数值积分与微分

数值积分与微分第一页，共三十八页，编辑于2023年，星期六引言

依据微积分基本定理,只要找到被积函数的原函数，，便有牛顿-莱伯尼兹公式

由于大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数，而实验测量或数值计算给出的通常是一张函数表，所以牛顿-莱伯尼兹公式往往不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。第二页，共三十八页，编辑于2023年，星期六数值求积的基本思想

依据积分中值定理，就是说，底为而高为的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积。取内若干个节点处的高度，通过加权平均的方法生成平均高度，这类求积公式称机械求积公式：式中称为求积节点，称为求积系数，亦称伴随节点的权。第三页，共三十八页，编辑于2023年，星期六代数精度的概念数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供求积公式对于“尽可能多”的函数是准确的。如果机械求积公式对均能准确成立，但对不准确，则称机械求积公式具有次代数精度。事实上，令求积公式对准确成立，即得可见，在求积公式节点给定的情况下，求积公式的构造问题本质上是个解线性方程组的代数问题。第四页，共三十八页，编辑于2023年，星期六插值型的求积公式

设已给在节点的函数值，作插值多项式

其中

由于多项式的求积是容易的，令这样得到的求积公式称为插值型的求积公式，其求积系数为

定理机械求积公式至少有次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。第五页，共三十八页，编辑于2023年，星期六牛顿－柯特斯公式

设分为等份，步长，取等分点构造出的插值型求积公式（其中）称作阶牛顿－柯特斯公式。一阶和二阶牛顿－柯特斯公式分别是

梯形公式辛甫生公式四阶牛顿－柯特斯公式，也称为柯特斯公式：第六页，共三十八页，编辑于2023年，星期六第七页，共三十八页，编辑于2023年，星期六第八页，共三十八页，编辑于2023年，星期六第九页，共三十八页，编辑于2023年，星期六第十页，共三十八页，编辑于2023年，星期六几种低阶求积公式的代数精度

阶的牛顿－柯特斯公式至少有次代数精度，事实上，二阶的辛甫生公式与四阶的柯特斯公式在精度方面会获得“额外”的好处，它们分别有3次和5次代数精度。因此，在几种低阶的牛顿－柯特斯公式中，人们更感兴趣的是梯形公式（它最简单、最基本），辛甫生公式和柯特斯公式。第十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期六几种低阶求积公式的余项

利用线性插值的余项公式以及积分中值定理，我们可以得到梯形公式的余项：利用埃尔米特插值的余项公式以及积分中值定理我们可以得到辛甫生公式的余项：

另外，我们可以得到如下柯特斯公式的积分余项：第十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期六复化求积公式第十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期六复化求积公式

复化梯形公式有如下形式：其余项为：第十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期六在利用插值求积公式求积分时，为了提高精度有两种途径。一是提高积分区间上的插值多项式的阶数，从而也就提高了求积公式的阶数。但是，由于插值多项式的阶数越高，其逼近性质未必好（即精度未必能提高），因此，牛顿-柯特斯公式的阶数越高，其积分精度也未必提高，工程上一般只作到六阶牛顿-柯特斯公式（即龙贝格公式）为止。二是采用复化公式，尽量减小每一个求积小区间的长度。在实际应用时，往往将这两种方法混合使用，以便提高求积的精度。

第十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期六变步长求积法

在数值积分中，精度是一个很重要的问题，如果误差太大，就没有实际意义。为了提高精度，通常需要在复化求积公式中尽量减小各细分小区间的长度，即减小步长h。显然，如果步长h取得太大，则精度就难以得到保证；但是，如果步长取得太小，则计算工作量也就随之增大，并且，由于项数的增加，其误差的积累也就增大。因此，在采用复化公式求积时，关键的问题是合理地选择步长（即合理选择对整个积分区间的细分数），以便既能满足精度要求，又不致于引起过多的误差积累和过大的计算工作量。在实际计算过程中，通常采用变步长的求积法。

第十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期六变步长梯形求积法变步长求积法的基础是复化梯形公式，但并不是先确定对积分区间的细分数，而是根据精度要求逐步将区间细分。并且在对区间细分的过程中，为了尽量避免被积函数值的重复计算，总是对原先的小区间再二等分一次，以便充分利用原来结点上的函数值。第十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期六变步长梯形求积法的基本过程

