渐进法及超静定结构影响线

渐进法及超静定结构影响线第一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日力矩分配法的理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：增量调整修正的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。1、转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，SAB=4i1而与近端支承无关。§12-1力矩分配法的基本概念及基本运算把A端改成固定铰支座、可动铰支座或可转动（但不能移动）的刚结点转动刚度SAB的数值不变。第二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日因此，在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）

远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。θMAB1MABMAB111MABΔ②①③④下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB转动刚度SAB=4i是（）√√√√iiiii⑤①②③④iAAAAA4i>SAB>3iBBBBB第三页，共三十九页，编辑于2023年，星期日1、转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，SAB=4i1而与近端支承无关。2、传递系数C：杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即：传递系数仅与远端支承有关2i－i0C=1/2C=－1C=0远端支承转动刚度传递系数固定铰支定向支座4i3ii1/2－10第四页，共三十九页，编辑于2023年，星期日1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=02i－i0C=1/2C=－1C=0远端支承转动刚度传递系数固定铰支定向支座4i3ii1/2－10第五页，共三十九页，编辑于2023年，星期日3、单结点结构在集中结点力偶作用下的力矩分配法

iBCAMMiA=4iθ=SiAθMiB=3iθ=SiBθMiC=iθ=SiCθ∑M=MiA+MiB+MiC－M=0a）分配力矩注：1）μ称为力矩分配系数。且∑μ=12）分配力矩是杆端转动时产生的近端弯矩。3）结点集中力偶荷载顺时针为正。2、传递系数C：杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即：b）传递弯矩Mji=CMijj=A，B，C注：1）传递力矩是杆端转动时产生的远端弯矩。

2）只有分配弯矩才能向远端传递。第六页，共三十九页，编辑于2023年，星期日4、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法200kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m3m3m6m3i4iABC200kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/mABCABC1）锁住结点－150150－902）放松结点MB=150－90=60MBMBmBAmBC－MB=－60SBA=4×3i=12iSBC=3×4i=12iμBA=12i/24i=1/2μBC=12i/24i=1/2－30－30－153）叠加1）、2）得到最后杆端弯矩μ1/21/2－150m150－90－30－30－15M－175－120120ABCM图（kN.m平衡力矩=固端弯矩之和节点不平衡力矩要变号分配.第七页，共三十九页，编辑于2023年，星期日i=1i=1i=22m2m4m4mABCD↓↓↓↓↓↓↓↓↓40kN/m100kN15kN用力矩分配法计算,画M图。解：1）求μ大家算μAB=μAC=μAD=4/92/93/92）求m大家算mAB=mBA=mAD=50－50－80M=15MAmABmADmACM+MA=mAB+mAD+mAC－M=50+－80－15=－45结点BACD杆端分配系数BAABADACCADA4/93/92/9分配与传递20固端弯矩－5050－80101510－10最后弯矩－4070－6510－10100M图（kN.m)2m2m4m4mABCD↓↓↓↓↓↓↓↓↓40kN/m100kN15kN40701001080M图（kN.m)第八页，共三十九页，编辑于2023年，星期日§12-2多结点力矩分配法——渐进运算↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓24kN/m50kN－128128－75MB=－128MC=53－MB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓24kN/m50kN4m4m8m8mABCD2EI2EIEI取EI=8i=2i=2i=1μBA=0.6μBC=0.4μCB=0.4μCD=0.676.851.225.6MC=78.6－MC=－78.6－31.4－47.2－15.7－15.7

15.79.46.33.2分配系数逐次放松结点进行分配与传递固端弯矩最后弯矩0.60.40.40.6－128128－7551.276.825.6－31.4－47.2－15.76.39.43.2－1.3－1.9－0.70.30.40.2－0.1－0.1086.6－86.6124.2－124.2第九页，共三十九页，编辑于2023年，星期日4m4m8m8m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓24kN/m50kNABCD固端弯矩最后弯矩－128128－75086.6－86.6124.2－124.286.6124.2192i=2i=2i=1100M图（kN.m)ΔMik86.641.4－3.8－49.2ΔMki/20－1.920.7000ΔM´86.643.3－24.5－49.2ΔM´之比i之比i=2i=2i=1i=2i=2i=1校核i=2i=2i=1i=2i=2i=1第十页，共三十九页，编辑于2023年，星期日变形条件的校核：ijikijikiiMM=DD''ijikjiijkiikiiMMMM=D-DD-D332121ijjiijkikiikiMMiMMD-D=D-D321321ikkiikikkikiikikikiMMimMmMD-D=---=3213)(21)(jikikikmMM-=DkiikikMMMD-D=D21'由此可见，在同一结点上各杆杆端转角相等的前提下，两杆i端的kiikikMMMD-D=D21'值之比等于其线刚度之比。第十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日注意：

