1999年高考数学试题及答案(全国理)

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I卷（选择题)和第II卷（非选择题）两部分。第I卷第1至2页。第II卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题共60分）注意事项1．答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。3．考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的积化和差公式sincos1sinsin2cossin1sinsin2coscos1coscos2sinsin1coscos2正棱台、圆台的侧面积公式1S台侧ccl2其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式1SSShVS3台体其中S、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分,第（11）-(14)题每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。（1）如图，I是全集,M、P、S是I3个子集,则阴影部分所表示的集合是（A）（M∩P）∩S(B)（M∩P)∪S（C）(M∩P）∩S（D)(M∩P)∪S（2）已知映射f:AB，其中，集合A3,2,1,1,2,3,4,集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且对任意的aA,在B中和它对应的元素f是a,则集合B中元素的个数是（C）6（D)7(A)4（B)5（3)若函数yfx的反函数是ygx,fab,ab0,则gb等于（A）a（B)a1（C）b（D）b10在区间a,b上是增函数，且fxMsinx(4)函数fxM,fbM,则函数gxMcosx在a,b上（A）是增函数（B）是减函数(C）可以取得最大值M（D）可以取得最小值M（5）若fxsinx是周期为的奇函数，则fx可以是(A）sinx(B）cosx（C)sin2x（D）cos2x（6）在极坐标系中，曲线4sin关于35轴对称6（A）直线轴对称（B）直线3（C）点2,中心对称(D)极点中心对称3（7）若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是(A）63cm(B）6cm（C）2318cm（D）3312cm（8）若2x3aaxax2ax3,则aaaaa2的值为42012302413（A）1（B）1（C)0（D）2（9）直线3xy230截圆xy24得的劣弧所对的圆心角为2(B)4（D)2（A）（C）63（10)如图,在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF3,EF与面AC2的距离为2，则该多面体的体积为915（A）（B)5(C）6（D）2222sintgctg,则(11）若42(A）,(B),0（C）0,（D）,2444（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为（A）101：2，那么R=（B）15（C）20(D）25M1,,N4,5,给出下列曲线方程：5（13）已知两点44x2x2①4x2y10②x2y23③y21④y2122在曲线上存在点P满足｜MP｜=｜NP｜的所有曲线方程是(C）①②③（D)②③④（A）①③（B)②④(14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有(A）5种(B）6种（C）7种（D）8种1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第II卷(非选择题共90分)注意事项：1．第II卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接写答在试题卷中。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.题号二三22总分1920212324分数得分评卷人二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.x2y2（15）设椭圆1ab0的右焦点为F，右准线为l，若过F且垂a2b2111直于x轴的弦长等于点F到l的距离，则椭圆的率心率是_____.11（16）在一块并排10龚的田地中，选择2龚分别种植A、B两种作物，每种作物种植一龚，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6龚,则不同的选龚方法共有_____种（用数学作答）。（17）若正数a、b满足abab3,则ab的取值范围是_____。（18）、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：②⊥③n⊥④m⊥①m⊥n以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________________________________.三、解答题：本大题共6小题;共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。得分评卷人（19)(本小题满分10分）解不等式3logx22logx1a0,a1.aa得分评卷人（20）（本小题满分12分）的最大值以及对设复数z3cosi2sin.求函数yargz02应的值。得分评卷人(21）（本小题满分12分）如图，已知正四棱柱ABCDABCD,点E在棱DD上，截面EAC∥11111DB，且面EAC与底面ABCD所成的角为45,ABa.1（I）求截面EAC的面积；（II）求异面直线AB与AC之间的距离；11（III）求三棱锥BEAC的体积。1得分评卷人(22)（本小题满分12分）右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（I）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过0r.问冷轧机至少需要安装多少对轧锟?输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度）（一对轧辊减薄率输入该对的带钢厚度（II）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧锟,所有轧辊周长均为1600mm.若第对轧锟有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点,在冷轧机k输出的带钢上，庇点的间距为kL.为了便于检修,请计算L、L、L并填入下表123(轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.1234轧锟序号k疵点间距L（单位:mm）1600k得分评卷人（23）(本小题满分14分)已知函数yfx的图象是自原点出发的一条折线，当nyn1n0,1,2,时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b1),设数列x由fxnn1,2,定义.nn（I）求x、x和x的表达式；12n（II）求fx的表达式，并写出其定义域;（III）证明：yfx的图象与yx的图象没有横坐标大于1的交点。得分评卷人（24）(本小题满分14分)如图，给出定点Aa,0a0和直线l:x1.B是直线上的动点，lBOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本题解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难，度可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较重的错误，就不再给分.一步应得的累加分数。