概率课件第讲

第一页，共五十一页，编辑于2023年，星期六统计推断的另一类重要问题是假设检验下面先通过一个例子来说明什么是假设检验以及如何进行假设检验第二页，共五十一页，编辑于2023年，星期六

例1

某餐厅每天的营业额服从正态分布，按照以往的老菜单营业，营业额的均值为8000，标准差为640。目前，该餐厅试用一新菜单。经过九天的运营，发现平均每天的营业额为8300，经理想知道这个差别是否是由于新菜单而引起的。（假定按照新菜单营业，营业额的标准差依然为640）。假设按照新菜单营业，营业额

X~N(,

2)X1,…,X9为九天的营业额，即来自总体

X的样本第三页，共五十一页，编辑于2023年，星期六假设检验的做法分以下几步来叙述（1）建立假设——即提出一个关于总体分布的命题如：按照新老菜单运营，平均营业额没有差别——记该命题为H0当我们能确认H0为假时，这时我们面临如下三个命题的选择第四页，共五十一页，编辑于2023年，星期六按照新菜单运营的平均营业额比按照老菜单运营的平均营业额高按照新菜单运营的平均营业额比按照老菜单运营的平均营业额低按照新老菜单运营的平均营业额有显著差别我们从中选择一个命题作为抛弃H0

后可供选择的命题，记为H1第五页，共五十一页，编辑于2023年，星期六在该例中，我们采用并如下表示两个命题H0：=0=8000H1：0=8000（2）寻找检验统计量——假设检验的任务是判断H0是否为真。

我们的做法是：先假定H0为成立，然后用样本去判断其真伪。

由于样本所含信息较分散，因此需要构造一个统计量T(X1,…,X9)来做判断，称该统计量为检验统计量。第六页，共五十一页，编辑于2023年，星期六检验法则:当

T(x1,…,x9)

C时拒绝H0，否则接受H0令W={(x1,…,x9):T(x1,…,x9)

C}称其为检验的拒绝域，它的边界点称为检验的临界点令A={(x1,…,x9):T(x1,…,x9)

C}称其为检验的接受域第七页，共五十一页，编辑于2023年，星期六（3）显著水平与临界值

由于作出决策的依据是一个样本，当实际

H0为真时仍有可能作出拒绝H0的判断，这是一种错误。我们无法排除犯这类错误的可能性，因此自然希望将犯这类错误的概率控制在一定的限度内，即给出一个较小的数（0<<1），使P(拒绝H0|

H0为真

)称为检验的显著水平根据上式确定检验的临界点第八页，共五十一页，编辑于2023年，星期六假设检验中的基本概念（1）假设：关于总体分布的某个命题（2）原假设：把需要检验的假设称为原假设，记为H0（3）备择假设：在拒绝原假设后，可供选择的一个命题称为备择假设，它可以是原假设对立面的全体，或其中的一部分，记为H1第九页，共五十一页，编辑于2023年，星期六（4）检验统计量：用于判断原假设成立与否的统计量称为检验统计量。（5）拒绝域：使原假设H0被拒绝的样本观测值所组成的区域称为检验的拒绝域

接受域：保留原假设H0的样本观测值所组成的区域称为检验的接受域（6）显著水平：控制P(拒绝H0|

H0为真

)

中的

称为检验的显著水平第十页，共五十一页，编辑于2023年，星期六两类错误第一类错误：原假设H0为真，但由于样本的随机性使样本观测值落入拒绝域，从而作出拒绝H0的结论这类错误称第一类错误，它发生的概率称为犯第一类错误的概率，也称为“拒真概率”。第二类错误：原假设H0为假，但由于样本的随机性使样本观测值落入接受域，从而作出保留H0的结论这类错误称第二类错误，它发生的概率称为犯第二类错误的概率，也称为“取伪概率”。第十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期六

在一般情形，当样本容量固定时，减小一类错误概率会导致另一类错误概率的增加.

要同时降低两类错误的概率，或者要在第一类的错误概率不变的条件下降低第二类的错误概率，需要增加样本容量.第十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期六

一般来说，我们总是控制犯第一类错误的概率，使它不大于。再在这一限制下使第二类的错误发生的概率尽可能地小

——控制第一类错误的原则第十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期六假设检验问题的类型参数检验非参数检验总体均值、均值差的检验总体方差、方差比的检验分布拟合检验符号检验秩和检验第十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期六

一、正态总体参数的假设检验

设总体X~，X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本1.关于均值的假设检验，2已知第十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期六拒绝域为

