第11讲中考热点04二次函数与几何结合压轴题(Ⅱ)(原卷版+解析)

第11讲中考热点04二次函数与几何结合压轴题（Ⅱ）目录：题型一：最值问题；题型二：存在性问题；题型三：特殊四边形问题；题型四：相似三角形问题；五、其他问题一、解答题题型一：最值问题1．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．(1)①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．2．（2023·浙江嘉兴·统考一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即．已知二次函数的图像经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（－1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足．

(1)求L（A，B）；(2)求抛物线的表达式；(3)已知是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是图像上的两个动点，且，求面积的最大值；②当时，若函数的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．3．（2022·浙江丽水·统考二模）如图，已知抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．(1)若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；(3)设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．4．（2022·浙江丽水·统考一模）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A(4，0)，点C(0，4)．若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG:GB=3:1．(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；(2)若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EF⊥FG．已知OE=m，OF=t．①当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称．问是否存在t，使点Q恰好落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．5．（2022·浙江温州·二模）如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．(1)求点B的坐标．(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①求抛物线的解析式．②若点P在抛物线上，且S=4S，求点P的坐标．③设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．6．（2021·浙江湖州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．(1)求圆心C的坐标与抛物线的解析式；(2)判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由；(3)若点M，N是直线y轴上的两个动点（点M在点N的上方），且MN＝1，请直接写出的四边形EAMN周长的最小值．题型二：存在性问题7．（2022·浙江金华·校联考一模）如图，把两个全等的和分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F，抛物线经过O、A、C三点．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；(3)点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM的边AM与边BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2021·浙江台州·校考一模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A，B，其中点A（﹣1，0），交y轴于点C（0，2），对称轴交x轴于点M（，0）．(1)求抛物线的解析式；(2)作点C关于点M的对称点D，顺次连接A，C，B，D，判断四边形ACBD的形状，并说明理由；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．

(1)如图2，若抛物线经过原点．①求该抛物线的函数表达式；②求的值．(2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由．10．（2020·浙江·统考中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．(1)如图1，当AC∥x轴时，①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式；②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．(2)如图2，若b＝﹣2，＝，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA,OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线的顶点．（1）当时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．12．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足为直角，且使．(1)求线段OC的长；(2)求该抛物线的函数关系式；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于另一点D，直线与相交于点M．(1)已知点C的坐标是，点B的坐标是，求此抛物线的解析式；(2)若，求证：；(3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线上一点，是否存在这样的点P，使得是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．14．（2022·浙江丽水·校联考三模）定义：对于抛物线，把它在轴下方的部分图形作关于轴的轴对称图形，所得的图形称为的“型曲线”．如图为的“型曲线”，与轴的交点为，，与轴的交点为，与对称轴的交点为，有轴．(1)求的值．(2)若直线与的“型曲线”有且只有三个公共点，求的值．(3)在的“型曲线”是否存在点，使得，若存在，求点的横坐标；若不存在，说明理由．15．（2019·浙江杭州·模拟预测）如图，已知抛物线经过，，三点．过点作垂直于轴的直线．在抛物线上有一动点，过点作直线平行于轴交直线于点．连接．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点，使得以三点构成的三角形与相似．如果存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由（3）当点位于抛物线的对称轴的右侧．若将沿对折，点的对应点为点．求当点落在坐标轴上时直线的解析式．16．（2020·浙江杭州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．题型三：特殊四边形问题17．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．18．（2019·浙江绍兴·统考模拟预测）如图1，抛物线过、两点，交轴于点，过点作轴的平行线与抛物线上的另一个交点为，连接、．点是该抛物线上一动点，设点的横坐标为．（1）求该抛物线的表达式和的正切值；（2）如图2，若，求的值；（3）如图3，过点、的直线与轴于点，过点作，垂足为，直线与轴交于点，试判断四边形的形状，并说明理由．19．（2019·浙江宁波·统考模拟预测）矩形对角线的四等分点叫做矩形的奇特点．如图，在平面直角坐标系中，点，为抛物线上的两个动点（在的左侧），且轴，以为边画矩形，原点在边上．（1）如图1，当矩形为正方形时，求该矩形在第一象限内的奇特点的坐标．（2）如图2，在点，的运动过程中，连结交抛物线于点．①求证：点为矩形的奇特点；②连结，若，抛物线上的点为矩形的另一奇特点，求经过，，三点的圆的半径．20．（2017·浙江金华·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．题型四：相似三角形问题21．（2022·浙江嘉兴·校考一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2021·浙江金华·统考一模）如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0<m<8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当△PMN的周长是△AOB周长的时，求m的值；(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为30°，连接E′A、E′B，在平面直角坐标系内找一点Q，使△AOE′∽△BOQ，并求出点Q的坐标．23．（2020·浙江金华·统考一模）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)和点C(0，2)，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M.(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式.(2)已知点F(0，)，当点P在x轴正半轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.24．（2019·浙江·校联考三模）如图，B（2m，0）、C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB＝2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y＝ax2+bx+n（a≠0）过E、A′两点．（1）填空：∠AOB＝°，用m表示点A′的坐标：A′；（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为M，过M作MN垂直y轴，垂足为N：①求a、b、m满足的关系式；②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为5，请你探究a的取值范围．25．（2020·浙江·模拟预测）我们定义：如图1，在与中，两三角形有公共顶点，所在射线逆时针旋转到所在射线，所在射线逆时针旋转到所在射线，，则我们称与互为“旋补比例三角形”．（1）如图1，与互为旋补比例三角形，时，①________，②___________；（2）如图2，在中，于点，与互为旋补比例三角形，延长至点，使，连结，求证：与互为旋补比例三角形；（3）如图3，在中，，点在轴的正半轴上，，点在第二象限，，抛物线经过点，与轴交点为，(点按逆时针排列)与互为旋补比例三角形，点在抛物线的对称轴上运动，当点构成的三角形是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．题型五：其他问题26．（2023·浙江金华·统考二模）定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1，2）是函数图象关于3的“恒值点”．

