断裂力学线弹性理论

断裂力学线弹性理论第一页，共五十四页，编辑于2023年，星期六绪论

一、断裂力学的内容、任务与研究方法●60年代开始发展，固体力学新分支；●有微观断裂力学与宏观断裂力学之分；●微观断裂力学从微观结构出发，研究断裂过程的物理本质，如材料缺陷的成核、断裂的微观机理等，屑固体物理的范畴。●宏观断裂力学从宏观的连续介质力学角度出发，研究含缺陷下宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传扬和止裂规律。宏观裂纹指材料制造或加工及使用过程中形成的宏观尺度(10-2cm以上)的类裂纹缺陷。在实际结构中这种裂纹的存在是难免的。第二页，共五十四页，编辑于2023年，星期六●线弹性断裂力学

脆性断裂的规律●弹塑性断裂力学

韧性断裂规律●断裂动力学快速加载或裂纹快速扩展时的断裂问题●界面断裂力学多相物质组成的新材料(如高强度合金、陶瓷、纤维增强的复合材料)的相间界面裂纹扩展规律断裂力学分支：第三页，共五十四页，编辑于2023年，星期六

断裂力学的任务：●研究裂纹体的应力场、应变场与位移场，寻找控制材料开裂的物理参量；●研究材料抵抗裂纹扩展的能力——韧性指标的变化规律，确定其数值及测定方法；●建立裂纹扩展的临界条件——断裂准则；●含裂纹的各种几何构形在不同荷载作用下，控制材料开裂的物理参量的计算。

第四页，共五十四页，编辑于2023年，星期六

从弹性或弹塑性力学理论出发，把裂纹作为一种边界条件，考察裂纹顶端的应力场、应交场和位移场，设法建立这些场与控制断裂的物理参量的关系和裂纹尖端附近的局部断裂条件。这种连续介质模型仍是一种理想的模型，在远离裂纹尖端的区域是合适的，而在裂纹尖端附近的小区域(原子或晶体结构的尺度范围)是否合适，还需深入到微观领域，弄清微观的断裂机理，才能更好地了解力学因素在裂纹尖端的断裂过程中是如何发挥作用的，才能深入了解宏观断裂的现象。断裂力学的研究方法：第五页，共五十四页，编辑于2023年，星期六二、断裂力学中的几个基本概念●

Griffth(格里菲斯)裂纹材料在生产、加工和使用中会产生缺陷和裂纹，如冶炼、铸骸、焊接、热处理、中子辐射、氢的渗入等。夹杂物、空穴、切口都是缺陷，它们在尖端处的曲率半径不为零。对于类裂纹型的缺陷可以简化为裂纹，认为其尖端处的曲率半径等于零。这样的简化是偏于安全的，把这种型纹称为Griffth(格里菲斯)裂纹。第六页，共五十四页，编辑于2023年，星期六●裂纹种类按其在构件中的位置可分为贯穿裂纹(穿透板厚的裂纹)、表面裂纹、深埋裂纹、角裂纹等。中心裂纹工程常见裂纹2asWBs边裂纹ass表面裂纹2catss第七页，共五十四页，编辑于2023年，星期六张开型

滑开型

撕开型●裂纹基本类型根据裂纹受力情况，裂纹分为三种基本类型：第八页，共五十四页，编辑于2023年，星期六同一材料可能发生脆性断裂，也可能发生韧性断裂，与受力状态、温度、应变速率、截面厚度等有关。●断裂方式平面应变平面应力平面应力平面应变第九页，共五十四页，编辑于2023年，星期六

