分用戴维南定理化简,得图3-14(b)所示电路。由图(a)可得图3-14例4图第四十五页,共六十一页,编辑于2023年,星期一∵3u1+u1=0∴u1=0则

于是式中

τ=R0C=2×10-6S将ab端短路,设短路电流为ISC(从a流向b)第四十六页,共六十一页,编辑于2023年,星期一

3.5全响应

由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应,叫全响应。如图3-15所示,设

uC=uC(0-)=U0,S在t=0时闭合,显然电路中的响应属于全响应。图3-15RC电路的全响应第四十七页,共六十一页,编辑于2023年,星期一对t≥0的电路,以uC为求解变量可列出描述电路的微分方程为

1式与描述零状态电路的微分方程式比较,仅只有初始条件不同,因此,其解答必具有类似的形式,即代入初始条件uC(0+)=U0得

K=U0-US1式第四十八页,共六十一页,编辑于2023年,星期一从而得到通过对1式分析可知,当US=0时,即为RC零输入电路的微分方程。而当U0=0时,即为RC零状态电路的微分方程。这一结果表明,零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。上式的全响应公式可以有以下两种分解方式。1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如2式中第一项为齐次微分方程的通解,是按指数规律衰减的,称暂态响应或称自由分量(固有分量)。2式中第二项US=uC(∞)受输入的制约,它是非齐次方程的特解,其解的形式一般与输入信号形式相同,称稳态响应或强制分量。这样有

全响应=暂态响应+稳态响应

2式第四十九页,共六十一页,编辑于2023年,星期一2、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。将2式改写后可得:3式等号右边第一项为零输入响应,第二项为零状态响应。因为电路的激励有两种,一是外加的输入信号,一是储能元件的初始储能,根据线性电路的叠加性,电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加,即

全响应=零输入响应+零状态响应

3式第五十页,共六十一页,编辑于2023年,星期一3.6求解一阶电路三要素法

如用f(t)表示电路的响应,f(0+)表示该电压或电流的初始值,f(∞)表示响应的稳定值,表示电路的时间常数,则电路的响应可表示为:

上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。式中f(0+)、f(∞)和称为三要素,把按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况,因此,三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应,具有普遍适用性。第五十一页,共六十一页,编辑于2023年,星期一

用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应,其求解步骤如下:

一、确定初始值f(0+)

初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+时的数值,与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。先作t=0-电路。确定换路前电路的状态uC(0-)或iL(0-),这个状态即为t<0阶段的稳定状态,因此,此时电路中电容C视为开路,电感L用短路线代替。作t=0+电路。这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0,iL(0+)=iL(0-)=I0,在此电路中C用电压源U0代替,第五十二页,共六十一页,编辑于2023年,星期一图3-16电容、电感元件在t=0时的电路模型L用电流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0或iL(0+)=iL(0-)=0,则C用短路线代替,L视为开路。可用图3-16说明。作t=0+电路后,即可按一般电阻性电路来求解各变量的u(0+)、i(0+)。第五十三页,共六十一页,编辑于2023年,星期一二、确定

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