(1)判断点，，是否为函数图象关于10的“恒值点”．(2)如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示．①求翻折后A，B之间的抛物线解析式．（用含b的代数式表示，不必写出x的取值范围）②当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c．27．（2021·浙江嘉兴·统考二模）定义：平面直角坐标系中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点，以为圆心，为半径作圆．请判断⊙是不是二次函数的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数图象的顶点为，坐标圆的圆心为，如图1，求周长的最小值；（3）已知二次函数图象交轴于点，，交轴于点，与坐标圆的第四个交点为，连结，，如图2．若，求的值．28．（2022·浙江金华·校联考模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图像，则这个新函数叫做原函数的“新生函数”．例如：图①是函数的图象，则它的“新生函数”的图象如图②所示，且它的“新生函数”的解析式为，也可以写成．(1)在图③中画出函数的“新生函数”的图像．(2)函数的“新生函数”与直线有三个公共点，求m的值．(3)已知A(－1，0)，B(3，0)，C(3，－2)，D（－1，－2)，函数的“新生函数”图像与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．29．（2020·浙江金华·统考一模）已知抛物线，，，…，（n为正整数），点A(0，1)．（1）如图1，过点A作y轴垂线，分别交抛物线，，，…，于点，，，…，（和点A不重合）．①求的长．②求的长．（2）如图2，点P从点A出发，沿y轴向上运动，过点P作y轴的垂线，交抛物线于点，，交抛物线于点，，交抛物线于点，，……，交抛物线于点，（在第二象限）．①求的值．②求的值．（3）过x轴上的点Q（原点除外），作x轴的垂线分别交抛物线，，，…，于点，，，…，，是否存在线段（i，j为正整数），使，若存在，求出i＋j的最小值；若不存在，说明理由．

第11讲中考热点04二次函数与几何结合压轴题（Ⅱ）目录：题型一：最值问题；题型二：存在性问题；题型三：特殊四边形问题；题型四：相似三角形问题；五、其他问题一、解答题题型一：最值问题1．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．(1)①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②(2)（0≤m≤3）；【分析】（1）①根据坐标与图形的性质即可求解；②利用待定系数法求解即可；（2）证明Rt△ABP∽Rt△PCM，根据相似三角形的性质得到n关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．【解析】（1）解：①∵正方形OABC的边长为3，∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y=−x2+bx+c，得，解得；（2）解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，∴Rt△ABP∽Rt△PCM，∴，即．整理，得，即（0≤m≤3）．∴当时，n的值最大，最大值是．【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点A，B，C的坐标是解题的关键．2．（2023·浙江嘉兴·统考一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即．已知二次函数的图像经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（－1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足．

(1)求L（A，B）；(2)求抛物线的表达式；(3)已知是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是图像上的两个动点，且，求面积的最大值；②当时，若函数的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．【答案】(1)4；(2)；(3)①面积最大值为；②．【分析】（1）根据题干中对于“型距离”的定义，即可求解；（2）根据二次函数经过点、、三点，所以只要求出点坐标即可：根据点在直线上运动，所以可设点，根据列方程求解出的值，利用待定系数法列方程组即可求出抛物线的表达式；（3）①根据的一边长度固定等于5，所以只要求出顶点到的最大距离即可：由所在的直线过固定点,故直线的图像是绕点旋转的直线，当直线时，点到的距离最大，此时就是的最大面积，根据三角形面积公式求解即可；②根据，可得函数的解析式：，可知函数的图像是一个开口向下，对称轴是的抛物线，由此可知函数在对称轴上取得最大值，根据可知当时有最小值，最后根据函数的最大值与最小值之和是8，从而列出方程即可求出的值．【解析】（1）解：由题意得：，；（2）点在直线上运动，设点，且由平面上两点间距离，利用勾股定理得：即，又二次函数的图像经过，，，设代入解析式得：解方程组得：抛物线的表达式为；（3）①令时，直线恒过定点直线的图像是绕点旋转的直线，当直线时，点到的距离最大，面积也最大，过点作交直线于点