1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。

2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。

3）结点不平衡力矩要变号分配。

4）结点不平衡力矩的计算：结点不平衡力矩（第一轮第一结点）固端弯矩之和（第一轮第二三……结点）固端弯矩之和加传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩

5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数）但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。第十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日4I4I5I3I3I1110.750.5i=1110.750.5ABCDEF5m4m4m4m2m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m例题12-3求图示刚架的弯矩图。解：1）求分配系数SBA=3SBC=4SBE=4×3/4=3SCB=4SCD=3SCF=4×1/2=2结点B：∑S=SBA+SBC+SBE3+4+3=10μBA=3/10=0.3μBC=4/10=0.4μBE=3/10=0.3μCB=4/9=0.445μCD=3/9=0.333μCF=2/9=0.222结点C：∑S=SCB+SCD+SCF4+3+2=91）求固端弯矩mkNqlmCB.7.41122==mkNqlmBC.7.41122-=-=mkNqlmBA.4082==第十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期日ABCD

EFμBA=3/10=0.3μBC=4/10=0.4μBE=3/10=0.3μCB=4/9=0.445μCD=3/9=0.333μCF=2/9=0.222mkNqlmBc.7.41122-=-=mkNqlmBA.4082==mCB=41.7kN.mBABEBCCBCFCD0.30.30.40.4450.2220.33340－41.741.7－18.5－9.3－13.9－9.33.33.34.440－41.7－9.3=－112.2－1.0－0.5－0.7－0.50.150.150.243.43.5－46.5

24.4－9.8－14.8

EB1.60.11.7FC－4.7－0.2－4.9第十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期日ABCDEF↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m43.446.924.414.69.84.93.51.7M图（kN.m)ABCDEF29.150.954.545.53.71.32.5Q图(kN)ABCDEF49.2105.42.5N图(kN)1.2第十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期日静定伸臂的处理例题2-4试作弯矩图。50kN1m1m5m50kN50SBA=15EI=常数5

i=5i=1SBC=3μBA=5/6μBC=1/6μ5/61/6－20.8mM5025－4.2－20.820.85050kN20.850M图（kN.m)ABC第十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期日4EI4EI2EI2EI用力矩分配法计算，作M图。取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.5↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(－20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.20MB=31.25－20.83=10.42MC=20.83－20－2.2=－1.370.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.09

ABCEF第十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期日结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.200.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.090.060.030.020.03－0.01－0.01－0.01M0－1.42－2.8527.80－24.9619.940.560.29计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中力偶(顺时针为正)第十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期日↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i↓↓↓↓↓↓20kN/m1.5miiACEGHSAC=4iSCA=4iSCH=2iSCE=4iμAG=0.5μAC=0.5μCA=0.4μCH=0.2μCE=0.4结点杆端ACEAGACCACHCECHmμ0.50.50.40.20.4－15第十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期日0.50.50.40.20.4－157.57.53.75－1.50－0.75－1.50－0.75－0.750.370.380.19－0.08－0.03－0.08－0.04－0.040.020.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmμM－7.117.112.36－0.78－1.58－0.79↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.m)第二十页，共三十九页，编辑于2023年，星期日例题2-6求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。l1l2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABDCEI1I2↓↓↓↓↓↓↓qEBF解：取等代结构如图。设梁柱的线刚度为i1，i22i12i222iSBF=21iSBE=212iiiBF+=m211iiiBE+=m12)2(32121qllqmBE==212iii+i211ii+BEBFμ第二十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日μBEBF212iii+i211ii+mMM图当竖柱比横梁的刚度大很多时(如i2>20i1),梁端弯矩接近于固端弯矩ql2/12。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。当横梁比竖柱的刚度大很多时(如i1>20i2),梁端弯矩接近于零。此时竖柱对横梁起铰支座的作用。由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅决定于构造作法，也与相对刚度有关。如本例中只要横梁线刚度i1超过竖柱线刚度i2的20倍时，横梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱i2超过横梁线刚度i1的

20倍时，横梁即可按两端固定梁计算。i2i1i2i1第二十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日1、无剪力分配法的应用条件：刚架中除了无侧移杆外，其余的杆全是剪力静定杆。2、剪力静定杆的固端弯矩：↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m

求剪力静定杆的固端弯矩时先由平衡条件求出杆端剪力,将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，另端固定的杆计算固端弯矩。3、剪力静定杆的S和C：θAΔABMAB=4iθA－6iΔ/lMBA=2iθA－6iΔ/l∵QBA=－（MAB+MBA）/l=0∴MBA=－MAB，∴MAB=iθA,MBA=－iθA剪力静定杆的S=iC=－1Δ/l=θA/2§12-3无剪力分配法第二十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期日例题12-7用无剪力分配法计算刚架。解：1、求分配系数SBC=3i1=12SBA=i2=3μBC=4/5μBA=1/5BA杆的传递系数=－12m2m4m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓1kN/m

