电动力学第三章静磁场

电动力学第三章静磁场第一页，共六十八页，编辑于2023年，星期日§3.1矢势及其微分方程Vectorpotentialanddifferentialequation第二页，共六十八页，编辑于2023年，星期日本章重点：1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁场的能量2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程与静电势方程的比较3、*了解A-B效应和超导体的电磁性质本章难点：利用磁标势解决具体问题第三页，共六十八页，编辑于2023年，星期日§1矢势及其微分方程

Vectorpotentialanddifferentialequation

一、稳恒电流磁场的矢势1．稳恒电流磁场的基本方程稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不随时间变化的磁场。基本方程第四页，共六十八页，编辑于2023年，星期日本节仅讨论情况，即非铁磁的均匀介质。这种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。由此可看出，磁场的特点和电场不同。静电场是无旋的，即引入标势φ来描述。而磁场是有旋的，一般不能引入一个标势来描述整个空间的磁场，但由于磁场是无源的，可以引入一个矢量来描述它。基本方程第五页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2．矢势的引入及意义静电场（a）矢势的物理意义：稳恒电流磁场其中S是以回路L为边界的任一闭合曲面称为磁场的矢势。根据斯托克斯定理，可得到第六页，共六十八页，编辑于2023年，星期日由此可看到矢势的物理意义是：

矢势沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与其具体形状无关而每点的A无直接物理意义。第七页，共六十八页，编辑于2023年，星期日令可减少矢势的任意性满足的方程？３、矢势的不唯一性②矢势可确定磁场，但由并不能唯一地确定，这是因为对任意函数。即和对应于同一个，的这种任意性是由于的环量才有物理意义的决定的。第八页，共六十八页，编辑于2023年，星期日二．矢势满足的方程及方程的解由于，引入，在均匀线性介质内有，将这些代入到中，即若满足库仑规范条件，得矢势的微分方程第九页，共六十八页，编辑于2023年，星期日（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程（2）与静电场中形式相同（3）矢势为无源有旋场中的物理量其直角分量：这是大家熟知的Pisson'sequation第十页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2．矢势的形式解由此可见，矢势和标势在静场时满足同一形式的方程，对此静电势的解。可得到矢量的特解：已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。第十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期日3．的解这正是毕奥--萨伐尔定律线电流时当全空间中电流给定时，即可计算磁场，对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解微分方程的边值问题。第十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期日4．的边值关系*磁场的边值关系（a）12Δl第十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期日即在两介质分界面上，矢势是连续的。（b）第十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期日①若分界面为柱面，柱坐标系中当 ②若分界面为球面，当zxyxzy特殊情况：第十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期日5．矢量泊松方程解的唯一性定理定理：给定V内传导电流和V边界S上的或V内稳恒电流磁场由和边界条件唯一确定。第十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期日三．稳恒电流磁场的能量已知均匀介质中总能量为1．在稳恒场中有

②不是能量密度。

能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。因为能量分布于磁场中，而不仅仅存在于电流分布区域内。另外，能量式中的是由电流激发的。第十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期日③

导出过程第十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2.

电流分布在外磁场中的相互作用能最后一项称为相互作用能，记为，可以证明：作业（131页）：1，3,5，设为外磁场电流分布，为外磁场的矢势；为处于外磁场中的电流分布，它激发的场的矢势为。总能量：第十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期日[例1]无穷长直导线载电流I，求空间的矢势和磁场。ozdzRP↑I取导线沿z轴，设p点到导线的垂直距离为R，电流元Idz到p点距离为5、举例讨论用计算Solution:因此得到r第二十页，共六十八页，编辑于2023年，星期日积分结果是无穷大（发散的）。计算两点的矢势差值可以免除发散，若取R0点的矢势值为零，则第二十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期日亦即0每项相乘后，再二次项展开得故第二十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期日取的旋度，得到0结果与电磁学求解一致。第二十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期日Solution:

zyxP(R,θ,φ')Rraoθφ'(a,φ',o)[例2]*半径为a的导线圆环载电流为I，求空间的矢势和磁感应强度。首先求解矢势第二十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期日由于问题具有轴对称性，可以把观察点选在xz平面上，这样的好处是φ'=0，故只与r，θ有关。即得其中yxzP(x,o,z

)Rraoθφ'(a,φ',o)第二十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期日因此得到：在图上分析有zyxP(R,θ,φ')Rraoθφ'(a,φ',o)第二十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期日作变换：令第二十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期日于是有这样第二十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期日令，则有考虑一般情况，这里的y方向实际上就是方向，因第二十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期日此上式可改为：第三十页，共六十八页，编辑于2023年，星期日令故磁感应强度的严格表达式为这里Κ(k),Ε(k)分别为第一、第二类椭园积分。从而得到第三十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期日讨论：对于远场，由于R>>a，且有第三十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期日当R>>a情况下，上式分母展开为：第三十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期日若R>>a，且于是得到第三十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期日于是磁感应强度为第三十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期日可见，对于一个园电流环，在远处所激发的磁场，相当于一个磁矩为的磁偶极子激发的场。第三十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期日ClassisOver!Thankyou!Boysandgirls!第三十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期日第三章第二节磁标势Magneticscalarpotential大连民族学院理学院郑建洲第三十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期日

