牛顿插值公式

牛顿插值公式第一页，共十六页，编辑于2023年，星期日5

重节点差商定义5

(重节点差商)若,?则定义

类似的有分析：(2)首先,由定义泰勒展开式第二页，共十六页，编辑于2023年，星期日(2)首先,由定义泰勒展开式证明：第三页，共十六页，编辑于2023年，星期日第四页，共十六页，编辑于2023年，星期日给定的函数表并记§5

差分，等距节点插值多项式5.1差分及性质

且即1、差分（1）记号—向前差分算子；在称为点的步长为h的一阶向前差分—中心差分算子.定义6—向后差分算子；

—二阶向前差分；

—二阶向后差分；若

—二阶中心差分；、向后、中心差分.分别第五页，共十六页，编辑于2023年，星期日(3)一般地，—阶向前差分；—阶向后差分；I

—

不变算子（恒等算子）；

（4）设A与B为两算子,如，则称算子A与B为相等。记为若，则称A为B的逆算子。记为若（自己证）E

—

位移算子第六页，共十六页，编辑于2023年，星期日2、性质性质1

的各阶差分均可用函数值表示。

其中

证明：

用算子二项式定理：得即#第七页，共十六页，编辑于2023年，星期日用归纳法可证。性质2

差分与差商的关系

令

证明：

当m=1时，假设当m=k时，有则#自己证一般地第八页，共十六页，编辑于2023年，星期日性质3

差分与导数关系

证明：

性质2定理75.2牛顿向前插值，向后插值公式

函数表设有

—

被插值点。（1）当靠近(表初或差头)时，通常取插值节点：以下推导以为节点的等距插值公式。作变换

则又由

1、公式自己证第九页，共十六页，编辑于2023年，星期日

代入(4.2)：（牛顿前插公式或表初公式）：即得牛顿向前插值公式系数系数系数系数第十页，共十六页，编辑于2023年，星期日作变换

又则再由

（牛顿后插公式或表末公式）：即得牛顿向后插值公式（2）当靠近时，通常取插值节点：，以下为插值节点的等距插值公式。推导以系数系数系数系数第十一页，共十六页，编辑于2023年，星期日注：（1）（5.2）、(5.3)使用于等距节点。

（2）（5.2）、(5.3)的系数分别为，差分表2-7求解方法见表2-7。(5.2)的系数(5.3)的系数第十二页，共十六页，编辑于2023年，星期日说明:节点的取法：取与x尽量接近的节点。注意两点，首先，若2、计算量（1）计算差分（计算量忽略不记）；（2）由前插（后插）公式计算近似值：（计算步骤）乘除法次数大约为:+秦九韶算法达到了误差要求，则其他一些节点就用不到了，因此，表中的n可以相当大，牛顿插值公式中的n不一定就是表中的n；另外,表初式计算。在公式中的比重是一样的。若x不在表初、表末而在表中间，则有例4。例4还有另外的选取节点的方法，也可以用牛顿向后插值公公式中似乎占有较大比重，而从误差公式的对称性知第十三页，共十六页，编辑于2023年，星期日例4

已知

Bessel函数函数表试用牛顿向前插值公式计算近似值。解：取各阶差分见表2-8

第十四页，共十六页，编辑于2023年，星期日表2-8解：取各阶差分见表2-8

表2-9，如表2-9。利用牛顿向前插值公式（5.2）计算精确值：第十五页，共十六页，编辑于2023年，星期日说明：也可取节点为利用牛顿向后插值公式（5.3）计算。本课重点：