控制工程基础第六章

2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系16.1频率特性的概念

6.2典型环节Bode图的绘制

6.3最小相位系统的Bode图绘制

6.4最小相位系统的Bode图的应用

6.5本章小结第六章线性系统的频域分析2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系2本章重点频率特性基本概念典型环节的对数频率特性系统频率特性的Bode图形表示方法最小相位系统由系统的开环频率特性分析系统的稳定性系统的稳定裕量2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系3

频率特性法是经典控制理论中对系统进行分析与综合的又一重要方法。与时域分析法和根轨迹法不同，频率特性法是根据系统对正弦信号的稳态响应，即系统的频率特性来分析系统的频域性能指标。

频域性能指标与时域性能指标之间有着内在的联系。应用时域分析法和根轨迹法分析系统时，应先通过某种方法获得系统的开环传递函数。频率特性法可以根据系统的开环传递函数采用解析的方法得到系统的频率特性，也可以用实验的的方法测出稳定系统或元件的频率特性。6.1频率特性的概念2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系4反映系统对正弦输入信号的稳态响应的性能。讨论线性定常系统（包括开环、闭环系统）在正弦输入信号作用下的稳态输出。系统或对象6.1频率特性的概念

为系统的幅频特性,它反映系统在不同频率正弦信号作用下,输出稳态幅值与输入稳态幅值的比值。称１．频率特性的定义

为系统的相频特性,它反映系统在不同频率正弦信号作用下，输出信号相对输入信号的相移。称2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系56.1频率特性的概念求如图RC电路的频率特性。例6－1RC电路的传递函数为：解设输入其拉氏变换为则输出的拉氏变换为:2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系6求拉氏反变换，得其中暂态分量稳态分量6.1频率特性的概念ＲＣ电路的稳态频率响应为：2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系7可见，ＲＣ电路的频率特性为:式中为幅频特性为相频特性6.1频率特性的概念ＲＣ电路的稳态频率响应为：2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系86.1频率特性的概念考虑系统的传递函数：如果令：可以证明：如果令：传递函数频率特性注意：为幅频特性为相频特性2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系9（１）幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳态衰减（或放大）特性。（２）相频特性表示系统在不同频率正弦信号下输出的相位移。（３）已知系统的传递函数，令，可得系统的频率特性。（４）频率特性包含了系统的全部动态结构参数，反映了系统的内在性质，因此也是一种数学模型描述。几点说明：6.1频率特性的概念2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系10频率特性的数学描述形式为：

是系统的幅频特性。其中：是系统的相频特性。6.1频率特性的概念频率特性是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化。2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系11在系统的输入端输入一正弦信号，测出不同频率时系统稳态输出的振幅uo和相移，便可得到它的幅频特性和相频特性。获取系统频率特性的途径:频率特性是特定情况下的传递函数。它和传递函数一样，反映了系统的内在联系。一、解析法二、实验法6.1频率特性的概念三、定义法对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系12频率特性的表示方法:（一）解析表示（二）图示（几何）表示1、极坐标图——Nyquist图（又叫幅相频率特性、或奈奎斯特图，简称奈氏图）2、对数坐标图——Bode图（伯德图）3、复合坐标图——Nichocls图（尼柯尔斯图，或尼氏图），一般用于闭环系统频率特性分析。6.1频率特性的概念2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系131.极坐标图—奈奎斯特图（Nyqusit）—幅相特性曲线系统频率特性为幅频-相频形式当在0～变化时,向量G(j)的幅值和相角随而变化,与此对应的向量G(j)的端点在复平面G(j)上的运动轨迹就称为幅相频率特性或Nyqusit曲线。画有Nyqusit曲线的坐标图称为极坐标图或Nyqusit图。惯性环节:G(s)=1/(Ts+1)的Nyqusit图6.1频率特性的概念2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系142.