三、发展简史●1913年，Ing1is(英格列斯)将物体内缺陷理想化为椭圆形切口，用线弹性理论计算了含椭圆孔无限大板受均匀拉伸的问题，按应力集中的观点解释了材料实际强度远低于理论强度是由于固体材料存在缺陷的缘故。●1921年，A．A．Griffith用弹性体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等脆性材料中的裂纹扩展问题，提出了脆性材料裂纹扩展的能量准则。●1955年，C．R．Irwin(欧文)提出应力场强度观点和应力强度因子断裂准则。该准则与Grwith能量准则构成了线弹性断裂力学的核心内容。●1963年，F．Erdogan(艾多甘)和G．CSih(薛昌明)提出混合型裂纹扩展问题的最大拉应力理论。1973年，薛昌明又提出混合型裂纹的应变能密度理论。今后在这领域里的主要研究方向是三维问题、表面裂纹问题、各向异性体问题等。线弹性断裂力学第十页，共五十四页，编辑于2023年，星期六●1948年，Orowan(奥洛文)和Irwin各自独立地用能量观点研究塑性材料的裂纹扩展问题。他们认为，对于塑性材料，抵抗表面张力所作的功要比抵抗塑性变形作的功小很多，从而提出了塑性材料裂纹扩展的能量判据。●1960年，D．S.Dugdale(达格代尔)研究裂纹尖端的塑性区。●1961年，A．A．Wells(威尔斯)提出的裂纹张开位移(COD)准则。●1968年,J.R．Rice(赖斯)提出用围绕裂纹尖端的与路径无关的线积分来研究裂纹尖端的变形及J积分准则。●1968年，J．W．Hutchinson(哈钦森)及J．R．Rice与G．R．Rosengren(罗森洛伦)分别发表了I型裂纹尖端应力应变场的弹塑性分析，即著名的HRR奇异解，这是J积分可作为断裂准则的理论基础。●J积分准则与COD准则一样，也只能作为起裂准则。裂纹稳定扩展准则的建立则是当前这一领域的主要研究方向，已提出的准则：l型裂纹基于应变的稳定扩展准则、1型裂纹和I型裂纹基于开口位移的稳定扩展准则。弹塑性断裂力学第十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期六●1948年N．F．Mott(莫特),进行了裂纹快速扩展速度的定量计算并将动能引入Griffith能量准则;●1951年，E．H．Yoffe(约飞),提出了恒长度裂纹的匀速扩展模型，计及惯性力，对裂纹分叉作定量分析;1960年，J．W．Craggs(克拉格斯),提出了裂纹面受载而加载点随裂纹前进的匀速扩展半无限长裂纹模型；1960年,KB．Broberg(布洛伯格),提出的裂纹从零长度开始对称地向两侧匀速开裂模型较有实际意义。●Rice等多人先后导出了裂纹以等速传播情况的渐近应力场与位移场,提出了动态应力强度因子概念及裂纹动态起始扩展准则、运动裂纹传播与止裂准则、能量释放率准则。尚处于初创阶段，除了线性材料的稳定裂纹动态起始扩展问题和对弹性波的散射问题有较系统的直接解法作定量分析外，线性材料的裂纹快速传播与止裂问题、非线性材料的动态裂纹问题、分叉问题等都是当前重要的研究课题。断裂动力学第十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期六●1959年，M.L.Williams(威廉姆斯),用渐近级数展开法得到各向同性弹性双材料界面裂纹尖端附近应力具有振荡奇异性的结论。1965年，England(英格兰)发现由于应力振荡性，裂纹面会出现相互嵌入现象。●1988年,Rice用复变函数法得到渐近应力场和位移场的表达式,旨在消除振荡与嵌入这种物理上不合理的现象而提出的接触区模型。●1977Comninou(康尼诺)，和1988Delale(迪拉尔)和Erdogan，1989Hutchinson,和Sun(锁志刚)提出的能量释放率扩展准则；●1989年，Shih(谢)等人用有限元法分析弹塑性双材料界面裂纹尖端应力场，得到一个近乎于混合型HRR奇异场的渐近解；●以及1992年夏霖、王自强通过精确的数学分析对幂硬化材料界面裂纹求得分离变量形式的HRR型奇异性渐近解等。在非各向同性双材料界面断裂力学方面也已取得不少研究成果。界面断裂力学第十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期六线弹性断裂力学基本理论1.概念●强度因子第十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期六第十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期六第十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期六第十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期六●小范围屈服和K主导区第十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期六第十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期六一般名义应力小于s0/2满足小范围屈服条件要求第二十页，共五十四页，编辑于2023年，星期六2裂纹尖端的应力强度因子●确定应力强度因子的方法1．数学分析法——复变函数法、积分变化法。2．近似计算法——边界配置法，有限元法。3．实验标定法——如柔度法。4．实验应力分析——光弹法。第二十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期六

要使裂纹扩展，必须>0。即只有拉应力才能引起裂纹的张开型扩展。

工程中最常见的、危害最大的是I型裂纹。

讨论含有长为2a的穿透裂纹的无限大平板，二端承受垂直于裂纹面的拉应力作用的情况。ssxy2adxdyrqsysxtxy在距裂尖r，与x轴夹角为处，取一尺寸为dx、dy的微面元；利用弹性力学方法，可得到裂纹尖端附近任一点(r,)处的正应力x、y和剪应力xy。第二十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期六用弹性力学方法得到裂纹尖端附近任一点(r,)处的正应力x、y和剪应力xy为：所讨论的是平面问题，故有yz=zx=0；对于平面应力状态，还有z=0。若为平面应变状态，则有z=(x+y)。ssxy2adxdyrqsysxtxyssqyar=+221cos[qq232sinsin]tsqqqxyar=22232sincoscosssqxar=-221cos[qq232sinsin](1)第二十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期六断裂力学关心的是裂纹尖端附近的应力场。

