电磁场与电磁波第讲梯度散度散度定理

电磁场与电磁波第讲梯度散度散度定理第一页，共二十八页，编辑于2023年，星期日作业情况1班：人2班：人合计：人情况:2第二页，共二十八页，编辑于2023年，星期日Review位置矢量:任意矢量A:点积:叉积:微分长度:微分体积:微分面积:3第三页，共二十八页，编辑于2023年，星期日Maintopic梯度和散度1.

标量场的梯度2.

矢量场的散度3.

散度定理4第四页，共二十八页，编辑于2023年，星期日1.

标量场的梯度Wenowaddressthemethodfordescribingthespacerateofchangeofascalarfieldatagiventime.Astherateofchangemaybedifferentindifferentdirections,avectorisneededtodefinethespacerateofchangeofascalarfieldatagivenpointandatagiventime.5第五页，共二十八页，编辑于2023年，星期日1).

方向导数标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。6第六页，共二十八页，编辑于2023年，星期日2).

梯度标量f(x,y,z)等于常数的空间曲面称为标量场的等值面。函数值相等的点构成的曲面。电势V沿ln方向的方向导数最大7第七页，共二十八页，编辑于2023年，星期日①梯度的概念标量场在某点的梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向（与等值面垂直，且指向标量场增大的方向）。沿任意方向的方向导数（变化率）？标量函数在任意方向l上的变化率等于梯度在该方向的投影。8第八页，共二十八页，编辑于2023年，星期日某点的梯度的性质：（1）垂直于给定函数的等值面。（2）指向给定函数在某位置变化最快的方向。（3）它的大小等于给定函数每单位距离的最大变化率。（4）一个函数在某点任意方向的方向导数等于此函数的梯度与该方向单位矢量的点积（标积）。可以看出：掌握了某一点的梯度，可以知道标量场沿什么方向标量场变化最大，及其最大值（梯度的方向及大小）；而且可以求出任意方向的方向导数，这只要求出梯度与该方向单位矢量的标积就行了。总而言之，梯度场是源于标量场的一个矢量场，它全面地刻画了标量场的空间变化特征。9第九页，共二十八页，编辑于2023年，星期日②梯度的计算直角坐标系▽称为“del”算子球坐标系圆柱坐标系广义坐标系10第十页，共二十八页，编辑于2023年，星期日梯度运算符合以下规则：C为常数11第十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期日例1已知标量场求（2，1，3）处方向导数的最大值。那么在（2，1，3）处的梯度为其模为因此，在（2，1，3）处方向导数的最大值为（117）1/2解根据梯度的定义12第十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期日例

213第十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期日例

3设标量=xy2+yz3,矢量试求标量函数在点（2，-1，1）处沿矢量A的方向上的方向导数。解已知梯度那么，在点（2，-1，1）处的梯度为因此，标量函数在点（2，-1，1）处沿矢量A的方向上的方向导数为14第十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期日例场点P(x,y,z)y源点P’(x’,y’,z’)zxO计算解同理可得15第十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期日2.

矢量场的散度AB通量线

or流线源

and汇（洞）净通量矢量场电力线矢量的通量16第十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期日如：真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量q与真空介电常数0之比：高斯定理闭合曲面内的电量为正、负、零时的通量······根据矢量通过某一闭合面的通量性质可以判断闭合曲面中源的正负特性，以及存在与否。通量仅能表示闭合曲面中源的总量，它不能显示源的分布特性，如何显示源的特性呢？？？5C5C3C4C-2C17第十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期日1)散度的概念当闭合面S向某点无限收缩时，矢量A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，记为：式中，V为闭合面S包围的体积。①如果矢量场F每一点的散度都有定义，则形成一个标量的分布（标量场)称为矢量F的散度场，描述源的强度在空间的分布，矢量场的变化.②散度是描述矢量场的变化特性的物理量，矢量场的变化由源引起的，某点的散度就是该点处源（通量源）的强度.18第十八页，共二十八页，编辑于2023年，星期日2)

散度计算方法直角坐标系柱坐标系球坐标系广义坐标系19第十九页，共二十八页，编辑于2023年，星期日散度运算规则直角坐标系中拉普拉斯算子20第二十页，共二十八页，编辑于2023年，星期日例求到任一点的位置矢量的散度。解21第二十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期日矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量，记为①数学上看，利用散度定理可以将矢量函数的面积分转化为标量函数的体积分，或反之。②场的观点看，散度定理建立了区域中的场与包围该区域的边界上的场之间的关系。3.

散度定理22第二十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期日例已知判断散度定理是否适用于图中所示的壳层区域。壳层的封闭面是以原点为中心而半径分别为R=R1和R=R2（R2>R1）的两个球面。解在外表面上：在内表面上：R2R123第二十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期日Example:example：Forvectorfunction,verifythedivergencetheoremforthecircularcylindricalregionenclosedbyr=5,z=0,andz=424第二十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期日25第二十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期日26第二十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期日summary1.

标量场的梯度2.

矢量场的散度3