由点到直线的距离，垂线段最短知：，面积的最大值为②二次函数的对称轴为二次函数的图像开口向下，当时，函数值取得最大值又当时，函数值取得最小值函数的最大值与最小值之和为8整理得：解得：实数的值为．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了对于题干中“型距离”的理解能力、以及根据“型距离”以及用待定系数法求抛物线的表达式、根据垂线段最短求三角形最大面积、根据二次函数图像的性质求函数最值等，对知识的综合性很强．根据题意灵活运用所学知识以及扎实的计算基础是解此题的关键．3．（2022·浙江丽水·统考二模）如图，已知抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．(1)若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；(3)设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．【答案】(1)，y＝x+3(2)M的坐标为（﹣1，2）(3)点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，进而求解；（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可．【解析】（1）解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），故点B的坐标为（﹣3，0），设抛物线的表达式为y＝＝，将点C坐标代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：；把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：，解得，∴直线的解析式为y＝x+3；（2）解：设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）解：设P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），则＝18，＝＝，，若点B为直角顶点时，则，即18+＝，解得t＝﹣2；若点C为直角顶点时，则BC2+PC2＝PB2，即＝18+，解得t＝4，若P为直角顶点时，则，则+＝18，解得t＝，综上，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．4．（2022·浙江丽水·统考一模）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A(4，0)，点C(0，4)．若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG:GB=3:1．(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；(2)若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EF⊥FG．已知OE=m，OF=t．①当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称．问是否存在t，使点Q恰好落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，点D的坐标为(-1，0)；(2)①当时，m有最大值，；②存在，当时点恰好落在抛物线上【分析】（1）先求得点G的坐标，再用待定系数法求解即可；（2）①证明△EOF∽△FCG，利用相似三角形的性质得到m关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；②根据轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质先后求得点R(-m，2t)，点Q(2t，-m)，代入二次函数的解析式得到方程，解方程即可求解．【解析】（1）解：∵点A(4，0)，点C(0，4)，且四边形OABC是正方形，∴OA=OC=BC=4，∵CG:GB=3:1．∴CG=3，BG=1，∴点G的坐标为(3，4)，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A(4，0)，C(0，4)，G(3，4)，代入y=ax2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4，令y=0，则-x2+3x+4=0，解得x=4或x=-1，∴点D的坐标为(-1，0)；（2）解：①∵EF⊥FG，∴∠EOF=∠GFE=∠GCF=90°，∵∠EFO+∠FEO=∠EFO+∠CFG=90°，∴∠FEO=∠CFG，∴△EOF∽△FCG，∴，即，∴m=-t2+t=-(t-2)2+，∴当t=2时，m有最大值，最大值为；②∵点A(4，0)，点C(0，4)，且四边形OABC是正方形，∴点B的坐标为(4，4)，设直线OB的解析式为y=kx，把(4，4)，代入得：4=4k，解得k=1，∴直线OB的解析式为y=x，过点R作RS⊥y轴于点S，∵点E与点R关于直线FG对称，EF⊥FG，∴RF=EF，∠RFS=∠EFO，∴△RFS≌△EFO，∴RS=EO=m，FS=FO=t，则SO=2t，∴点R的坐标为(-m，2t)，∵点R与点Q关于直线OB对称．同理点Q的坐标为(2t，-m)，把Q(2t，-m)代入y=-x2+3x+4，得：-m=-4t2+6t+4，由①得m=-t2+t，∴t2-t=-4t2+6t+4，解得，（舍去），∵，∴当时点G恰好落在抛物线上．．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、轴对称图形的性质，根据题意画出图形是解答问题的关键．5．（2022·浙江温州·二模）如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．(1)求点B的坐标．(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①求抛物线的解析式．②若点P在抛物线上，且S=4S，求点P的坐标．③设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．【答案】(1)点B的坐标为(2)①；②或；③有最大值，点的坐标为，．【分析】（1）根据对称轴和点坐标直接求出点坐标即可；（2）①先根据对称轴求出，再用待定系数法求出，即可得出解析式；②设点坐标为，根据面积关系求出的值即可；③用待定系数法求出的解析式，设出点的坐标，根据的代数式求最值即可．【解析】（1）解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，、两点关于直线对称，点的坐标为，点的坐标为；（2）解：①时，抛物线的对称轴为直线，，解得，将代入，得，解得，抛物线的解析式为；②抛物线的解析式为，抛物线与轴的交点的坐标为，，设点坐标为，，，即，，解得，当时，，当时，，点的坐标为或；③有最大值，点的坐标为，，设直线的解析式为，将，代入，得，，解得，即直线的解析式为，设点坐标为，，则点坐标为，，当时，有最大值，此时，．【点睛】本题主要考查二次函数的知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．6．（2021·浙江湖州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．