上式是裂尖应力场的主项，还有r0阶项等。

r0时，应力ij以r-1/2的阶次趋于无穷大；其后r0阶项等成为次要的，可以不计。(1)式可写为：spfqijijKr=12()Ka1=sp式中：r，ij趋于零；但显然可知,当=0时，在x轴上远离裂纹处，应有y=，且不受r的影响。故此时应以其后的r0阶项为主项。ssxy2adxdyrqsysxtxy第二十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期六K反映了裂尖应力场的强弱；足标1表示是1型。ij越大，K越大；裂纹尺寸a越大，K越大。K的量纲为[应力][长度]1/2，常用MPa。m裂尖的应力强度因子K1：Ka1=sp

(5-1)式是中心穿透裂纹无穷大板的解。断裂力学研究表明，K1可以更一般地写为：KafaW1=sp(,,...)f(a,W,...)为几何修正函数，可查手册。特别地，当a<<w或a/w0时，即对于承受拉伸的无限宽中心裂纹板，f=1；对于无限宽单边裂纹板，f=1.12。第二十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期六线弹性断裂力学是弹性理论在含裂纹体中的应用。弹性理论所用的假设同样保留在线弹性断裂力学理论中，即小变形假设和应力-应变一般呈线性假设。线弹性断裂力学方程的一般形式给出如下：可见有奇异性存在，当到裂尖的距离r趋近于零时，应力趋于无穷大。spfqijijKr=12()超过屈服应力后材料发生塑性变形，在裂纹尖端附近将形成塑性区。然而，如果塑性区与裂纹和含裂纹体的尺寸相比很小，线弹性断裂力学就仍然是正确的。第二十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期六作用(、a)越大，抗力(K1C)越低，越可能断裂。

裂纹尺寸和形状(先决条件)

应力大小(必要条件)

材料的断裂韧性K1C(材料抗力)

含裂纹材料抵抗断裂能力的度量。断裂三要素作用抗力

K是低应力脆性断裂（线弹性断裂）发生与否的控制参量，断裂判据可写为：KfaWa=(,)Lsp£Kc13控制断裂的基本因素第二十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期六f是裂纹尺寸a和构件几何(如W)的函数，查手册；K1C是断裂韧性(材料抗断指标)，由试验确定。这是进行抗断设计的基本控制方程。

或KK1CKfaWa=(,)Lsp£Kc1断裂判据：

K由线弹性分析得到，适用条件是裂尖塑性区尺寸r远小于裂纹尺寸a；即：aKys³2512.()sK1C是平面应变断裂韧性，故厚度B应满足：BKys³251c2.()s第二十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期六1)已知、a，算K，选择材料，保证不发生断裂；2)已知a、材料的K1c，确定允许使用的工作应力；3)已知、K1c，确定允许存在的最大裂纹尺寸a。一般地说，为了避免断裂破坏，须要注意：抗断设计：基本方程：KfaWa=(,)Lsp£Kc1低温时，材料K1c降低，注意发生低温脆性断裂。K1c较高的材料，断裂前ac较大，便于检查发现裂纹。当缺陷存在时，应进行抗断设计计算。控制材料缺陷和加工、制造过程中的损伤。第二十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期六解：1）不考虑缺陷，按传统强度设计考虑。选用二种材料时的安全系数分别为：材料1：n1=ys1/=1800/1000=1.8

材料2：n2=ys2/=1400/1000=1.4

优合格例1：某构件有一长a=1mm的单边穿透裂纹，受拉应力

=1000MPa的作用。试选择材料。材料1：ys1=1800Mpa，K1C1=50MPa；材料2：ys2=1400Mpa，K1C2=75MPa；mm2）考虑缺陷，按断裂设计考虑。由于a很小，对于单边穿透裂纹应有或cKaK1112.1£=pasaKcpas12.11£第三十页，共五十四页，编辑于2023年，星期六选用材料1，将发生低应力脆性断裂；选用材料2，既满足强度条件，也满足抗断要求。材料断裂应力为：aKcps12.11£选用材料1：1c=50/[1.12(3.140.001)1/2]=796MPa<选用材料2：2c=75/[1.12(3.140.001)1/2]=1195MPa>断裂安全注意，a0越小，K1C越大，临界断裂应力c越大。因此，提高K1C