对数坐标图——伯德图（Bode图）将系统频率特性G(j)的幅值和相角分别绘在半对数坐标图上，分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行线性分度20lg|G(j)|；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度:lgω）和相频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度lgω

），合称为伯德图(Bode图)。

对数相频特性记为单位为分贝（dB)对数幅频特性记为单位为度或弧度（rad)6.1频率特性的概念2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系153.复合坐标图——Nichocls图（将Bode图的两张图合二为一）将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平面上，以对数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以相位移作横坐标（单位为度）、以频率为参变量。这种图称为对数幅—相频率特性，也称为尼柯尔斯图，或尼氏图。

0o180o-180oω0-20dB20dB6.1频率特性的概念2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系16H.W.Bode（1905-1982）美国Bell实验室著名科学家，他的工作为数据传输、通信工程，火炮控制及经典控制中的反馈系统稳定性分析奠定了基础，他于1969获得IEEEMedalofHonor。6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系171.定义：伯德（Bode）图又叫对数频率特性曲线，它是将幅频特性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫对数幅频特性，后者叫对数相频特性，统称为对数频率特性。两个坐标平面横轴（ω轴）用对数分度。

一、(半)对数坐标图(Bode图)6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系18对数相频特性的纵轴是线性分度：对数幅频特性的纵轴按下式线性分度:半对数坐标系。6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系19用伯德图分析系统有如下优点：（1）将幅频特性和相频特性分别作图，使系统或环节的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；（2）幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相加运算，简化计算；（3）用渐近线表示幅频特性，使作图更为简单方便；（4）横轴（ω轴）用对数分度，扩展了低频段，同时也兼顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系20一、典型环节的Bode图绘制1.放大环节（比例环节）幅频特性是放大环节的频率特性为：对数幅频特性为放大环节的相频特性是K>1，20lgK>0,横轴上方；K=1，20lgK=0,与横轴重合;K<1，20lgK<0,横轴下方。6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系212.积分环节积分环节的频率特性是幅频特性为对数幅频特性是相频特性是6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系22当时,当时,当时,

积分环节的对数幅频特性是一条在ω=1（弧度/秒）处穿过零分贝线（ω轴），且以每增加十倍频降低20分贝的速度（-20dB/dec.）变化的直线。积分环节的相频特性是一条值为-90°且平行于ω轴的直线。6.2典型环节频率特性的绘制幅频特性穿越0分贝线（ω轴）时的频率，称为穿越频率或剪切频率(用表示)2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系233.微分环节微分环节的频率特性是幅频特性为对数幅频特性是相频特性是6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系24积分环节与微分环节的比较这些幅频特性曲线将通过点（）。类推相差一个符号6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系254.惯性环节惯性环节的频率特性是：对数幅频特性是：当时，当时，当时，6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系26惯性环节的相频特性为：当时，当时，当时，6.2典型环节频率特性的绘制在时近似幅频特性曲线的斜率发生了变化,两条近似直线交接于,

称为交接频率。2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系275.一阶微分环节一阶微分环节的频率特性是：对数幅频特性是：当时，当时，当时，6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系28一阶微分环节的相频特性为：当时，当时，当时，6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系29一阶因子在低频时，即低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线下两页的图中表示了一阶因子的精确对数幅频特性曲线及渐近线，以及精确(Exactcurve)的相角曲线。在高频时，即高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为20分贝/十倍频程的直线对数幅频特性相频特性一阶惯性环节与一阶微分环节的比较6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系30渐近线

渐近线

精确曲线

Asymptote

Exactcurve精确曲线

Exactcurve一阶惯性环节的对数频率特性渐近线精确曲线

2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系31一阶微分环节的对数频率特性曲线

2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系32二阶振荡环节的频率特性是对数幅频特性为当时，当时，6.二阶振荡环节当时，6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系33当时，当时，当时，对数相频特性为6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系34二阶微分环节的频率特性是对数幅频特性为当时，当时，7.二阶微分环节当时，6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系35对数相频特性为当时，思考题：1、二阶微分环节的Bode图是怎样的？

2、二阶振荡与微分环节的比较与前述相比怎样？

请同学们课下完成。6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系36令谐振频率谐振峰值

当时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振

谐振频率谐振峰值

6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系37幅频特性与

关系二阶因子的对数幅频特性曲线

2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系38幅频特性与

关系二阶因子的对数幅频特性曲线

2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系39幅频特性与

关系二阶因子的对数幅频特性曲线

2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系40幅频特性与

关系二阶因子的对数幅频特性曲线

2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系41幅频特性与

关系二阶因子的对数幅频特性曲线

2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系42二阶因子的对数幅频特性曲线

幅频特性与

关系2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系43相频特性与

关系二阶因子的对数相频特性曲线

2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系44相频特性与

关系二阶因子的对数相频特性曲线

2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系45相频特性与

关系二阶因子的对数相频特性曲线

2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系46相频特性与

关系二阶因子的对数相频特性曲线

2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系47相频特性与

关系二阶因子的对数相频特性曲线

2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系48二阶因子的对数相频特性曲线

相频特性与

关系2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系49当时，二阶振荡系统的准确的对数幅频特性：幅值误差与关系二阶振荡环节的频率特性是对数幅频特性为当时，二阶振荡系统的近似折线的对数幅频特性：由此得幅值误差与关系6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系50幅值误差与