(1)求圆心C的坐标与抛物线的解析式；(2)判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由；(3)若点M，N是直线y轴上的两个动点（点M在点N的上方），且MN＝1，请直接写出的四边形EAMN周长的最小值．【答案】(1)C（5，4），yx2x＋4；(2)AE是⊙C的切线，理由见解析；(3)．【分析】（1）如图1，连接CD，CB，过点C作于M．设⊙C的半径为r．在Rt△BCM中，利用勾股定理求出半径，可得点C的坐标，根据函数的对称性，得，用待定系数法即可求解．（2）结论：AE是OC的切线．连接AC，CE，由抛物线的解析式推出点E的坐标，求出AC，AE，CE，利用勾股定理的逆定理证明即可解决问题．（3）由四边形EAMN周长，可得当有最小值时，四边形周长有最小值，即当点M在线段上时，的最小值为，即可求解．(1)解：（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r，∵与y轴相切于点D（0，4），∴CD⊥OD，∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，∴四边形ODCM是矩形，∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，∵B（8，0），∴OB＝8，∴BM＝8﹣r，在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2＋BM2，∴r2＝42＋（8﹣r）2，解得r＝5，∴圆心C（5，4），∴抛物线的对称轴为x＝5，又∵点B（8，0），∴点A（2，0），则抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）（x﹣8），将点D的坐标代入上式得：4＝a×（0﹣2）×（0﹣8），解得a，故抛物线的表达式为y（x﹣2）（x﹣8）x2x＋4．(2)解：结论：AE是⊙C的切线．理由如下：连接AC，CE．当x＝5时，y，∴顶点E（5，），∵AE，CE＝4，AC＝5，∴EC2，AE2＋AC2∴EC2＝AC2＋AE2，∴∠CAE＝90°，∴CA⊥AE，∴AE是⊙C的切线．(3)解：如图3，作点A关于y轴的对称点A'（﹣2，0），过点E作EF∥MN，且EF＝MN＝1，连接A'M，A'F，MF，∵点A与点A'关于y轴对称，∴AM＝A'M，∵EF∥MN，EF＝MN，∴四边形MNEF是平行四边形，∴MF＝NE，∵四边形EAMN周长＝AE＋AM＋MN＋NEAM＋1＋MFA'M＋MF，∴当A'M＋MF有最小值时，四边形EAMN周长有最小值，∴当点M在线段A'F上时，A'M＋MF的最小值为A'F，∵EF∥MN，EF＝MN＝1，∴点F（5，），∴A'F，∴四边形EAMN周长的最小值．【点睛】本题主要考查二次函数与圆的综合运用，数形结合能提高解题效率．题型二：存在性问题7．（2022·浙江金华·校联考一模）如图，把两个全等的和分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F，抛物线经过O、A、C三点．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；(3)点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM的边AM与边BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)G点到直线OC的最大距离为，此时G(2，4)(3)存在，P点的坐标为【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求得直线OC的解析式，再利用二次函数的性质求解即可；（3）确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．【解析】（1）解：由题意：A(2，4)，C(4，2)，O(0，0)，因为抛物线y=ax2+bx+c经过点O，A，C，∴，解得，，，∴抛物线解析式为；（2）解：连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H．令G点的横坐标为m（0<m<4），则G(m，−m2+m)．设直线OC的解析式为y=kx+b，把C(4，2)，O(0，0)代入得：b=0，4k+b=2，k=，∴直线OC的解析式为y=x，则K(m，m)∴，当时，的值最大为6，此时GH的值为最大，，∴，，∴G点到直线OC的最大距离为，此时G(2，4)；（3）解：存在．如图所示，过点M作于点R，过点P作于点T．由题意：，∴MR=PT，∵AM=BP，∴．∴设点M的横坐标为t，则．由（2）知：直线OC的解析式为，则∴，当时，解得：，（不合题意，舍去）；当时，无实数解．∴，此时∴P点的坐标为．【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、相似三角形，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力．8．（2021·浙江台州·校考一模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A，B，其中点A（﹣1，0），交y轴于点C（0，2），对称轴交x轴于点M（，0）．(1)求抛物线的解析式；(2)作点C关于点M的对称点D，顺次连接A，C，B，D，判断四边形ACBD的形状，并说明理由；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)yx2x＋2(2)矩形，理由见解析(3)存在，（，）或（，）或（，5）或（，﹣5）【分析】(1)根据对称轴上的M点坐标得出B点坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)根据对角线互相平分得出四边形ABCD是平行四边形，再利用勾股定理证其中一个角是直角即可得出四边形ABCD是矩形；(3)过点D作DE⊥x轴于E，得出D点坐标，分别求出BD，AD，AB，BM，分情况利用线段比例关系求出PM的长度，即可确定P点的坐标．【解析】（1）解：∵抛物线对称轴交x轴于点M（，0），且A（﹣1，0），∴B（4，0），又∵C（0，2），∴，解得，∴抛物线的解析式为：yx2x＋2；（2）解：四边形ABCD为矩形，理由如下：∵点M是AB的中点，也为CD的中点，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC，BC，AB=5，∴AC2＋BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴四边形ABCD是矩形；（3）解：由题知，抛物线的对称轴为直线x，过点D作DE⊥x轴于点E，∵四边形ABCD是矩形，∴，∴，∵DE⊥x，，∴，∴，∴DE=OC，AO=BE，∵OC=2，AO=1，∴DE=OC=2，AO=BE=1，∴OE=5-1-1=3，∴OM=ME，∴D（3，﹣2），又∵BD，AD2，AB=5，BM，∠BDA=90°，且点P在对称轴上，∴∠BMP=90°，即∠BDA=∠BMP=90°，当时，△BMP∽△ABD，即，解得PM，则P（，）或（，），当时，△BPM∽△ABD，即，解得PM=5，则P'（，5）或（，﹣5），综上，符合条件的P点坐标为（，）或（，）或（，5）或（，﹣5）．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．9．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．