，控制a0，利于防止低应力断裂。第三十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期六压力容器直径大，曲率小，可视为承受拉伸应力的无限大中心裂纹板，有：或cKaK11£=ps21)(1spcKa£解：由球形压力容器膜应力计算公式有：

=pd/4t=54/(40.01)=500MPa例2：球形压力容器d=5m，承受内压p=4MPa，厚度t=10mm，有一长2a的穿透裂纹。已知材料K1C=80MPa。求临界裂纹尺寸ac。m第三十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期六在发生断裂的临界状态下有：

故得到：

ac=(1/3.14)(80/500)2=0.0081m=8.1mm21)(1spcKa=c；=pd/4t若内压不变，容器直径d，，ac

，抗断裂能力越差。内压p，则，临界裂纹尺寸ac

；材料的K1C

，临界裂纹尺寸ac

；可知：第三十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期六4材料的断裂韧性K1cL=4WWaP三点弯曲（B=W/2）1）标准试件(GB4161-84)应力强度因子：])(7.38)(6.37)(8.21)(6.4)(9.2[2/92/72/52/32/12/3WaWaWaWaWaBWPLK+-+-=2孔f0.25WPPaW1.25W1.2W0.55W紧凑拉伸（B=W/2）

裂纹预制:电火花切割一切口，使用钼丝直径约0.1mm。用疲劳载荷预制裂纹，应使Da1.5mm。疲劳载荷越小，裂纹越尖锐，所需时间越长。为保证裂纹足够尖锐，要求循环载荷中Kmax<(2/3)K1c。第三十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期六X-Y记录仪PV2）试验装置

监测载荷P、裂纹张开位移V，得到试验P-V曲线，确定裂纹开始扩展时的载荷PQ和裂纹尺寸a，代入应力强度因子表达式，即可确定Kc。PP试件试验机放大器力传感器输出P引伸计输出V第三十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期六第三十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期六3)PQ的确定：若在P5前无载荷大于P5，则取PQ=P5；若在P5前有载荷大于P5，则取该载荷为PQ。作比P-V线性部分斜率小5%的直线，交P-V于P5。PmaxP0VP500P5PmaxPQ=PmaxPmaxPQPQ=P5P5试验有效条件Pmax/PQ<1.1第三十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期六预制裂纹的前缘一般呈弧形，故实际裂纹尺寸应打开试件断口后测量值确定。

四等分厚度，用工具显微镜量取五个处裂纹尺寸，取

a=(a2+a3+a4)/3;4)裂纹尺寸a的确定：BWa1a2a3a4a5

为保证裂纹的平直度，还要求满足：

[a-(a1+a5)/2]0.1a第三十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期六讨论：厚度的影响实验表明，材料断裂时应力强度因子Kc与试件的厚度B有关。KK1cBKc

平面应变区平面应变：厚度足够大时，沿厚度方向的变形被约束在垂直于厚度方向的平面内，可以不计。

厚度B，Kc

；

B>2.5(K1c/sys)2后，

Kc最小，平面应变断裂韧性K1c。K1c是材料的平面应变断裂韧性，是材料参数；Kc是材料在某给定厚度下的临界断裂值。第三十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期六平面应变厚度要求：B>2.5(K1c/sys)2预制裂纹尺寸：Da>1.5mm；

0.45W<a0+Da<0.55W预制裂纹时的疲劳载荷：Kmax<(2/3)K1c。汇总：试验有效性条件与尺寸要求

(国标GB4161-84)断裂载荷有效性：Pmax/PQ<1.1;裂纹平直度有效性：[a-(a1+a5)/2)]/a<10%K1c与温度有关。温度越低，K1c越小，材料越易发生断裂。应特别注意低温脆断的发生。第四十页，共五十四页，编辑于2023年，星期六GB/T4161-1984

金属材料平面应变断裂韧度K1c试验方法ASTME740-88(1995)e1StandardPracticeforFractureTestingwithSurface-CrackTensionSpecimens

用表面裂纹拉伸试样进行断裂试验GB/T7732-1987

金属板材表面裂纹断裂韧度K1c试验方法相关试验标准：ASTME399-90e1StandardTestMethodforPlane-StrainFractureToughnessofMetallicMaterials

金属材料平面应变断裂韧性KIC标准试验方法ASTME1304-97StandardTestMethodforPlane-Strain(Chevron-Notch)FractureToughnessofMetallicMaterials

