2023年高考数学文一轮复习教案第6章6.3等比数列_第1页
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文档简介

6.3等比数列【考试要求INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\春兰\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版老高考\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\春兰\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【知识梳理INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\春兰\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1.等比数列的有关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为eq\f(an+1,an)=q(n∈N*,q为非零常数).(2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时,G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=a1qn-1.(2)前n项和公式:Sn=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1,q=1,,\f(a11-qn,1-q)=\f(a1-anq,1-q),q≠1.))3.等比数列的性质(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(m,n∈N*).(2)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q=2k,则am·an=ap·aq=aeq\o\al(2,k).(3)若等比数列前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列(m为偶数且q=-1除外).(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.(5)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0,,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0,,0<q<1,))则等比数列{an}递增.若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0,,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0,,q>1,))则等比数列{an}递减.INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版老高考\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\春兰\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【常用结论INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\春兰\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{aeq\o\al(2,n)},eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))),{an·bn},eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比数列.2.等比数列{an}的通项公式可以写成an=cqn,这里c≠0,q≠0.3.等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0).INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版老高考\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\春兰\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【思考辨析INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\春兰\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q是一个常数,它可以是任意实数.(×)(2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.(×)(3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=eq\f(a1-an,1-a).(×)(4)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.(×)INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版老高考\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\春兰\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【教材题改编INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\春兰\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1.已知{an}是等比数列,a2=2,a4=eq\f(1,2),则公比q等于()A.-eq\f(1,2)B.-2C.2D.±eq\f(1,2)答案D解析设等比数列的公比为q,∵{an}是等比数列,a2=2,a4=eq\f(1,2),∴a4=a2q2,∴q2=eq\f(a4,a2)=eq\f(1,4),∴q=±eq\f(1,2).2.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a11+2a6a8+a3a13=25,则a6+a8=______.答案5解析∵{an}是等比数列,且a1a11+2a6a8+a3a13=25,∴aeq\o\al(2,6)+2a6a8+aeq\o\al(2,8)=(a6+a8)2=25.又∵an>0,∴a6+a8=5.3.已知三个数成等比数列,若它们的和等于13,积等于27,则这三个数为________.答案1,3,9或9,3,1解析设这三个数为eq\f(a,q),a,aq,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+\f(a,q)+aq=13,,a·\f(a,q)·aq=27,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=3,,q=\f(1,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=3,,q=3,))∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则eq\f(Sn,an)等于()A.