(1)如图2，若抛物线经过原点．①求该抛物线的函数表达式；②求的值．(2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由．【答案】(1)①；②(2)能，或或或．【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；②过点作于点．设直线为，把代入，得，解得，直线为．同理，直线为．联立两直线解析式得出，根据，由平行线分线段成比例即可求解；（2）设点的坐标为，则点的坐标为．①如图2-1，当时，存在．记，则．过点作轴于点，则．在中，，进而得出点的横坐标为6．②如图2-2，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．③如图，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．④如图2-4，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．【解析】（1）解：①∵，∴顶点的横坐标为1．∴当时，，∴点的坐标是．设抛物线的函数表达式为，把代入，得，解得．∴该抛物线的函数表达式为，即．②如图1，过点作于点．

设直线为，把代入，得，解得，∴直线为．同理，直线为．由解得∴．∴．∵，∴．（2）设点的坐标为，则点的坐标为．①如图，当时，存在．记，则．∵为的外角，∴．∵．∴．∴．∴．过点作轴于点，则．在中，，∴，解得．∴点的横坐标为6．

②如图2-2，当时，存在．记．∵为的外角，∴．∴∴．∴．过点作轴于点，则．在中，，∴，解得．∴点的横坐标为．

③如图2-3，当时，存在．记．

∵，∴．∴．∴．∴．过点作轴于点，则．在中，，∴，解得．∴点的横坐标为．④如图2-4，当时，存在．记．∵，∴．

∴．∴．过点作轴于点，则．在中，，∴，解得．∴点的横坐标为．综上，点的横坐标为．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键．10．（2020·浙江·统考中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．(1)如图1，当AC∥x轴时，①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式；②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．(2)如图2，若b＝﹣2，＝，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)①y＝﹣x2﹣2x+1；②证明见解析；(2)存在这样的点A，A(﹣，)【分析】(1)①由点A(﹣2，1)得到C(0，1)，利用待定系数法即可求解；②作DE⊥x轴于E，交AB于点F，利用顶点坐标及点C的坐标求得DF＝，利用“AAS”证得△AFD≌△BCO，得到DF＝OC，即可证得结论；(2)由题意知顶点坐标D(﹣1，c+1)，设点A(m，﹣m2﹣2m+c)，利用“AAS”证得△AFD≌△BCO，作如图的辅助线，证得△ANF∽△AMC，结合已知＝，求得，利用比例线段即可求解．【解析】(1)①∵AC∥x轴，点A(﹣2，1)，∴C(0，1)，将点A(﹣2，1)，C(0，1)代入抛物线解析式中，得：，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1；②如图1，过点D作DE⊥x轴于E，交AB于点F，∵AC∥x轴，∴EF＝OC＝c，∵点D是抛物线的顶点坐标，∴D(，)，∴DF＝DE﹣EF＝＝，∵四边形AOBD是平行四边形，∴AD＝OB，AD∥OB，∴∠DAF＝∠OBC，∵∠AFD＝∠BCO＝90°，∴△AFD≌△BCO(AAS)，∴DF＝OC，∴＝c，即b2＝4c；(2)如图2，∵b＝﹣2．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c，∴顶点坐标D(﹣1，c+1)，假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形，设点A(m，﹣m2﹣2m+c)(m＜0)，过点D作DE⊥x轴于点E，交AB于F，∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO，∵四边形AOBD是平行四边形，∴AD＝BO，AD∥OB，∴∠DAF＝∠OBC，∴△AFD≌△BCO(AAS)，∴AF＝BC，DF＝OC，过点A作AM⊥y轴于M，交DE于N，∴DE∥CO，∴△ANF∽△AMC，∴＝，∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1，∴，∴，∴点A的纵坐标为﹣(﹣)2﹣2×(﹣)+c＝c﹣＜c，∵AM∥x轴，∴点M的坐标为(0，c﹣)，N(﹣1，c﹣)，∴CM＝c﹣(c﹣)＝，∵点D的坐标为(﹣1，c+1)，∴DN＝(c+1)﹣(c﹣)＝，∵DF＝OC＝c，∴FN＝DN﹣DF＝﹣c，∵＝，∴，∴c＝，∴c﹣＝，∴点A纵坐标为，∴A(﹣，)，∴存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等，求得D的坐标是解题的关键．11．（2019·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA,OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线的顶点．（1）当时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．【答案】（1）好点有：，，，和，共5个；（2），和；（3）.【分析】（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可；（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题；（3）如图3中，抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时Dm的值，即可判断．【解析】解：（1）当时，二次函数的表达式为画出函数图像（图1）图1当时，；当时，抛物线经过点和好点有：，，，和，共5个（2）当时，二次函数的表达式为画出函数图像（图2）图2当时，；当时，；当时，该抛物线上存在好点，坐标分别是，和（3）抛物线顶点P的坐标为点P支直线上由于点P在正方形内部，则如图3，点，图3当顶点P支正方形OABC内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF有交点（点F除外）当抛物线经过点时，解得：，（舍去）当抛物线经过点时，解得：，（舍去）当时，顶点P在正方形OABC内，恰好存在8个好点【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题．12．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足为直角，且使．(1)求线段OC的长；(2)求该抛物线的函数关系式；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，，，，【分析】（1）令抛物线中，可得出、的坐标．再由已知证明，得出，从而求出的长度，（2）设，则，在中，可求出的值，继而就可得出，过点作于点，然后利用解直角三角形的知识，可求出点的坐标，代入可得出二次函数解析式．（3）设出点坐标，用坐标系两点间距离公式表示出和的长，分和两种情况，分别列方程即可求出点坐标．【解析】（1）解：由得，．、两点坐标分别为：，．由知，．又，，，．．线段的长为．（2）解：由（1）知，，，设，则由得解得，（舍去），过点作于点，的坐标为将点的坐标代入抛物线的解析式得抛物线的函数关系式为：．（3）由（2）可知抛物线，抛物线的对称轴，设P点坐标为，的坐标为，的坐标．故：，，，若等腰三角形中，，即：，解得：，此时P点坐标为：，，若等腰三角形中，，即：，解得：，此时P点坐标为：，，综上所述：在抛物线的对称轴上存在一点P，使得是以BC为腰的等腰三角形，符合条件的点P的坐标为：，，，．【点睛】本题考查了二次函数的知识，其中涉及了数形结合问题，由抛物线求二次函数的解析式，用几何中相似三角形的性质求点的坐标等知识．注意这些知识的综合应用．13．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于另一点D，直线与相交于点M．(1)已知点C的坐标是，点B的坐标是，求此抛物线的解析式；(2)若，求证：；(3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线上一点，是否存在这样的点P，使得是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)证明见解析(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出当时，抛物线的解析式为，由此求出，再求出，求出直线的解析式为，设直线与y轴交于点E，则，得到，则，同理得，从而得到，即可证明；（3）如图所示，连接，求出抛物线对称轴为直线，则，推出，求出直线的解析式为，设，然后分当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，证明，得到，解方程即可；当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，同理可得，解方程即可．