关系二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系51幅值误差与

关系二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系52幅值误差与

关系二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系53幅值误差与

关系二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系54幅值误差与

关系二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系55二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差幅值误差与

关系2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系56纯滞后环节的传递函数为：对数幅频特性是：8.纯滞后环节纯滞后环节的频率特性是：对数相频特性为：6.2典型环节频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系57

本节将通过一些示例介绍系统的开环频率特性(Bode图)的绘制方法和步骤。将系统的开环传递函数分解成若干典型环节的串联形式是绘制系统开环频率特性的基本步骤。6.3系统开环频率特性的绘制一、绘制系统开环频率特性（伯德图）的步骤1、将开环传递函数写成典型环节乘积形式；2、如存在交接频率，在ω轴上标出交接频率的坐标位置；3、各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对数幅频特性的渐近线；4、修正误差，画出比较精确的对数幅频特性；5、画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特性。2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系58已知系统的开环传递函数为:1、由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的频率特性是幅频特性和相频特性分别为例6-26.3系统开环频率特性的绘制解2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系593、各环节的对数幅频特性叠加；4、修正误差；5、画出各串联环节相频特性，相加得到系统开环相频特性;2、存在交接频率，在ω轴上标出；dBφ(ω)

ω2040-45º-90º-180º-270º20lgK-40dB/dec-20dB/dec-60dB/dec幅频特性的绘制1、比例环节2、惯性环节3、振荡环节4、各环节叠加相频特性的绘制1、比例环节2、惯性环节3、振荡环节4、各环节叠加6.3系统开环频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系60某反馈控制系统的开环传递函数为试绘制开环系统的伯德图（幅频特性用分段直线表示）

开环频率特性为例6-36.3系统开环频率特性的绘制解2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系61-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec6.3系统开环频率特性的绘制2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系62二、由Bode图判断系统的稳定性三、稳态误差的分析——系统类型和系统的开环放大倍数四、由Bode图求GK(S)一、最小相位系统与非最小相位系统6.4最小相位系统的Bode图的应用

五、由Bode进行动态分析——瞬态计算2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系63一、最小相位系统与非最小相位系统6.4最小相位系统的Bode图的应用定义：在S右半平面上，若没有系统开环传递函数的极点和零点，则称此系统为最小相位系统。相反，若在S右半平面有开环传递函数的零极点，则称之为非最小相位系统。注：（1）在稳定系统中，若幅频特性相同，对于任意给定频率，最小相位系统的相位滞后最小；（2）延迟环节的系统也属于非最小相位系统；（3）最小相位系统的对数幅频特性与对数相频特性具有一一对应的关系，即对于给定的对数幅频特性只有唯一的对数相频特性与之对应。2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系64（4）判定最小相位系统的方法：a、对于最小相位系统，当ω→∞时，其相位为-(n-m)90°。（其中m，n分别为传递函数分子和分母多项式的最高阶次）b、对于非最小相位系统，当ω→∞时，其相位不等于-(n-m)90°。c、当ω→∞时，这两类系统的对数幅频特性曲线斜率都等于-20(n-m)dB/dec。6.4最小相位系统的Bode图的应用2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系65最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图例6-4系统的开环传递函数分别为：试分别绘制其零极点分布图和Bode图。解6.4最小相位系统的Bode图的应用2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系66非最小相位系统

最小相位系统

相同的幅值特性6.4最小相位系统的Bode图的应用2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系67(1)在具有相同幅频特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围。(2)最小相位系统，幅频特性和相频特性之间具有唯一的对应关系。即，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定。反之亦然。非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。因此对响应要求快的系统不宜采用非最小相位元件。以上结论对于非最小相位系统不成立。

关于最小相位系统的几个结论：6.4最小相位系统的Bode图的应用2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系68二、由Bode图判断系统的稳定性稳定裕量是表征系统稳定程度的量，是描述系统特性的重要的量，与系统的暂态响应指标有密切的关系。这里讨论由Bode图求系统稳定裕量，并判断稳定性的方法。系统的稳定裕量用相角裕量和增益裕度来表示．增益裕度

