正则分布热力学

正则分布热力学第一页，共三十页，编辑于2023年，星期日知识回顾：§9.1相空间刘维尔定理Chap.9系综理论研究互作用粒子组成的系统．统计系综:是指与原来的系统处在完全相同宏观条件下的，想象的大量结构完全相同的系统的集合．这些系统具有完全相同的哈密顿，但处在各自不同的微观状态之中。若系统包含多种粒子，第i种粒子的自由度为ri

，粒子数为Ni

，则系统的自由度为：以共2f个变量为坐标构成一个2f维空间,称为相空间(Γ空间)系统在某一时刻的运动状态：可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。相空间第二页，共三十页，编辑于2023年，星期日刘维尔定理(Liouville’stheorem)

设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态出发独立地沿着正则方程(9.1.1)所规定的轨道运动.（9.1.1）这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形成一个分布．2、刘维尔定理如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改变的常数。ρdΩ表示时刻t，运动状态在dΩ内的代表点数知识回顾：§9.1相空间刘维尔定理第三页，共三十页，编辑于2023年，星期日微正则分布处于平衡态的孤立系统，假设E到E+ΔE内一切轨道的常数概率密度都相等，则在E到E+ΔE能量范围的所有可能的微观状态上概率密度就都相等，是不随时间改变的常数。这就是等概率原理，也称为微正则分布。等概率原理是平衡态统计物理的基本假设经典表达式量子表达式基本假设！知识回顾：§9.2微正则分布第四页，共三十页，编辑于2023年，星期日知识回顾：§9.3微正则分布的热力学公式一、微观态数与热力学几率1.微观态数孤立系统A(0)＝A(1)＋A(2)A(1)和A(2)有微弱相互作用A(1)：Ω1(N1,E1,V1)；A(2)：Ω2(N2,E2,V2)系统总的微观状态数：Ω(0)=Ω1(E1)Ω2(E2)是A(1)和A(2)达到热平衡时分别具有的内能，由下式确定：2.确定内能的条件第五页，共三十页，编辑于2023年，星期日3玻耳兹曼关系适用于有相互作用的粒子组成的系统！定义：4平衡条件热动平衡条件：k的确定：将理论用到经典理想气体可知，k等于玻耳兹曼常数!知识回顾：§9.3微正则分布的热力学公式第六页，共三十页，编辑于2023年，星期日二、利用微正则分布求解孤立系统基本问题的方法和步骤内能、熵、物态方程都表为T、V、N的函数。知识回顾：§9.3微正则分布的热力学公式第七页，共三十页，编辑于2023年，星期日三、应用：利用微正则分布处理单原子分子理想气体以单原子经典理想气体为例：设气体含有N个单原子分子首先计算能量不大于某一数值E的微观状态数知识回顾：§9.3微正则分布的热力学公式第八页，共三十页，编辑于2023年，星期日知识回顾：§9.3微正则分布的热力学公式第九页，共三十页，编辑于2023年，星期日§9.4正则分布

正则系综的定义及研究对象；内容提要正则系综的配分函数和几率分布；经典近似下正则系综的配分函数和几率分布一、正则系综的定义及研究对象在实际问题中往往需要研究具有确定粒子数N、体积V和温度T的系统．本节讨论具有确定的N,V,T值的系统的分布函数．这个分布称为正则分布．正则系综研究的对象是具有确定粒子数N、体积V和温度T的系统。§9.4正则分布第十页，共三十页，编辑于2023年，星期日§9.4正则分布说明：

1）能量的交换：具有确定的N,V,T值的系统可设想为与大热源接触而达到平衡的系统.由于系统与热源间存在热接触,二者可以交换能量；系统可能的微观状态可具有不同的能量值；2)不变的温度：由于热源很大,交换能量不会改变热源的温度.在两者建立平衡以后,系统将与热源具有相同的温度.第十一页，共三十页，编辑于2023年，星期日§9.4正则分布二、正则系综的分布函数和配分函数系统与热源合起来构成一个复合系统．这复合系统是一个孤立系统，具有确定的能量．假设系统和热源的作用很弱，复合系统的总能量E+Er=E(0)热源很大，必有E