本节所研究的问题是避开由矢势求磁感应强度不便的问题。类比于静电场，引入磁标势。然后讨论所满足的微分方程，继而讨论静磁问题的唯一性定理。第三十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期日§2.磁标势原因：静电力作功与路径无关，引入的电势是单值的；而静磁场一般不为零，即静磁场作功与路径有关，即使在能引入的区域标势一般也不是单值的。一．引入磁标势的两个困难2．在电流为零区域引入磁标势可能非单值。1．磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。第四十页，共六十八页，编辑于2023年，星期日二．引入磁标势的条件语言表述：引入区域为无自由电流分布的单连通域。讨论：1）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。用公式表示显然只能在区域引入，且在引入区域中任何回路都不能与电流相链环。第四十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期日三．磁标势满足的方程1．引入磁标势区域磁场满足的场方程

不仅可用于均匀各向同性非铁磁介质，而且也可讨论铁磁介质或非线性介质。第四十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2．引入磁标势与电介质中极化电荷密度的表达式类比，可以假想磁荷密度为于是，得到与电介质中的静电场方程类似的形式类比静电场方程第四十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期日3．满足的泊松方程4．边值关系第四十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期日四．静电场与静磁场方程的比较静磁场静电场第四十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期日静电势与磁标势的差别：

因为到目前为止实验上还未真正发现以磁单极形式存在的自由磁荷。对静磁场人们认为分子电流具有磁偶极矩，它们由磁荷构成，不能分开。

静电场可在全空间引入，无限制条件；静磁场要求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。②静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。注意：在处理同一问题时，磁荷观点与分子电流观点不能同时使用。③

虽然磁场强度与电场强度表面上相对应，但从物理本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相当。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。第四十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期日当所考虑的区域是单连通的，其中没有传导电流分布时，可引入磁标势，通过和静电学问题的唯一性定理同样的推导，可得出静磁问题的唯一性定理：如果可均匀分区的区域V中没有传导电流分布，只要在边界S上给出下列条件之一，则V内磁场唯一地确定：a)磁标势之值b)磁场强度的法向分量c)磁场强度的切向分量五、静磁问题的唯一性定理第四十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期日六、磁标势的应用举例[例1]

证明μ→∞的磁性物质表面为等磁势面。

Solution:

角标1代表磁性物质、角标2为真空12由磁场边界条件：以及可得到法向和切向分量为第四十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期日两式相除，得因此，在该磁性物质外面，H2与表面垂直（切向分量与法向分量之比→0)，因而表面为等磁势面。第四十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期日[例2]求磁化矢量为的均匀磁化铁球产生的磁场。铁球内外为两均匀区域，在铁球外没有磁荷分布()，在铁球内由于均匀磁化,而=0，因此磁荷只能分布在铁球表面上，故球内、外磁势都满足Laplace’sequation.Solution:第五十页，共六十八页，编辑于2023年，星期日由于轴对称性，极轴沿方向，上式解的形式为：球外磁标势必随距离r增大而减小，即球内磁标势当r=0时必为有限，即故有：第五十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期日由铁球表面边界条件当r=R0时：第五十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期日由边界条件得：设球外为真空，则第五十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期日当n=1时，有比较的系数：当时，有所以第五十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期日从而得到铁球内、外的磁场强度为第五十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期日其中：把取在方向上，即有可见铁球外的磁场相当于一个磁偶极子所激发的场。第五十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期日线总是闭合的，线且不然，线是从右半球面上的正磁荷发出，终止于左半球面的负磁荷上。在铁球内，与反向。说明磁铁内部的与是有很大差异的。进一步讨论：线是闭合的线由正磁荷发出到负磁荷止第五十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期日例题3.设x<0半空间充满磁导率为的均匀介质，x>0的半空间为真空。有线电流I沿z轴流动。求磁感应强度和磁化电流分布。xyz设x<0,；x>0，。它们均满足拉普拉斯方程。在柱坐标中：解：将线电流表面及x=0,y>0的界面挖去磁化电流Im在z轴,介质面上无磁化电流。空间磁场由I、Im共同决定。磁场应正比于1/r，与z、无关。因H正比于1/r常数选

设第五十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期日确定常数：由安培环路定理：代入即可得到解。然后利用得磁化电流书中例3自学，作业：9、10、11*、13*、14*第五十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期日第三章第四节阿哈罗夫-玻姆效应第五节超导体的电磁性质间接第六十页，共六十八页，编辑于2023年，星期日§3.4*阿哈罗夫-玻姆（A-B）效应1959年阿哈罗夫-玻姆提出在量子力学可适用的微观态中和有可观测的物理效应，这一效应被称为A-B效应。

A-B效应表明，在量子物理中磁场的物理效应不能完全用来描述，矢势可以对电子发生相互作用。但是由于的任意性，用它描述磁场显然又过多。第六十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期日带有螺线管电子衍射实验：条纹发生变化矢势可以对电子发生相互作用。A-B效应表明，在量子物理中磁场的物理效应不能完全用B来描述，矢势A可以对电子发生相互作用,影响电子相位，条纹发生变化。第六十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期日

带有螺线管电子衍射实验发现，能够完全且恰当的描述磁场的物理量是相因子：。若L为可缩小到一点的无穷小路径，则因此相因子描述等价于局域磁场的描述。但是当L为不能缩小到一点的路径时，则相因子所包含的物理信息就不能用局域场描述。第六十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期日§3.5*超导体的电磁性质

一些元素、化合物、合金等，当温度下降到某临界值以下时，电阻率下降为零的现