【解析】（1）解：把，代入得：，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：∵，∴抛物线解析式为，令，则，解得或，∴，∴抛物线对称轴为直线，∵轴，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，设直线与y轴交于点E，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如图所示，连接，∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴；∵，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，设，当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，，∴，解得（负值舍去）；当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，同理可得，∴，∴，，∴，解得（负值舍去）；综上所述，或．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．14．（2022·浙江丽水·校联考三模）定义：对于抛物线，把它在轴下方的部分图形作关于轴的轴对称图形，所得的图形称为的“型曲线”．如图为的“型曲线”，与轴的交点为，，与轴的交点为，与对称轴的交点为，有轴．(1)求的值．(2)若直线与的“型曲线”有且只有三个公共点，求的值．(3)在的“型曲线”是否存在点，使得，若存在，求点的横坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，点的横坐标是，，【分析】（1）求出点的坐标为(，)以及点的坐标为(，)，利用轴，列出方程即可求解；（2）当直线过点时；当直线与段抛物线一个交点时，两种情况，画出图形求解；（3）过作，交抛物线于点，过作交的延长线于点，证得，求得点，得到直线OE的解析式，与“型曲线”的解析式联立求得交点；再延长到，使得，过点作垂直于抛物线的对称轴直线于点，连接，则，求得点点的坐标，得到直线ON的解析式，然后与“型曲线”的解析式联立求得交点即可．（1）解：中，令，则，点的坐标为(，)，对称轴直线为，，由题意可得，点的坐标为(，)，∵轴，∴，解得．此时．（2）当直线过点时，令，则，解得，∴，∴．当直线与段抛物线一个交点时，可得，即，由，解得∴的值是或．（3）由（1）知，当时，点的坐标为(，)，∴，∵点的坐标为(，)，∴，过作，交抛物线于点，过作交的延长线于点，则，∴，，∴∴，∴∵，∴，解得，，∴，∴点，∴直线的解析式为：，令，解得；令，解得；延长到，使得，过点作垂直于抛物线的对称轴直线于点，连接，则，∴，，∴点横坐标为，纵坐标为，∴点的坐标为(，)，∴直线的解析式为：，当，解得．综上可得，点的横坐标是，，．【点睛】本题是一道二次函数的综合题目，涉及到相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的解析式等，数形结合的思想是解决问题的关键．15．（2019·浙江杭州·模拟预测）如图，已知抛物线经过，，三点．过点作垂直于轴的直线．在抛物线上有一动点，过点作直线平行于轴交直线于点．连接．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点，使得以三点构成的三角形与相似．如果存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由（3）当点位于抛物线的对称轴的右侧．若将沿对折，点的对应点为点．求当点落在坐标轴上时直线的解析式．【答案】（1）；（2）存在，，，，，，；（3），，【分析】（1）将，，分别代入抛物线，列出方程组，即可求出函数解析式．（2）当在下方时，令，，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；当在y轴左侧和上方时，令，，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；（3）画出函数图形，利用三角形相似，求出点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式．【解析】解：（1）将，，分别代入抛物线得，，解得，函数解析式为．（2）在下方时，令①，，即，由于，则有，解得（舍去）或，此时，，点坐标为，．②，，即，由于，则有，解得，（舍去）或，点坐标为．③在y轴左侧时，令，，即，，，解得，（舍去）或，点坐标为．④P在l上方时，，，即，解得，（舍去）或，点坐标为，．（3）①如图（1），若对称点在轴，则，设解析式为，则或，当时，把代入得，当时，把代入得，此时在对称轴右侧，符合题意，，或；②如图（2），若对称点在轴，设点，，则，．则有，，，，，解得：，，中，由勾股定理得，，解得，，均在抛物线对称轴的右侧，故点的坐标为或．设一次函数解析式为，把，，分别代入解析式得，解得，函数解析式为．把，，分别代入解析式得，解得，函数解析式为．综上所述，函数解析式为，，．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法、二次函数解析式、相似三角形的性质、翻折变换、待定系数法求一次函数解析式等，题目错综复杂，涉及知识面广，旨在考查逻辑思维能力．题型三：特殊四边形问题16．（2020·浙江杭州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，抛物线顶点坐标是（2，﹣1）；（2）P（，）；（3）抛物线平移的距离为．【分析】（1）由抛物线的对称性质得到点B的坐标，把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出方程组，通过解方程组求得系数的值；根据抛物线解析式求得顶点坐标；（2）过点P作PN⊥x轴于N，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，构造矩形COMN和直角三角形，利用锐角三角函数的定义求得，故设PM=a，MC=3a，PN=3-a．易得P（3a，3-a），由二次函数图象上点的坐标特征列出关于a的方程，通过解方程求得a的值，易得点P的坐标；（3）设抛物线平移的距离为m，得y=（x-2）2-1-m．从而求得D（2，-1-m）．过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ延长线于点F．易推知∠EOD=∠QDF，则tan∠EOD=tan∠QDF，根据锐角三角函数定义列出关于m的方程，通过解方程求得m的值．【解析】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0），∴点B的坐标是（3，0）．将A（1，0），B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c，得．解得．则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1知，该抛物线顶点坐标是（2，﹣1）；（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于N，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，∵∠CON＝90°，∴四边形CONM是矩形．∴∠CMN＝90°，CO＝MN、∴y＝x2﹣4x+3，∴C（0，3）．∵B（3，0），∴OB＝OC＝3．∵∠COB＝90°，∴∠OCB＝∠BCM＝45°．又∵∠ACB＝∠PCB，∴∠OCB﹣∠ACB＝∠BCM﹣∠PCB，即∠OCA＝∠PCM．∴tan∠OCA＝=tan∠PCM．∴．故设PM＝a，MC＝3a，PN＝3﹣a．∴P（3a，3﹣a），将其代入抛物线解析式y＝x2﹣4x+3，得（3a）2﹣4（3﹣a）+3＝3﹣a．解得a1＝，a2＝0（舍去）．∴P（，）．（3）设抛物线平移的距离为m，得y＝（x﹣2）2﹣1﹣m．∴D（2，﹣1﹣m）．如图2，过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ延长线于点F，∵∠OED＝∠QFD＝∠ODQ＝90°，∴∠EOD+∠ODE＝90°，∠ODE+∠QDP＝90°．∴∠EOD＝∠QDF．∴tan∠EOD＝tan∠QDF，∴．∴．解得m＝．故抛物线平移的距离为．【点睛】要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．17．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1