(1)首先利用梯形公式计算积分值。这相当于将积分区间一等分，即

n＝1，h＝b－a则有

Tn＝即实际上为

T1＝[f(a)＋f(b)]第十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期六变步长梯形求积法的基本过程(2)将每一个求积小区间再二等分一次（即由原来的n等分变成2n等分），则有其中为再二等分一次后新增加的结点，它们都是原来各小区间的中点；f()为新增加结点上的函数值。由上式可以看出，在对每一个小区间再二等分后，在积分值T2n的第一项中只包括再二等分之前的各结点上的函数值，并且第一项的值正好是再二等分之前积分值Tn的一半，显然，这一项中所包含的函数值就不必计算了。再二等分后需要计算的函数都包含在第二项中，它们都是二等分后出现的新的结点。因此有第十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期六变步长梯形求积法的基本过程

(3)判断二等分前后两次的积分值之差的绝对值是否小于预先所规定的精度要求，即

T2n－Tn|＜ε若不等式成立，即表示已经满足精度要求，二等分后的积分值T2n就是最后结果，即

若不等式不成立，则保存当前的等分数、积分值与步长，即转第(2)步继续作二等分处理。第二十页，共三十八页，编辑于2023年，星期六变步长求积法

变步长求积法是以梯形公式为基础，逐步改变步长，以达到预先所要求的精度。在变步长梯形求积法的递推公式中，Tn是二等分前的积分值，而右端的第二项只涉及到二等分时新增加的分点上的函数值，这就避免了老结点上函数值的重复计算。第二十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期六算法——梯形求积法参数说明：

a双精度实型变量。积分下限。

b双精度实型变量。积分上限。要求b＞a。eps双精度实型变量。积分精度要求。

f双精度函数指针变量。指向计算被积函数值的函数。本函数返回一个双精度实型积分值。

第二十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期六算法源程序第二十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期六

梯形法的加速

梯形法的算法简单，但精度低，收敛的速度缓慢。如何提高收敛速度以节省计算量呢？由复化梯形公式的截断误差公式可得，整理得，

由此可知，这样导出的加速公式是辛甫生公式：第二十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期六算法——辛卜生求积法参数说明：

a双精度实型变量。积分下限。

b双精度实型变量。积分上限。要求b＞a。eps双精度实型变量。积分精度要求。

f双精度函数指针变量。指向计算被积函数值的函数。本函数返回一个双精度实型积分值。

第二十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期六算法源程序第二十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期六龙贝格算法

我们可以在步长逐步分半过程中将粗糙的积分值逐步加工为精度较高的积分值：或者说将收敛缓慢的梯形值序列加工成收敛迅速的积分值序列，这种加速方法称为龙贝格算法。第二十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期六龙贝格求积法的计算格式

第二十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期六龙贝格算法根据龙贝格求积法构造出来的序列T1(h)，T2(h)，…，Tm(h)，…，其收敛速度比变步长求积法更快。这是因为，在龙贝格求积法中，同时采用了提高阶数与减小步长这两种提高精度的措施。在实际应用中，一般只作到龙贝格公式为止，然后二等分后再继续作下去。龙贝格求积法又称为数值积分逐次分半加速收敛法。

第二十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期六算法——龙贝格求积法参数说明：

a双精度实型变量。积分下限。

b双精度实型变量。积分上限。要求b＞a。eps双精度实型变量。积分精度要求。

f双精度函数指针变量。指向计算被积函数值的函数。本函数返回一个双精度实型积分值。

第三十页，共三十八页，编辑于2023年，星期六算法源程序第三十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期六高斯求积公式

不失一般性，设，考虑下列求积公式

我们将会看到，适当的选取求积节点可以使上述求积公式具有次代数精度，这种高精度的求积公式称为高斯（Gauss）公式，高斯公式的求积节点称为高斯点。第三十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期六高斯点的基本特性

尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是由于所归结的方程组是非线性的，而它的求解存在实质性的困难，所以我们要从研究高斯点的基本特性着手解决高斯公式的构造问题。设是求积公式中的高斯点，令则有如下结论：定理节点是高斯点的充分必要条件是多项式与一切次数的多项式正交，即成立第三十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期六寻找高斯点的途径第三十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期六勒让德多项式第三十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期六数值微分

设已知在节点的函数值，利用所给定数据作次插值多项式，并取