—在相角特性等于的频率处的一个数值，剪切频率

—对应于的频率，记为相角裕量

—在剪切频率处，使系统达到临界稳定状态所要附加的相角迟后量。为使系统稳定，相角裕量必须为正值．6.4最小相位系统的Bode图的应用2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系69如果，则系统稳定。6.4最小相位系统的Bode图的应用如果，则系统稳定。2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系70例6-5解已知某系统的开环传递函数为：(1)绘制折线Bode图；(2)求ωc、γ、GM、ωg；(3)判定稳定性。(1)绘制Bode图dBφ(ω)

ω2040-45º-90º20lg10-20dB/dec-60dB/dec6.4最小相位系统的Bode图的应用0.552023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系71(2)求ωc、γ、GM、ωg；(3)判定系统的稳定性因为系统是最小相位的，并且系统稳定2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系72三、稳态误差的分析——

系统类型和系统的开环放大倍数系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。

当趋近于零时，回路增益越高，静态误差值就越小。6.4最小相位系统的Bode图的应用2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系73静态位置误差常数的确定假设系统的开环传递函数为

当ν=0时，由于此时最低频段的幅频特性斜率为0，其与纵轴的交点是20lgK，可以利用此值确定K。dBφ(ω)

ω2040-45º-90º-20dB/dec-60dB/decω1ω220lgK6.4最小相位系统的Bode图的应用2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系74静态速度误差常数的确定1型系统中的起始线段/或其延长线与的直线的交点具有的幅值为定理1：斜率为证明ω＝1时的幅频特性为：起始线段/或其延长线过（)这一点。dBφ(ω)

ω2040-45º-90º-20dB/dec-60dB/dec(1,20lgk)ω=120lgkv6.4最小相位系统的Bode图的应用2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系751型系统中的起始线段/或其延长线与轴的交点为。定理2：斜率为证明故其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于在与Bode图的横轴交点处有：dBφ(ω)

ω2040-45º-90º-20dB/dec-60dB/dec(1,20lgk)ω=1kv6.4最小相位系统的Bode图的应用2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系76静态加速度误差常数的确定证明:的直线的交点具有的起始线段/或其延长线与定理3：斜率为的幅值为6.4最小相位系统的Bode图的应用2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系77II型系统中的起始线段/或其延长线与轴的交点为。定理4：斜率为证明故，其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于在与Bode图的横轴交点处有：6.4最小相位系统的Bode图的应用2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系78

四、由Bode图求GK(S)这里只要求对最小相位系统会从Bode图求得GK(S)。1、根据最低频段的斜率确定系统的类型ν。2、根据最低频段的参数求系统的开环放大系数K。Ⅰ型系统：最低频段的幅频特性过，最低频段的幅频特性在通过横轴。0型系统：最低频段的幅频特性与纵轴的交点是20lgK。Ⅱ型系统：最低频段的幅频特性过，最低频段的幅频特性在通过横轴。3、根据交接频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。6.4最小相位系统的Bode图的应用2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系794、根据二阶环节的修正情况确定ξ。例6-6dBφ(ω)

ω2040-45º-90º-180º-20dB/dec-60dB/dec0.5525下图是一最小相位系统的Bode图，试写出其传递函数。6.4最小相位系统的Bode图的应用2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系80dBφ(ω)

ω2040-45º-90º-180º-20dB/dec-60dB/dec0.5525解1、系统的类型ν=0。2、根据最低频段的参数求系统的开环放大系数K。因为20lgK=20，所以K=10。3、根据交接频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。4、确定ξ。6.4最小相位系统的Bode图的应用2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系81dBφ(ω)

ω2040-45º-90º-40dB/dec-60dB/dec(ω=1,30)ω=1例6-7下图是一最小相位系统的Bode图，试写出其传递函数。1、系统的类型ν=2。2、根据最低频段的参数求系统的开环放大系数K。3、根据交接频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。解6.4最小相位系统的Bode图的应用未修正2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系82dBφ(ω)

ω2040-45º-90º-40dB/dec-60dB/dec(ω=1,30)ω=13、根据转折频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系832023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系84最低频段的直线方程：过点(ω=1,30)，所以6.4最小相位系统的Bode图的应用2023/6/2北京科技大学自动化学院自动化系85

由于人们的直觉是建立在时间域中的，所以，工程上提出的指标往往都是时域指标。对于二阶系统来说，时域指标与频域指标之间有着严格的数学关系。对于高阶系统来说，这种关系比较复杂，工程上常常用近似公式来表达它们之间的关系。1、二阶系统性能指标、与开环频域指标、ωc的关系

五、由Bode