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1 D.21-n-1答案B解析方法一设等比数列{an}的公比为q,则q=eq\f(a6-a4,a5-a3)=eq\f(24,12)=2.由a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,得a1=1.所以an=a1qn-1=2n-1,Sn=eq\f(a11-qn,1-q)=2n-1,所以eq\f(Sn,an)=eq\f(2n-1,2n-1)=2-21-n.方法二设等比数列{an}的公比为q,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3q2-a3=12,①,a4q2-a4=24,②))eq\f(②,①)得eq\f(a4,a3)=q=2.将q=2代入①,解得a3=4.所以a1=eq\f(a3,q2)=1,下同方法一.(2)(2019·全国Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=eq\f(1,3),aeq\o\al(2,4)=a6,则S5=________.答案eq\f(121,3)解析设等比数列{an}的公比为q,因为aeq\o\al(2,4)=a6,所以(a1q3)2=a1q5,所以a1q=1,又a1=eq\f(1,3),所以q=3,所以S5=eq\f(a11-q5,1-q)=eq\f(\f(1,3)×1-35,1-3)=eq\f(121,3).INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版老高考\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\春兰\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INET】1.已知数列{an}为等比数列,a2=6,6a1+a3=30,则a4=________.答案54或24解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1·q=6,,6a1+a1·q2=30,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q=3,,a1=2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q=2,,a1=3,))a4=a1·q3=2×33=54或a4=3×23=3×8=24.2.已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,若a2a6=-2a7,S3=-6,则a6等于()A.-2或32 B.-2或64C.2或-32 D.2或-64答案B解析∵数列{an}为等比数列,a2a6=-2a7=a1a7,解得a1=-2,设数列的公比为q,S3=-6=-2-2q-2q2,解得q=-2或q=1,当q=-2时,则a6=(-2)6=64,当q=1时,则a6=-2.思维升华(1)等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn=eq\f(a11-qn,1-q)=eq\f(a1-anq,1-q).跟踪训练1(1)(2020·全国Ⅱ)数列{an}中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k等于()A.2B.3C.4D.5答案C解析a1=2,am+n=aman,令m=1,则an+1=a1an=2an,∴{an}是以a1=2为首项,q=2为公比的等比数列,∴an=2×2n-1=2n.又∵ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,∴eq\f(2k+11-210,1-2)=215-25,即2k+1(210-1)=25(210-1),∴2k+1=25,∴k+1=5,∴k=4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.①求{an}的通项公式;②求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1.解①设{an}的公比为q(q>1).由题设得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q+a1q3=20,,a1q2=8,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q=2,,a1=2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q=\f(1,2),,a1=32))(舍去).所以{an}的通项公式为an=2n,n∈N*.②由于(-1)n-1anan+1=(-1)n-1×2n×2n+1=(-1)n-122n+1,故a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1=23-25+27-29+…+(-1)n-1·22n+1=eq\f(23[1--22n],1--22)=eq\f(8,5)-(-1)neq\f(22n+3,5).题型二等比数列的判定与证明例2已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)·an,设bn=eq\f(an,n).(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.解(1)由条件可得an+1=eq\f(2n+1,n)an.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列,由条件可得eq\f(an+1,n+1)=eq\f(2an,n),即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得eq\f(an,n)=2n-1,所以an=n·2n-1.INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版老高考\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\春兰\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\春兰\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an.(1)证明:数列{an+an+1}为等比数列;(2)若a1=eq\f(1,2),a2=eq\f(3,2),求{an}的通项公式.(1)证明an+2=2an+1+3an,所以an+2+an+1=3(an+1+an),因为{an}中各项均为正数,所以an+1+an>0,所以eq\f(an+2+an+1,an+1+an)=3,所以数列{an+an+1}是公比为3的等比数列.(2)解由题意知an+an+1=(a1+a2)3n-1=2×3n-1,因为an+2=2an+1+3an,所以an+2-3an+1=-(an+1-3an),a2=3a1,所以a2-3a1=0,所以an+1-3an=0,故an+1=3an,所以4an=2×3n-1,an=eq\f(1,2)×3n-1.思维升华等比数列的三种常用判定方法(1)定义法:若eq\f(an+1,an)=q(q为非零常数,n∈N*)或eq\f(an,an-1)=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列.