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题考查基础知识和基础运算。第（1）—（10）每小题4分，第（11)—（14）题每小题5分，满分60分。CAACBBBACDBDDC二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。9,1（15）（16）12(17）2mn,m,n（18）m,,mn或n三、解答题（19）本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想。满分10分。解:原不等式等价于3logx20,12a3logx22logx1,2aa2logx10.3a————4分logx2,由①得由②得由③得由此得3a3logx,或logx1,4aalogx1.2a233logx,或logx1.-—-—8分4aa23当a1时得所求的解是xa|xa4xxa；|3当0a1时得所求的解是x|a4xa3x|0xa.32———-10分(20）本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识,考查综合运用所学数学知识解决问题的能力。满分12分。解：由0得tg0.2由z3cosisin得0argz及2tgargz2sin2tg.3cos3argztgytg故2tgtg3—--—4分12tg2313tg,2tg3tg2tg26,∵∴16.——-—8分3tg122tg3tg6时，上式取等号。2tg0时，即tg当且仅当2266所以当arctg时，函数tgy取得最大值.212,22,.y由yargz得y22由于在内正切函数是递增函数，函数arctg6.也取最大值-—-—12分12（21）本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力。满分12分.（1）解：如图，连结BD交AC于O，连结EO∵底面ABCD是正方形,∴DO⊥AC又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角。—-——2分EOD45.DO2a,AC2a,EO2asec45a.∴22故S2a2.——--4分2EAC(II）解:由题设ABCDABCD是正四棱柱,得⊥底面AC，⊥AC，AA1AA11111又AA⊥1AB,11∴AA是异面直线AB与AC间的公垂线。—-——6分111∵DB∥面EAC，且面DBD与面EAC交线为EO,111∴DB∥EO11又O是DB的中点,∴E是DD的中点，1DB=2EO=2a11DB2DB22a.1∴DD1异面直线AB与AC间的距离为2a.-——-8分11（III）解法一:如图，连结DB11∵DD=DB=12a.∴BDDB是正方形11连结BD交DB于P,交EO于Q11∵BD⊥DB，EO∥DB，111∴BD⊥EO1又AC⊥EO，AC⊥ED∴AC⊥面BDDB，11∴BD⊥AC,1∴BD⊥面EAC1∴BQ是三棱锥BEAC的高。1————10分133BQBDa.由DQ=PQ，得4211123232a3.a2a24∴VB1EAC2BEAC的体积是所以三棱锥1a.—--—12分342V—-——10分解法二：连结BO，则V1EACB1AEOB1∵AO⊥面BDDB，11AEOB的高,AO∴AO是三棱锥2a.21在正方形1BDDB中，1E、O分别是DD、DB的中点（如右图),则13Sa2.4EOB121343a222a2a3.4∴VB1EAC2BEAC的体积是a.-—-—12分所以三棱锥341（22)本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识,考查综合运用数学知能力.满分12分。识和方法解决实际问题的0（1）解：厚度为的带钢经过减薄率均为r的n对轧绲后厚度为a1r.为使n0厚度不超过，冷轧机的输出带钢的轧辊数（以对为单位)应满足0a1rn0即1rn.-———3分a1rn0,0,对比上式两端取对数，得由于0a0nlg1rlg.a由于lg1r0,所以0nlglga.lg1r0lglga的整数对轧辊。—--—6分因此,至少需要安装不小于lg1r0（II）解法一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为1600a1r宽度其中r20%,k4La1r宽度而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为k因宽度相等，且无损耗,由体积相等得1600a1rkLa1rr20%,4kL16000.8k4.即-———9分kL2000mm,由此得3L2500mm,23125mmL1填表如下1234轧锟序号k疵点间距L（单位:mm）3125k250020001600——-—12分解法二:第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有1600L10.2,316002000mm.L所以同理————9分0.83LL2500mm,30.82LL3125mm.20.81填表如下1234轧锟序号k疵点间距L（单位:mm）3125k250020001600——-—12分（23)本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力。满分14分.（I）解:依题意f00,又由fx1，当0y1时，函数yfx的图1象是斜率为b01的线段，故由fxf01x1.1得——-—2分1x01又由fx2,当1y2时,函数yfx的图象是斜率为b的线段，故由2fxfxb，即xx1得x11.1————3分2xx21b2b21记x0.由函数yfx图象中第n段线段的斜率为bn1，故得0fxfxbn1.n1nxxnn1fxn,fxn1；又∴nn1xx1n1,n1,2.bnn1xx为等比数列，其首项为1,公比为1.由此知数列n1bn因b1,得1bn1bxx111xnn,bbn1b1kk1k11bn1b即xn.————6分b1（II）解：当0y1，从（I)可知yx,当0x1时，fxx.当nyn1时，即xxx时,由（I）可知当nn1fxnbnxxxxx,n1,2,3.n————8分nn11bn1b为求函数fx的定义域,须对xn1,2,3,进行讨论.b1n1bn1bb当b1时，limxlim；b1b1nnn当0b1时,n,x也趋向于无穷大。n综上,当b1时,yfx的定义域为b；0,b1当0b1时，yfx的定义域为0,。———-10分b（III）证法一：首先证明当b1，1xb1时,恒有fxx成立。用数学归纳法证明：(i)由（II）知当n1时，在1,x上,yfx1bx1,2所以fxxx1b10成立x,x(ii)假设nk时在上恒有fxx成立。k1kk1fxk1x,可得k1k1k1x,x上，fxk1bxx.在k1k2k1k1所以fxxk1bxxxb1xxk1x0也成k1k1k1立。(ii)知，对所有自然数n在x,x上都有nfxx成立。由(i）与n1bb1即1xfxx时,恒有.________13分x1时，恒有fxx成立。b1,仿上述证明，可知当其次，当yfx的图象与的图象没有横坐标大于yx故函数1的交点。_______14分fxx成立。b证法二：首先证明当b1,1x时,恒有b1bx对任意的1,,存在x，使xxx,此时有b1nnn1fxfxbxxxxn1,nnn0fxxfxx.∴nnfxn111x,n又bbn1nfxx0，∴nnfxxfxx0，∴nn即有fxx成立。——-—13分x1时,恒有fxx成立.b1，仿上述证明，可知当其次,当fx的图象与yx的图象没有横坐标大于故函数1的交点.———-14分（24）本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力。满分14分。B1,bbR,则直线OA和OB的方程分别为y0和解法一：依题意，记ybx.Cxy，则有0xa,由OC平分∠AOB，知点,设点C到OA、OB距离相等。根据点到直线的距离公式得yybx.1b2①—--—4分依题设,点C在直线AB上，故有xa.by1a--——6分由xa0，得b1ay.②xa将②式代入①式得