（2）（，）；

（3）Q，R或Q（，﹣10），R（）【分析】（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，则可得出答案；（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函数的性质可得出答案；（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，﹣），设Q（，m），分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（0，1），B（，0），设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，∵点F的横坐标为，∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，∴F点的坐标为（，﹣），又∵点A在抛物线上，∴c＝1，对称轴为：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，∵四边形DBFE为平行四边形．∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣n+1），∴PP'＝﹣n2+n，S△ABP＝OB•PP'＝﹣n＝﹣，∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．（3）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），设Q（，m），①当AQ为对角线时，∴R（﹣），∵R在抛物线y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；②当AR为对角线时，∴R（），∵R在抛物线y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．18．（2019·浙江绍兴·统考模拟预测）如图1，抛物线过、两点，交轴于点，过点作轴的平行线与抛物线上的另一个交点为，连接、．点是该抛物线上一动点，设点的横坐标为．（1）求该抛物线的表达式和的正切值；（2）如图2，若，求的值；（3）如图3，过点、的直线与轴于点，过点作，垂足为，直线与轴交于点，试判断四边形的形状，并说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为；；（2）点的横坐标的值为；（3）四边形是平行四边形．理由见解析．【分析】（1）由点A、B坐标利用待定系数法求解可得抛物线解析式为，作BG⊥CA，交CA的延长线于点G，证△GAB∽△OAC得，据此知BG=2AG．在Rt△ABG中根据BG2+AG2=AB2，可求得．继而可得，根据正切函数定义可得答案；（2）作BH⊥CD于点H，交CP于点K，连接AK，易得四边形OBHC是正方形，应用“全角夹半角”可得AK=OA+HK，设K（4，h），则BK=h，HK=HB-KB=4-h，AK=OA+HK=2+（4-h）=6-h．在Rt△ABK中，由勾股定理求得h=，据此求得点K（4，）．待定系数法求出直线CK的解析式为y=-x+4．设点P的坐标为（x，y）知x是方程x2-3x+4=-x+4的一个解．解之求得x的值即可得出答案．（3）先求出点D坐标为（6，4），设P（m，m2-3m+4）知M（m，4），H（m，0）．及PH=m2-3m+4），OH=m，AH=m-2，MH=4．①当4＜m＜6时，由△OAN∽△HAP知．据此得ON=m-4．再证△ONQ∽△HMQ得．据此求得OQ=m-4．从而得出AQ=DM=6-m．结合AQ∥DM可得答案．②当m＞6时，同理可得．【解析】（1）将点和点分别代入，得，解得：．∴该抛物线的解析式为．过点作，交的延长线于点（如图1所示），则．∴．在中，，∴．解得：．∴．在中，．（2）如图2①，方法一：过点作于点，∴，则，即，解得或m=0（舍）；方法二：如图2②，过点作于点，交于点，连接．易得四边形是正方形．应用“全角夹半角”可得．设，则．在中，由勾股定理，得．∴．解得．∴点．设直线的解析式为．将点代入上式，得．解得．∴直线的解析式为．设点的坐标为，则是方程的一个解．将方程整理，得．解得，（不合题意，舍去）．将代入，得．∴点的坐标为，故点的横坐标的值为．（3）四边形是平行四边形．理由如下：∵轴，∴．将代入，得．解得．∴点．根据题意，得．．①当时，，如图3，．．．．．．又，∴四边形是平行四边形．②当时，同理可得：四边形是平行四边形．综上，四边形是平行四边形．【点睛】此题考查二次函数的综合问题，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及勾股定理、三角函数．19．（2019·浙江宁波·统考模拟预测）矩形对角线的四等分点叫做矩形的奇特点．如图，在平面直角坐标系中，点，为抛物线上的两个动点（在的左侧），且轴，以为边画矩形，原点在边上．（1）如图1，当矩形为正方形时，求该矩形在第一象限内的奇特点的坐标．（2）如图2，在点，的运动过程中，连结交抛物线于点．①求证：点为矩形的奇特点；②连结，若，抛物线上的点为矩形的另一奇特点，求经过，，三点的圆的半径．【答案】（1），；（2）①见解析；②半径为【分析】（1）根据抛物线的解析式，把C点左边表示成，则，当矩形为正方形时，根据解出a，即可得到答案.（2）①先把矩形在第一象限上的奇特点找出来，证明可表示成，再结合抛物线的解析式，可证明.②根据是奇特点，证，由对称性得到由对称性，，D得到，，，四点共圆，且为直径，根据三角函数可求出半径.【解析】（1）设，则，因为是矩形，易证，，当矩形为正方形时，，解得，∴，，，∴易得矩形在第一象限内的奇特点的坐标为，．（2）①证明：设，则，∴矩形在第一象限上的奇特点为，又在抛物线上，∴为与抛物线的交点，即：点为矩形的奇特点．②由是奇特点，设，．可以得到：，，∴，由对称性，，∴，，，四点共圆，且为直径，∴，∴，∴，即半径为．【点睛】本题主要考查了对新给概念的理解，在理解新概念的基础上做题，结合抛物线和圆为背景，利用矩形和正方形的性质，运用三角函数的知识是解题的关键.20．