(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0且aeq\o\al(2,n+1)=an·an+2(n∈N*),则{an}是等比数列.(3)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.跟踪训练2Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q>0.(1)求an及Sn;(2)是否存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解(1)易知q≠1,由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q3=9a1q,,\f(a11-q3,1-q)=13,,q>0,))解得a1=1,q=3,∴an=3n-1,Sn=eq\f(1-3n,1-3)=eq\f(3n-1,2).(2)假设存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列,∵S1+λ=λ+1,S2+λ=λ+4,S3+λ=λ+13,∴(λ+4)2=(λ+1)(λ+13),解得λ=eq\f(1,2),此时Sn+eq\f(1,2)=eq\f(1,2)×3n,则eq\f(Sn+1+\f(1,2),Sn+\f(1,2))=eq\f(\f(1,2)×3n+1,\f(1,2)×3n)=3,故存在常数λ=eq\f(1,2),使得数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn+\f(1,2)))是以eq\f(3,2)为首项,3为公比的等比数列.题型三等比数列的性质例3(1)若等比数列{an}中的a5,a2019是方程x2-4x+3=0的两个根,则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a2023等于()A.eq\f(2024,3) B.1011C.eq\f(2023,2) D.1012答案C解析由题意得a5a2019=3,根据等比数列性质知,a1a2023=a2a2022=…=a1011a1013=a1012a1012=3,于是a1012=,则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a2023=log3(a1a2a3…a2023)=log3=eq\f(2023,2).(2)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12等于()A.40B.60C.32D.50答案B解析数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,∴S12=4+8+16+32=60.INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版老高考\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\春兰\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\数学\\一轮\\春兰\\数学人教A版理老教材(豫甘青宁新蒙贵桂川藏)\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若eq\f(S6,S3)=3,则eq\f(S9,S6)=__________.答案eq\f(7,3)解析设等比数列{an}的公比为q,易知q≠-1,由等比数列前n项和的性质可知S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,∴eq\f(S6-S3,S3)=eq\f(S9-S6,S6-S3),又由已知得S6=3S3,∴S9-S6=4S3,∴S9=7S3,∴eq\f(S9,S6)=eq\f(7,3).2.已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=________.答案2解析由题意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇+S偶=-240,,S奇-S偶=80,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇=-80,,S偶=-160,))所以q=eq\f(S偶,S奇)=eq\f(-160,-80)=2.思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形,根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)巧用性质,减少运算量,在解题中非常重要.跟踪训练3(1)(2022·安康模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10=1,S30=7,则S40等于()A.5B.10C.15D.-20答案C解析易知等比数列{an}的前n项和Sn满足S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30,…成等比数列.设{an}的公比为q,则eq\f(S20-S10,S10)=q10>0,故S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30,…均大于0.故(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(S20-1)2=1·(7-S20)⇒Seq\o\al(2,20)-S20-6=0.因为S20>0,所以S20=3.又(S30-S20)2=(S20-S10)(S40-S30),所以(7-3)2=(3-1)(S40-7),故S40=15.(2)已知函数f(x)+f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))=2,若等比数列{an}满足a1a2023=1,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2023)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2023,2)C.2D.2023答案D解析根据题意,等比数列{an}满足a1a2023=1,则有a2a2022=a3a2021=…=(a1012)2=1,若a1a2023=1,则eq\f(1,a1)=a2023,则f(a1)+f(a2023)=f(a1)+f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)))=2,同理f(a2)+f(a2022)=f(a3)+f(a2021)=…=f(a1011)+f(a1013)=2,f(a1012)+f(a1012)=f(a1012)+f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1012)))=2,则f(a1012)=1,故f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2023)=2×1011+1=2023.课时精练1.(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{an}满足a1+a2=1,a4+a5=8,则a7等于()A.eq\f(64,3) B.-eq\f(64,3)C.eq\f(32,3) D.