六年奥数体系

第一讲分数的速算与巧算

教学目标

本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.

1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握

裂项技巧及寻找通项进行解题的能力

2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数

与分数的主要利用运算定律进行简算的问题.

4、通项归纳法

通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，

使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的•般形式.

知识点拨

一、裂项综合

(一)、“裂差”型运算

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即」一形式的，这里我们把较小的数写在前面，即。＜。，

axb

那么有」一=」一(！_，)

cixbb-aab

(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

，

〃x(〃+1)x(n+2)nx(〃+1)x(〃+2)x(〃+3)

-----------------二"[---------(n+l)(n+2)]

〃x(〃+l)x(拉+2)2〃X(M+1)

〃x(〃+1)K(〃+2)x(〃+3)3〃x(〃+1)x(〃+2)(n+1)x(w+2)x(n+3)

裂差型裂项的三大关键特征：

(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x

提取出来即可转化为分子都是1的运算。

(2)分母上均为儿个自然数的乘积形式，并月.满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

(3)分母上几个因数间的差是一个定值。

(二)、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

axhaxbaxbbaaxbaxbaxbba

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,

同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项

⑴Ix2+2x3+3x4+…+(拄-l)x〃=l(〃-l)x〃x(〃+l)

(2)1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+(〃一2)x-1)x〃=—(〃一2)(〃一l)n(n+1)

4

二、换元

、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换

元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简.

三、循环小数化分数

1、循环小数化分数结论:

纯循环小数混循环小数

循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字

分子循环节中的数字所组成的数

所组成的数的差

按循环位数添9,不循环位数添0,组成分母，其中9在0

分母n个9,其中n等于循环节所含的数字个数

的左侧

a,ab,ab1ab_abc-a

AO.a=-；0A.cib=—；0A.0cib=—x—=---；O.ncibc--------

9999910990990

2、单位分数的拆分:

11111111

例:——------1--------------1----------------1--------------T--------=--------1-------

1020200()00()0()()

分析：分数单位的拆分，主要方法是：

从分母N的约数中任意找出两个m和n,有:

11(m+n)mn11

-----+-----+

NN(m+〃)N(jn+n)N(m+n)AB

本题10的约数有：1,10,2,5.o

例如：选1和2,有：

11(1+2)

1010(1+2)10(1+2)10(1+2)3015

本题具体的解有：

111111111

—=—+---=—-|----=—+—=—+—

1011110126014351530

例题精讲

模块一、分数裂项

111

[例1]+++...+----------+------------

1x2x3x42x3x4x53x4x5x66x7x8x97x8x9x10

原式='x111

【解析】+…+

31x2x32x3x42x3x43x4x57x8x98x9x10

4X(^X38X91X10119

2160

333

【巩固】--------------------1-----------------------F.......4-----------------------------

Ix2x3x42x3x4x517x18x19x20

11111

【解析】原式=3xx(.---------------------------------1-----------------------------------p-I--------------------------------------------)]

1x2x32x3x42x3x43x4x5…17x18x1918x19x20

113x19x20-11139

1x2x318x19x2018x19x206840

5719

[例2]计算:--------1--------1—•H

1x2x32x3x4------8x9x10

【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不

相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2.相比较于2,4,6,这•公差为2的等差

数列（该数列的第〃个数恰好为〃的2倍），原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以

可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算.

3+23+43+16

原式=-------+--------+…+--------

1x2x32x3x48x9x10

11128

=3x--------F-------+…H+2x--------F-------+,•,+

1x2x32x3x4------8x9x101x2x32x3x4------8x9x10

11

+2x-----1------F…+

2x33x49x10

也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2〃+3,所以

2/1+323

-----------------=----------------1------------------再将每项的

及x(〃+1)x(〃+2)(〃+1)x(〃+2)〃x(〃+1)x(〃+2)

23

与分别加在一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相

(几+1)x(〃+2)

同.

571719、

【巩固】计算：1155x(

2x3x43x4x58x9x109x10x11

571710

【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：--—+--—+…+―-—+―--.这个

2x3x43x4x58x9x109x10x11

算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每•项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相

同、或分子是分母的差或和的情况.所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的

形式.

观察可知5=2+3,7=3+4,即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以

571719

--------------4----------------+…+------------------1--------------------

2x3x43x4x58x9x109x10x11

2+33+49+10

----------------1----------------H-----+-------------------

2x3x43x4x59x10x11

111111

-----1------------J-----+•••++-----

3x42x44x53x5------10x119x11

111111

-----+------+…++----H------F…+

3x44x510x112x43x59x11

111111111

+—X--------1-------------1------------+,,•+--------------1--------

4510112243546810911

11111812831

+—x------+---1—x—4--

221031133253355

31

所以原式=1155x—=651.