<<E(0)第十二页，共三十页，编辑于2023年，星期日§9.4正则分布当系统处在能量为Es的(一个)状态s时，热源可处在能量为E(0)-Es的任何一个微观状态．Ωr(E(0)-Es)表示能量为E(0)-Es的热源的微观状态数复合系统的可能的微观状态数为Ωr(E(0)-Es)复合系统是一个孤立系统，在平衡状态下，它的每一个可能的微观状态出现的概率是相等的．ρs∝Ωr(E(0)-Es)第十三页，共三十页，编辑于2023年，星期日§9.4正则分布Es/E(0)<<1ρs∝Ωr(E(0)-Es)归一化具有确定的粒子数N、体积V和温度T

的系统处在微观状态s上的概率归一化因子第十四页，共三十页，编辑于2023年，星期日§9.4正则分布配分函数:表示对粒子数为N和体积为V的系统的所有微观状态求和.l能级三、正则分布的经典表达式第十五页，共三十页，编辑于2023年，星期日§9.5正则分布的热力学公式§9.5正则分布的热力学公式本节讨论正则分布中热力学量的统计表达式和能量的涨落一、正则分布的热力学公式1、系统的内能系统的能量在一切可能的微观状态上的平均值第十六页，共三十页，编辑于2023年，星期日2、广义力：的统计平均值特例§9.5正则分布的热力学公式第十七页，共三十页，编辑于2023年，星期日3、熵§9.5正则分布的热力学公式第十八页，共三十页，编辑于2023年，星期日二、正则系统的能量涨落当系统处在状态s

时，其能量为与

的偏差为称为能量涨落§9.5正则分布的热力学公式第十九页，共三十页，编辑于2023年，星期日对于正则分布§9.5正则分布的热力学公式第二十页，共三十页，编辑于2023年，星期日§9.5正则分布的热力学公式第二十一页，共三十页，编辑于2023年，星期日对于具有确定的N,V,T值的系统的分布函数--正则分布§9.5正则分布的热力学公式第二十二页，共三十页，编辑于2023年，星期日能量的相对涨落和

都是广延量，~N讨论：这个事实说明，与热源接触达到平衡的系统，虽然由于它与热源交换能量而可具有不同的能量值，但对于宏观的系统，其能量E与

有显著偏差的概率极小．§9.5正则分布的热力学公式第二十三页，共三十页，编辑于2023年，星期日说明e-βE随着E的增加而迅速减少；Ω(E)随着E的增加而迅速增加；§9.5正则分布的热力学公式第二十四页，共三十页，编辑于2023年，星期日

正则系综与微正系综是等价的用微正则分布和正则分布求得的热力学量实际上相同用这两个分布求热力学量实质上相当于选取不同的特性函数：自变量为N,V,S的内能U自变量为N,V,T的自由能F§9.5正则分布的热力学公式第二十五页，共三十页，编辑于2023年，星期日例1：9.2，利用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程、内能和熵。单原子分子－－只考虑平动－－平动能连续，经典统计。设气体含有N个单原子分子§9.5正则分布的热力学公式第二十六页，共三十页，编辑于2023年，星期日比较P207（7.5.5）比较P195（7.2.5）比较P213（7.6.2）§9.5正则分布的热力学公式第二十七页，共三十页，编辑于2023年，星期日例2：9.3，利用正则系综理论的涨落公式求单原子分子和双原子分子理想气体的能量相对涨落。对于单原子分子理想气体，有对于双原子分子理想气体，有§9.5正则分布的热力学公式解：能量相对涨落公式：第二十八页，共三十页，编辑于2023年，星期日§9.4正则分布的热力学公式小结特例一、正则分布的热力学公式第二十九页，共三十页，编辑于2023年，星期日§9.4正则分布的热力学公式小结二、系统的能量涨落当系统处在状态s

时，其能