金属材料平面应变(V型切口)断裂韧度的测试方法ASTME604-83(1994)StandardTestMethodforDynamicTearTestingofMetallicMaterials

金属材料动态断裂试验方法第四十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期六例1.用B=30mm的标准三点弯曲试件测断裂韧性，线切割尺寸为a’=30mm。试验测得PQ=56kN,Pmax=60.5kN；裂纹尺寸测量结果为31.8mm,31.9mm,32.15mm,31.95mm,31.9mm；若已知材料的0.2=905MPa,试确定其K1c。解：裂纹长度为：a=(a2+a3+a4)/3=32mm对于标准三点弯曲试样，有：])(57.14)(18.14)(20.8)(735.1090.1[)(432WaWaWaWaWaf+-+-=)(2321WafaBWPLKp=(W=2B，L=4W)第四十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期六

将a/W=32/60=0.533，PQ=56kN代入，算得：

KQ=90.5MPa有效性检验：厚度要求：2.5(KQ/0.2)2=2.5(90.5/905)2=0.025mB=30mm>2.5(K1c/sys)2=25mmPQ的有效性：Pmax/PQ=60.5/56=1.081.1裂纹尺寸要求：Da=32-30=2mm>1.5mm；

0.45<a/W=0.533<0.55裂纹平直度要求：[a-(a1+a5)/2]=0.150.1a=3.2满足有效性条件，故K1c=KQ=90.5MPa。m第四十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期六应力强度因子到达某临界值KC，失稳断裂发生。这一应力强度因子的临界值被称为材料的断裂韧性。断裂韧性是应力强度因子的极限值，就象屈服应力是作用应力的极限值一样。断裂韧性在到达极限条件（约束最大）前是随试件厚度变化的。最大约束条件在平面应变状态出现。若试件厚度满足平面应变要求，所得到的断裂韧性才是平面应变断裂韧性，记作K1c。第四十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期六1)已知、a，算K，选择材料，保证不发生断裂；基本方程：KfaWa=(,)Lsp£Kc12)已知a、材料的K1c，确定允许使用的工作应力；3)已知、K1c，确定允许存在的最大裂纹尺寸a。临界情况：KfaWa=(,)Lsp=Kc1cc5断裂控制设计第四十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期六若B尺寸足够，则上述值即为材料的断裂韧性K1c。例1.W=200mm的铝合金厚板，含有2a=80mm的中心裂纹,若实验测得此板在=100Mpa时发生断裂，试计算该材料的断裂韧性。解：由表5-1可知，对于中心裂纹板有：；)(1xpsFaK=)2/sec()(pxx=F

对于本题，=2a/w=0.4；故断裂时的应力强度因子为：

=100(0.04)1/2[(sec(0.2)]1/2=39.4MPa；)(1xpsFaK=m第四十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期六例2.用上例中的铝合金材料，制作厚度B=50mm

的标准三点弯曲试样，若裂纹长度a=53mm,

试估计试件发生断裂时所需的载荷。解：对于标准三点弯曲试样，有：])(57.14)(18.14)(20.8)(735.1090.1[)(432WaWaWaWaWaf+-+-=)(2321WafaBWPLKp=(W=2B，L=4W)对于本题，a/W=53/100=0.53,代入后算得修正函数值为：f(a/W)=1.5124第四十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期六例3.用上例中的铝合金材料，制作厚度B=50mm

的标准三点弯曲试样，若裂纹长度a=53mm,

试估计试件发生断裂时所需的载荷。解：对于标准三点弯曲试样，有：])(57.14)(18.14)(20.8)(735.1090.1[)(432WaWaWaWaWaf+-+-=)(2321WafaBWPLKp=(W=2B，L=4W)对于本题，a/W=53/100=0.53,代入后算得修正函数值为：f(a/W)=1.5124第四十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期六解：应用线性叠加原理，图示载荷的作用等于拉伸与纯弯曲二种情况的叠加，故裂纹尖端的应力强度因子K可表达为：KKK¢¢+¢=PPPPMM=Pe

、分别是拉伸、弯曲载荷下的应力强度因子。KK¢¢¢例4：边裂纹板条受力如图，P为单位厚度上作用的力。已知W=25mm，a=5mm，e=10mm，材料ys=600Mpa，K1C=60MPa。试估计断裂时临界载荷Pc。mWaePP第四十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期六即有：)05.1(6Pe2/Wap=K¢¢对于边裂纹有限宽板，拉伸、弯曲载荷作用下的应力强度因子查表可知分别为：拉伸：t=P/W；=0.2；

=1.37Wa/=x43239.3072.2155.10231.012.1)(xxx