（2017·浙江金华·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，顶点坐标（，﹣）；（2）PB+PD的最小值为；（3）①5;②取值范围是【分析】二次函数的表达式有三种方法，这题很明显可以用顶点式以及交点式更方便些；这一题根据边的关系得出∠ABO=30°非常重要，根据在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半把所要求的边转化，再根据点到直线垂线段最短求得最小值；第三问ABMN组成菱形，只有AB是定点，所以要讨论AB是邻边还是对角线；最后一问与圆的知识相结合，有一定的难度，主要根据∠ABO=30°，AB=2是定值，以AB的垂直平分线与y轴的交点为圆心F，以FA为半径，则弧AB所对的圆周角为60°，与对称轴的两个交点即为t的取值范围.【解析】（1）方法一：设二次函数的表达式为，B（0，-）代入解得∴∴顶点坐标为方法二：也可以用三点式设代入三点或者顶点式设代入两点求得．如图，过P点作DE⊥AB于E点，由题意已知∠ABO=30°.∴∴要使最小，只需要D、P、E共线，所以过D点作DE⊥AB于E点，与y轴的交点即为P点.由题意易知，∠ADE=∠ABO=30°，,①若A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，分两种情况，由题意知，AB=2，若AB为边菱形的边，因为M为抛物线对称轴上的一点，即分别以A、B为顶点，AB的长为半径作圆与对称轴的交点即为M点，这样的M点有四个，如图若AB为菱形的对角线，根据菱形的性质，作AB的垂直平分线与对称轴的交点即为M点.综上所述，这样的M点有5个，所以对应的N点有5个.②如图，作AB的垂直平分线，与y轴交于F点．由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°∴以F为圆心，AF的长为半径作圆交对称轴于M和M'点，则∠AMB=∠AM'B=∠AFB=60°∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1∴∠FAO=30°，AF==FM=FM'，OF=，过F点作FG⊥MM'于G点，已知FG=∴，又∵G∴M（，M'∴方法二：设M，M到点F的距离d=AF=也可求得．【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定解析式，学会利用垂线最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题.题型四：相似三角形问题21．（2022·浙江嘉兴·校考一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)P1（1，10.5），P2（7，4.5）(3)存在，（3，8）或或（3，11）【分析】（1）直接将A（﹣2，0）和点B（8，0）代入y＝x2+bx+c（a≠0），解出b，c的值即可得出答案；（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．【解析】（1）解：∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，0）和点B（8，0），∴∴抛物线解析式为：；（2）解：当x＝0时，y＝8，∴C（0，8），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+8，∵，∴14过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设，∴F（t，﹣t+8），∴，∴，即，∴t1＝1，t2＝7，∴P1（1，10.5），P2（7，4.5）；（3）解：存在，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）．∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，∴△OBC为等腰直角三角形，抛物线的对称轴为，∴点E的横坐标为3，又∵点E在直线BC上，∴点E的纵坐标为5，∴E（3，5），设，①当MN＝EM，∠EMN＝90°，△NME∽△COB，则，解得或（舍去），∴此时点M的坐标为（3，8），②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，则，解得：或（舍去），∴此时点M的坐标为；③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，此时△MNE与△COB相似，此时的点M与点E关于①的结果（3，8）对称，设M（3，m），则m﹣8＝8﹣5，解得m＝11，∴M（3，11）；此时点M的坐标为（3，11）；故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）．【点睛】本题是一道综合题，涉及二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．22．（2021·浙江金华·统考一模）如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0<m<8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当△PMN的周长是△AOB周长的时，求m的值；(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为30°，连接E′A、E′B，在平面直角坐标系内找一点Q，使△AOE′∽△BOQ，并求出点Q的坐标．【答案】(1)(2)m＝4(3)．【分析】（1）把点（8，0）代入y=ax2-6ax+6（a≠0），求得a的值即可；（2）先求出点B的坐标，根据待定系数法可求出直线AB的解析式为；根据题意可证明△PNM∽△ABO，根据相似比可求出PN=6．由E（m，0）（0<m<8），可知P，，所以，OE=m，AE=8-m，求出，进而可求出m的值．（3）由旋转可知，△AOE'∽△BOQ，所以OE′：OA=OQ：OB，∠BOQ=∠AOE′=30°，则可求出OQ=6．如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，所以，，进而可求出Q的坐标．【解析】（1）把（8，0）代入y＝ax2﹣6ax+6（a