控制第一类错误，即此时需要寻找的一个与未知参数无关的一个单调函数，其分布是已知的。又因为当H0成立时,X1,…,Xn~N(0，2)，因此第十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期六按照控制第一类错误的原则，有~N(0,1)由此第十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期六拒绝域为查表u/2,计算若其大于u/2，拒绝原假设。否则，接受原假设。第十八页，共五十一页，编辑于2023年，星期六

例2生产流水线上的袋装糖果的重量服从正态分布N(,0.0152).按规定袋装糖果的重量的均值应为0.5（克）。一批袋装糖果出厂前进行抽样检查，抽查了9袋，重量分别为：0.4970.5060.5180.4980.5110.5200.5150.512问这一批袋装糖果是否合格？(显著水平=0.05）第十九页，共五十一页，编辑于2023年，星期六H0成立时检验统计量为~N(0,1)H0：

=0=0.5

H1：≠0=0.5拒绝域为查表得u0.025=1.96,计算得解：拒绝原假设，认为这批袋装糖果不合格第二十页，共五十一页，编辑于2023年，星期六假设检验的一般步骤：（1）、根据问题要求提出假设，原假设H0、备择假设H1(2)、写出检验统计量(3)、写出拒绝域(4)、由样本值算出检验统计量的值，看其是否在拒绝域中(5)、做出判断，是否接受原假设第二十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期六2.关于均值的假设检验，2未知2未知因此不能用来确定拒绝域但是S2是

2的无偏估计，且~t(n-1)第二十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期六按照控制第一类错误的原则，有~t(n-1)由此第二十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期六拒绝域为查表t/2(n-1),计算若其大于t/2(n-1)

，拒绝原假设。否则，接受原假设。第二十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期六

例3

某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米.实际生产的产品，其长度X假定服从正态分布N(,2)

，2未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件,得尺寸数据如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03问这批产品是否合格?解：提出假设第二十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期六当H0成立时,X1,…,X6~N(0，2)，因此拒绝域为第二十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期六对给定的显著性水平=0.01，查表确定临界值将样本值代入算出=2.997<4.0322没有落入拒绝域故不能拒绝H0.第二十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期六

前面一例的检验，拒绝域取在两侧，称为双侧检验.下面看关于均值的单侧检验.3.关于均值的假设检验，2已知第二十八页，共五十一页，编辑于2023年，星期六的一个点估计出发，根据备择假设确定拒绝域的形式控制第一类错误，即当H0成立时，X1,…,Xn~N(，2)。又因为第二十九页，共五十一页，编辑于2023年，星期六且第三十页，共五十一页，编辑于2023年，星期六查表得u,

计算若其大于u，拒绝原假设。否则，接受原假设。所以拒绝域为第三十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期六例4

某织物强力指标X的均值

=21公斤.改进工艺后生产一批织物，今从中取30件，测得

=21.55公斤.假设强力指标服从正态分布N(,2)

，且已知

=1.2公斤，问在显著性水平

=0.01下，新生产织物比过去的织物强力是否有提高?解:

当H0成立时，X1,…,X30~N(，2)。又因为第三十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期六拒绝域为查表得，u=2.33,由样本值计算故拒绝原假设H0.落入拒绝域第三十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期六4.关于均值的假设检验，2未知5.关于均值的假设检验，2已知第三十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期六的一个点估计出发，根据备择假设确定拒绝域的形式控制第一类错误，即当H0成立时，X1,…,Xn~N(，2)。又因为第三十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期六所以拒绝域为且第三十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期六查表得u,

计算若其小于-u，拒绝原假设。否则，接受原假设。第三十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期六6.关于均值的假设检验，2未知7.关于方差的假设检验，未知第三十八页，共五十一页，编辑于2023年，星期六2

的一个点估计出发，根据备择假设确定拒绝域的形式控制第一类错误，即第三十九页，共五十一页，编辑于2023年，星期六当H0成立时，X1,…,Xn~N(，2)，因此此时需要寻找的一个与未知参数无关的一个单调函数，其分布是已知的。又因为按照控制第一类错误的原则，有第四十页，共五十一页，编辑于2023年，星期六为了计算方便，习惯上取第四十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期六因此有拒绝域为第四十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期六9.关于方差的假设检验，已知10.关于方差的假设检验，未知第四十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期六11.关于方差的假设检验，已知12.关于方差的假设检验，未知13.关于方差的假设检验，已知第四十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期六

二、两正态总体参数的假设检验

设总体X~，X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，样本均值为，样本方差为X与Y独立。，Y1,Y2,…,Ym为来自总

设总体Y~体Y的样本，样本均值为，样本方差为第四十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期六1.关于均值差的假设检验，，已知2.关于均值差的假设检验，=未知3.关于均值差的假设检验，，已知第四十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期六4.关于均值差的假设检验，