-eq\f(32,3)答案A解析设等比数列{an}的公比为q,则eq\f(a4+a5,a1+a2)=q3=8,所以q=2,又a1+a2=a1(1+q)=1,所以a1=eq\f(1,3),所以a7=a1×q6=eq\f(1,3)×26=eq\f(64,3).2.已知等比数列{an}满足a1=1,a3·a5=4(a4-1),则a7的值为()A.2B.4C.eq\f(9,2)D.6答案B解析根据等比数列的性质得a3a5=aeq\o\al(2,4),∴aeq\o\al(2,4)=4(a4-1),即(a4-2)2=0,解得a4=2.又∵a1=1,a1a7=aeq\o\al(2,4)=4,∴a7=4.3.(2022·开封模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn=32n-1+r,则r的值为()A.eq\f(1,3)B.-eq\f(1,3)C.eq\f(1,9)D.-eq\f(1,9)答案B解析由等比数列前n项和的性质知,Sn=32n-1+r=eq\f(1,3)×9n+r,∴r=-eq\f(1,3).4.(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人第四天走的路程为()A.6里 B.12里C.24里 D.48里答案C解析由题意可知,该人所走路程形成等比数列{an},其中q=eq\f(1,2),因为S6=eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,26))),1-\f(1,2))=378,解得a1=192,所以a4=a1·q3=192×eq\f(1,8)=24.5.设等比数列{an}的公比为q,则下列结论正确的是()A.数列{anan+1}是公比为q的等比数列B.数列{an+an+1}是公比为q的等比数列C.数列{an-an+1}是公比为q的等比数列D.数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是公比为eq\f(1,q)的等比数列答案D解析对于A,由eq\f(anan+1,an-1an)=q2(n≥2)知数列{anan+1}是公比为q2的等比数列,故A错误;对于B,当q=-1时,数列{an+an+1}的项中有0,不是等比数列,故B错误;对于C,当q=1时,数列{an-an+1}的项中有0,不是等比数列,故C错误;对于D,eq\f(\f(1,an+1),\f(1,an))=eq\f(an,an+1)=eq\f(1,q),所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是公比为eq\f(1,q)的等比数列,故D正确.6.(2022·西北工业大学附属中学模拟)已知等比数列{an}的公比q≠1,向量m=(a1,a2),n=(a3,a4),则()A.m⊥nB.m∥nC.(m+n)·(m-n)=0D.|m|=|n|答案B解析对于A,m·n=a1a3+a2a4=aeq\o\al(2,1)q2+aeq\o\al(2,1)q4=aeq\o\al(2,1)q2(1+q2)>0,A错误;对于B,∵a1a4=a2a3,∴a1a4-a2a3=0,∴m∥n,B正确;对于C,D,由(m+n)·(m-n)=0得m2=n2,即|m|=|n|,又|m|2=aeq\o\al(2,1)+aeq\o\al(2,2)=aeq\o\al(2,1)+aeq\o\al(2,1)q2=aeq\o\al(2,1)(1+q2),|n|2=aeq\o\al(2,3)+aeq\o\al(2,4)=aeq\o\al(2,3)+aeq\o\al(2,3)q2=aeq\o\al(2,3)(1+q2),∴当aeq\o\al(2,1)≠aeq\o\al(2,3),即q≠±1时,|m|≠|n|,C,D错误.7.(2022·河南六市联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则a1=________.答案1解析由于S3=7,S6=63知公比q≠1,又S6=S3+q3S3,得63=7+7q3.∴q3=8,q=2.由S3=eq\f(a11-q3,1-q)=eq\f(a11-8,1-2)=7,得a1=1.8.已知{an}是等比数列,且a3a5a7a9a11=243,则a7=________;若公比q=eq\f(1,3),则a4=________.答案381解析由{an}是等比数列,得a3a5a7a9a11=aeq\o\al(5,7)=243,故a7=3,a4=eq\f(a7,q3)=81.9.已知数列{an}满足a1=eq\f(3,2),an+1=3an-1(n∈N*).若数列{bn}满足bn=an-eq\f(1,2).(1)求证:{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.(1)证明因为an+1=3an-1(n∈N*),所以an+1-eq\f(1,2)=3an-eq\f(3,2)=3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an-\f(1,2))),又bn=an-eq\f(1,2),a1=eq\f(3,2),所以bn+1=3bn,即eq\f(bn+1,bn)=3(n∈N*),b1=1,所以{bn}是以1为首项,3为公比的等比数列.(2)解由(1)可得bn=3n-1,即an-eq\f(1,2)=3n-1,所以an=3n-1+eq\f(1,2),所以Sn=30+eq\f(1,2)+31+eq\f(1,2)+…+3n-1+eq\f(1,2)=30+31+…+3n-1+eq\f(1,2)×n=eq\f(1-3n,1-3)+eq\f(n,2)=eq\f(3n+n-1,2).10.(2022·威海模拟)记数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+1.设bn=an+1-2an.(1)求证:数列{bn}为等比数列;(2)设cn=|bn-100|,Tn为数列{cn}的前n项和.求T10.(1)证明由Sn+1=4an+1,得Sn=4an-1+1(n≥2,n∈N*),两式相减得an+1=4an-4an-1(n≥2),所以an+1-2an=2(an-2an-1),所以eq\f(bn,bn-1)=eq\f(an+1-2an,an-2an-1)=eq\f(2an-2an-1,an-2an-1)=2(n≥2),又a1=1,S2=4a1+1,故a2=4,a2-2a1=2=b1≠0,所以数列{bn}为首项与公比均为2的等比数列.(2)解由(1)可得bn=2·2n-1=2n,所以cn=|2n-100|=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100-2n,n≤6,,2n-100,n>6,))所以T10=600-(21+22+…+26)+27+28+29+210-400=200-eq\f(21-26,1-2)+27+28+29+210=200+2+28+29+210=1994.11.已知数列{an}为正项等比数列,a2=eq\r(2),a3=2a1,则a1a2+a2a3+…+anan+1等于()A.(2+eq\r(2))[1-(eq\r(2))n]B.(2+eq\r(2))[(eq\r(2))n-1]C.eq\r(2)(2n-1)D.eq\r(2)(1-2n)答案C解析由{an}为正项等比数列,且a2=eq\r(2),a3=2a1,可得a1=1,公比q=eq\r(2),所以数列{anan+1}是以eq\r(2)为首项,2为公比的等比数

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