55

34512

【巩固】计算:+++…H------------------------------

Ix2x4x52x3x5x63x4x6x710x11x13x14

【解析】观察可知原式每•项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以

先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数.即：

324252122

原式=+++…4-------------------------------------

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性,

可以用平方差公式：32=1x5+4,42=2x6+4,52=3x7+4……

324252122

【解析】原式=++…+

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

1x5+42x6+43x7+410x14+4

--------------1---------------1--------------+…+------------------

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

111

--------1---------1--------+…4---------------------

2x3x43x4x54x5x611x12x13

4444

4-+4-+…+----------------------

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

111111

=­x2^3-3^4+374-475++11x12-12x13

2

+-----------------------------------------------1-------------------------------------------------F•••H--------------------------------------------------------------

Ix2x3x42x3x4x52x3x4x53x4x5x610x11x12x1311x12x13x14

11111

=­x+

22x312x13Ix2x3x411x12x13x14

177+1

+------

122x12x132411x12x13x14811x12x13x1482x11x14

1175

8308616

2349

[例3]—+--------+------------十+…+

22x32x3x42x3x4x52x3x4…xlO

原式=白+二一+―--+49

【解析】+…H---------------------

22x32x3x42x3x4x52x3x4…xlO

2-13-14-110-1

=----1-----1-------+…+

22x32x3x42x3x4…xlO

11

1—।------------------1-------------------------------+…+

222x32x32x3x42x3x4…x92x3x4…x9xl0

13628799

1-

2x3x4…x9xl03628800

111

[例4]—I-----------1--------------------F4-----------------------------

11+21+2+31+2+…+100

【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简

单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公

22

式的代入有-=

1(l+l)xl1x21+2(1+2)X22X3

22

2222「「1.200,99

原式=-----1------------1------------F.........+=2x(1-------)=-----=1-----

1x22x33x4100x101101101101

23450

【巩固】+++…+

lx(l+2)(1+2)x(1+2+3)(1+2+3)x(1+2+3+4)(l+2+3+--+49)x(l+2+3+・・・+50)

23450

原式=—+—+=一+---H----1-

1x33x66x1010x151225x1275

/」）+（，」）+_____L）=1ZZ£

1336610122512751275

234100

【巩固】+++…+

lx(l+2)(1+2)x(1+2+3)(1+2+3)x(1+2+3+4)(1+2+…+99)x(1+2+…+100)

211311

【解析】

lx(l+2)11+2(l+2)x(l+2+3)1+21+2+3

100

,所以

(l+2+—+99)x(l+2+・・・+100)1+2+・・・+991+2+---+100

1

原式=1一

1+2+…+100

15049

1-

50505050

310

【巩固】1__Z_

lx(l+2)(l+2)x(l+2+3)(1+2+3+…+9)x(1+2+3+…+10)

23410

【解析】原式=1—(=+'+'一+…+)

1x33x66x1045x55

j_++J__[

104555

1

55

111111

[例5]-1—；+-rH—；H7----1---;---

32-152-172-192-1112-1132-1

【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：/一/二（。一b）X（4+b）,

原式=(----)+(-----)+(-----)+(-----)+(-"-(--1-2--x-14)

2x44x66x88x1010x12

++++J____-+—8

244668810101212

W)13

x—=一

214

计算:P25715

【巩固】H----1-------

22X32+2X2

3472X82

百一22-1232-2242-3282-72

【解析】原式=­；——;—7—?—r+•••+

12X2222X3232X4-72X82

.11111J____1_

+＞一?_+¥*+…+

22不一事

63

64

■ch、、-32+152+172+119932+119952+1

【巩固】计算：--+--+--+…+---------;---------1------------;-------

32-152-172-19932-119952-1

【解析】原式=11+?匕2

+…+1+l+

+"岛19932T^i

222

=997+-----1-----F•••+

2x44x61994x1996

1111997

=997+2-4+4-6+，，，+=997+=997----

199419962-19961996

I22232502

【巩固】计算:-----1-----H-------F…+

1x33x55x7------99x101

【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变

为22-1,42-1,62-1,,1002-1,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子

的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了.

1(2242621002

原式=—X+…H----；---

4，\22-142-162-11002-l

x1+j+3+―+…+1+上

422-142-162-11002-1

=-x|50+—!—+-L+-L+-

41x33x55x799x101

111

lx5。+'I—+..•+

423355799101

1“50S63

=-x50+-=-x50—=12—

424101101

2x24x46x68x810x10

【巩固】----+-----H------+-----H--------

1x33x55x77x99x11

1

【解析】(法1)：可先找通项a=—7—=1+—T--=1+

〃n2-l/_](n-l)x(n+1)

原式=(1+-^―)+(1+-^―)+(1+—!―)+(1+-^-7)+(1+77^7)

1x33x55x77x99x11

「1八1、「5「5

=5+—x(1----)=5+—=5—

2111111

八十八—八2、，88、1818、3232、5050、

(法2)：原式=(2)+(------)+(z----------)+(z----------)+(z----------)

3355779911

「610141850A,5

=2H----1------1------1----------=110-4—=5—

3579111111

11

［例6］3•+一

3+…+___________1999___________

；)x(】+g)；康)

1+(1+0+)x(l+g)x…x(l+

2

11

2

［解析］—；-------产-------〃+1=2x(----------)