5kNi1=4i2=3ABC2、求固端弯矩：ABBABCCBμ4/51/5m－5.33－2.67－3.75分传1.285.14M－1.28－6.61－1.391.3901.395.706.61M图（kN.m)第二十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期日8m×6=48m5n4kN4kN4kN6kN6kN12kN2kN4kN6kN(3)(3)(3)(3)(3)(3)(4)(4)(4)(4)(5)(5)(5)(5)(2)(2)(1)(1)(1)2kN3kN

6kN

6kN

2kN

3kN2kN3kN

6kN

6kN

2kN

3kN2kN3kN

6kN6kN2kN3kN(3)(5)(4)(2)(6)(4)M=0第二十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期日2kN3kN

6kN6kN2kN3kN(3)(5)(4)(2)(6)(4)ABCDGFE1、求μ：大家算2、求m：大家算

6kN

4kN

1kNBCBAB结点杆端ACDAEABBFCBCGDCmμ6/71/712/196/154/15－24CD3/194/195/15－24－16－16－4－46.3225.268.42－6.32－8.4225.994.33－4.337.5811.379.47－7.58－9.47第二十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期日BCBAB结点杆端ACDAEABBFCBCGDCmμ6/71/712/196/154/15－24CD3/194/195/15－24－16－16－4－46.3225.268.42－6.32－8.4225.994.33－4.337.5811.379.47－7.58－9.471.887.522.51－1.88－2.510.671.000.84－0.67－0.841.610.27－0.270.150.590.20M－20.2527.6033.37－13.12－18.6812.376.31－14.31－27.60请自己完成弯矩图的绘制。第二十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期日§12-4超静定力的影响线（机动法）所以Z1(x)

=δP1(x)P=1xB(a)

Z1（x）P=1x①(b)

Z1=1δ=1δP1（x）②(c)让图b体系沿Z1正方向产生单位位移如图c（为状态2）W12=Z1×1

－1×δP1W21=0由功的互等得：W12=W21为了求图a中B支座反力，去掉约束代以未知力Z1

如图b（为状态1）。由于图a和图b等价，

B处竖向位移为零。所得虚位移图即量值Z的影响线，虚位移图形状即量值Z的影响线的轮廓线。第二十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期日机动法作影响线步骤:1、撤去与约束力Z1相应的约束。2、使体系沿Z1的正方向发生单位位移，作出荷载作用点的挠度图δP1图，即为Z1的影响线。所得挠度图的形状即为Z1的影响线的轮廓线。横坐标以上图形为正，横坐标以下图形为负。静定力的影响线对应于几何可变体系的虚位移图,因而是折线；超静定力的影响线对应于几何不变体系的虚位移图,因而是曲线。P=1x

Z1

Z1P=1x

Z1=1δ11δP1①②第二十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期日P=1xABCDEFABCDEFMC.I.LMCδ11MK.I.Lδ11ABCDEFMKKABCDEFRCδ11RC.I.LABCDEFQC右.I.L第三十页，共三十九页，编辑于2023年，星期日绘出该量值的影响线，由公式Z＝∑qω可知，在对应影响线的所有正号部分布满均布活载，所有负号部分不布置时，该量值产生最大值；反之，在对应影响线的所有负号部分布满均布活载，所有正号部分不布置时，该量值产生最小值。P=1xABCDEFMK.I.LRC.I.LKMC.I.L↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓MKmaxMCmin↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓RCmax跨中截面正弯矩最不利活载布置：本跨有活载,向两边每隔一跨有活载。支座截面负弯矩及支座反力最不利荷载布置：支座相邻两跨有活载,向两边每隔一跨有活载。§12-5连续梁的最不利荷载布置及内力包络图第三十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日连续梁的内力包络图：求在恒载和活载联合作用下，各截面可能产生的最大正弯矩Mmax和最大负弯矩Mmin。求Mmax和Mmin的原则：1、必有恒载作用，且永远出现。

2、活载按最不利情况考虑。具体作法：

1、把连续梁的每一跨分为若干等分，取等分点为计算截面。

2、全梁布满恒载，绘制M恒。

3、逐个的单独一跨布满活载，绘制各M活图。

4、求出各计算截面的Mmax和Mmin。

5、将各截面的Mmax值用曲线联结起来，将各截面的Mmin值用曲线联结起来，这两条曲线即形成弯矩包络图或弯矩范围图。第三十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日10m10m10m例：已知恒载集度q=12kN/m，活载集度p=12kN/m。作M包络图。0123456789101112120120↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=12kN/m9030↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓p=1280110103020↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓p=12kN/m60603030↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