1)〃+2(〃+1)(〃+2)〃

(l+-)x(l+)x-..x(l++1n+2

3n+1~2~

原式=(1-1)(1-1)...(.111999

++++)x2=l-

2334451999200010001000

【巩固】计算：」一+―?—1

1++...------------------

1+21+2+31+2+...2007

12』

【解析】先找通项公式为==2(

1+2+…〃nx(n+1)nn+1

1

原式=1+-------------------1--------------------1_...--------------------------------

2x(2+l)3x(3+l)2007x(2007+1)

222

222220072007

=-------+-----------F----------F•••4----------------------2x

1x22x33x42007x200820081004

1111

【巩固】—I-----------1-------------------F…H--------------------------------

33+53+5+73+5+7+…+21

1

【解析】先找通项：%=

3+5+•••+(2/7+1)；x(2〃+1+3)x〃〃(及+2)

111111

原式=-------+---------+--------+-----------!-•••+-----------1-------------

1x32x43x54x69x1110x12

11111

-----+------+…+-----+------+・••+---------

1x33x5---------9x112x44x610x12

-2

■ZKIIri1+21+2+31+2+3+41+2+3+・・・+50

［例7］-----x-----------x---------------X•••X

22+32+3+42+3+…+50

(1+〃)x〃

nx(n+l)

【解析】找通项2

(1+〃)x〃HX(H+1)-2

--------------1

2

2x33x44x55x62x33x44x55x6

原式=____x____x____X____v«..—____x____x____x____x***

41018281x42x53x64x7

通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有

心』2x33x44x55x648x4949x5050x51350c23

厚式=----x------x------x------x•••xxX=—x——=2——

1x42x53x64x747x5048x5149x5215226

I2I2+22I2+22+32I2+22+32+42I2+22+...+262

■+-+——

I3l3+23l3+23+33l3+23+33+43…I3+23+...+263

/?x(/i+l)x(2n+l)

I2+22+...+/12622〃+l211

【解析】a„_______v________—x________——x(Z__卜______

l3+23+...+n3n2x(〃+I)?3nx(n+1)3nn+1

4

Hi2-I1、.11、112x(l-±)=^

原式=§'[('+5)_(5+3)+(5+^)-(—+—)]=

262732781

【巩固】

,,1(〃+1>5+1)2

【解析】1H------------------=-----------------=-----------------

(l+1)2-1(”+1)2-1nx(n+2)

原式=2x2*3x3x，“98x98乂99x99

(2+l)x(2-l)(3+1)x(3—1)(98+1)x(987)(99+l)x(99-l)

2x23x34x45x598x9899x99299149

—____x____x____x____X••♦x______x_______=-x-1

-3x14x25x36x499x97100x98-1100~50

2232992

[例9]计算:———X———X---X--——

22-132-1992-1

..一(71+1)2(n+1)2

(解析】通项公式：an="——----------=A-~L-,

+1+l)(n+1-1)w(〃+2)

原式

2x23x34x498x9899x99

=--------------------X---------------------X---------------------X…X------------------------X------------------------

(2+1)x(2-1)(3+1)x(3-1)(4+1)x(4—1)(984-1)x(98-1)(994-1)x(99-1)

2x23x34x45x598x9899x99

=____x____X____X____x,••Xx

3x14x25x36x499x97100x98

2233449898999929999

=—X—X—X—X—X—X••,XXXX-----=—X-----=

132435979998100110050

I222992

【巩固】计算:-----------------------11■…H

I2-100+500022-200+5000---------992-9900+5000

【解析】本题的通项公式为F-------------,没办法进行裂项之类的处理.注意到分母

n2-100/1+5000

n2-100M+5000=5000-n(100-«)=5000-(100-n)[100-(100-M)],可以看出如果

把“换成100-n的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下

-个、5。。,将项数和为100的两项相加，得

502-5000+5000

“2_________(100i『___________"2+(100-.)2_2--200〃+10000

M2-I00«+5000(i00-H)2-100(100-n)+5000-/-100"+5000-n2-1()0»+5000

所以原式=2x49+1=99.(或者，可得原式中99项的平均数为1,所以原式=1x99=99)

【例10]24x(」一+」一++备)一(3+*+…+12+22：..+IO2.

<2x34x5

【解析】虽然很容易看出一!一=L-‘，—!—=!-1……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为

2x3234x545

这不象分数裂项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子，每•项的分母容易让我们想到公

1_________=________6________

式，于是我们又有——7减号前而括号里的式

I2+22+32+…+〃27?x(H+1)x(2n+1)

子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？

111

24x-----F+…+--+-------+…+

2x34x520x21I212+22I2+22+---+102

1111

=24x+----+…+-6x--------+---------+…+

2x34x520x211x2x32x3x510x11x21

11111

24x-----1-----+,・•+-24x--------1--------+…+

2x34x520x212x4x34x6x520x22x21

11111

=24x++…+

2x32x4x34x54x6x520x2120x22x21

111111

24x+4x6+•••+6x+…+

2x420x2217?+27310x11

60

6xrnIT

模块二、换元与公式应用

【例11］计算:13+33+53+73+93+113+133+153

【解析】原式+23+33+43+---+143+153-(23+43+---+143)

_152X(15+1)2

-8X(13+23+---+73)

4

=57600_2X72X82

4

=8128

【巩固】Ix3+2