不等式专题讲义 高三二轮复习

高三复习（不等式专题）专题01 不等式与不等关系一、比较大小学法指导：（1）作差法：作差，判断差的符号；（2）作商法：两式同为正，作商，判断商与1的大小关系.（3）不等式性质法：（4）函数单调性法：（5）中间值法：（6）导数法：（7）数形结合法：（8）基本不等式法：（9）特殊值法：（10）糖水不等式法：（见拓展资料）【例1】（1）已知，则_______．（用“>”或“<”填空）.（2）若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．（3）已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．（4）已知函数，，，，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．（5）已知，则（）A． B． C． D．（6）已知，，，且，则（）．A． B． C． D．（7）如图所示：曲线，，和分别是指数函数，,和的图象,则a，b，c，d与1的大小关系是（）A． B．C． D．（8）设(其中0<x<y)，则M，N，P的大小顺序是（）A．P<N<M B．N<P<MC．P<M<N D．M<N<P二、证明不等式学法指导：（1）利用不等式基本性质证明：常用思路：执果索因，由因导果.（2）分析法证明不等式.（3）综合法证明不等式.（4）基本不等式证明不等式.（5）放缩法证明不等式.【例2】（1）若，，求证：．（2）证明：；（3）已知：，，且，求证：.（4）设a，b，c都是正数，试证明不等式：eq\f(b＋c,a)＋eq\f(c＋a,b)＋eq\f(a＋b,c)≥6.（5）求证:（6）求证:三、判断不等式是否成立学法指导：（1）选填题可取特值进行否定排除；（2）用不等式基本性质直接判断.【例3】下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则四、利用不等式求范围（值）（易错）学法指导：（1）对于与这种形式求范围的不等式，需要看做整体；（2）用待定系数法求出系数，利用不等式性质计算.【例4】（1）已知，，则的取值范围是（）A． B． C． D．（2）已知则的取值范围是__________.专题02 不等式解法一、不含参数的不等式（一）一元二次不等式学法指导：（1）（2）一元二次不等式与韦达定理：不等式解集的端点是对应方程的根.【例1】解下列一元二次不等式：（1）（2）（3）（4）【例2】不等式的解集为，则不等式的解集为（）A．或B．C．D．（二）一元高次不等式学法指导：用“数轴穿根法”：系数化正，因式分解，数轴标根，从上往下，从右往左，寄穿偶回，注意等号.【例3】解下列高次不等式：（1）（2）（三）分式不等式学法指导：移项通分，除法变乘法，分母不为零.【例4】解下列分式不等式：（1）（2）【例5】（1）； （2）； （3）（四）其余不等式学法指导：根式、指数、对数、抽象不等式等.【例6】（1）不等式的解为______.（2）函数的定义域是______.（3）函数的定义域是___________．(4已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．二、解含参不等式（一）二次项系数不含参数学法指导：（1）分解因式得到，求出两个根，；（2）比较两个根的大小，；；，并分别进行讨论.【例7】（1）解关于的不等式；（2）解关于的不等式（二）二次项系数含有参数学法指导：（1）分析当时的情况；（2）十字相乘得到，求出两个根，，若不能十字相乘，则要讨论的情况；（3）比较两个根的大小，；；，并分别进行讨论.（4）其中一种情况涉及到以及，再分开口方向讨论.【例8】（1）解关于的不等式：.（2）解关于的不等式：专题03 不等式恒成立、有解、无解问题一、不等式恒成立问题（一）R上恒成立（注意，二次项系数含参要讨论）学法指导：（1）上恒成立；（2）上恒成立。【例1】（1）若不等式的解集是R，求m的范围.（2）函数的定义域是，则实数的取值范围是________．（二）给定区间上恒成立学法指导：（1）参数在常数位置或者变量范围恒正恒负，优先考虑参变分离；；.（2）参数在二次或一次项，且变量范围有正有负，分类讨论.【例2】（1）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是_________．（2）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______.（三）给定参数范围恒成立学法指导：变更主元法，将参数看做变量.给定一次函数在区间内恒有，则可得同理，若在内恒有，则有.【例3】（1）对于，不等式恒成立的的取值范围是___.（2）若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是___.二、不等式有解问题学法指导：优先考虑参变分离：；.参变分离不好做就分类讨论.【例4】（1），使得，则实数的取值范围是______.（2）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是____.（3）方程在区间内有解，求的取值范围.三、不等式无解问题学法指导：（1）已知关于的不等式的解集为，则一定满足（2）已知关于的不等式的解集为，则一定满足（3）或者转化为恒成立问题，小于零为空等价于大于等于零恒成立.【例5】（1）已知关于的不等式解集为空集，则实数的取值范围是______.（2）已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是_______．专题04 基本不等式1．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．2．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．3．算术平均数与几何平均数(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)；(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．用基本不等式求最值的结论(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝eq\f(s,2)时，积xy有最大值为eq\f(s2,4).(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y＝eq\r(p)时，和x＋y有最小值为2eq\r(p).5．基本不等式求最值的条件(1)x，y必须是正数．(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．一、常见模型学法指导：（1）模型一：，当且仅当时等号成立.（2）模型二：，当且仅当时等号成立.（3）模型三：，当且仅当时等号成立. 倒数形式（二次比一次可化成模型一，一次式较复杂时令一次式为t）（4）模型四：，当且仅当时等号成立.（5）模型五：已知，求最小值.（6）若出现，其中、、、、因为，可以转化为或，从而求出及的取值范围.若出现求取值范围，先将式子因式分解成为形式，再用基本不等式求出最值。【例1】（1）若函数在处有最小值,则（）．．3．．4（2）若对任意，恒成立,则的取值范围是__________.（3）若,则有（）．最大值．最小值．最大值1．最小值1（4）已知正数x、y满足，求的最小值.（5）求的值域.（6）设则()A.有最大值8B.有最小值8C.有最大值8D.有最小值8二、三个正数的均值不等式学法指导：（1）当且仅当a=b=c时,“=”号成立；（2）,当且仅当a=b=c时,“=”号成立.【例2】（1）求函数的最小值.（2）求函数的最大值.三、易错点学法指导：（1）忽略基本不等式的使用条件和取等条件；（2）多次使用基本不等式忽略取等条件.【例3】（1）已知，求的最小值.（2）已知，求证：.（3）已知，，求的最小值.专题05 基本不等式的应用一、与向量综合【例1】（1）在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________.（2）如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线、于不同的两点、．设，，则的最小值是（）A． B． C． D．二、与三角恒等变换综合【例2】已知锐角、满足，则的最小值为（）A．4B．C．8D．三、与解三角形综合【例3】已知中角，，所对的边分别为，，，为边上一点，且为的角平分线，若，，则最小值为___________．【例4】在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.四、与数列综合【例5】（1）已知数列满足，则的最大值为________.（2）已知等比数列的各项均为正数，，且存在，使得，则的最小值为________．五、求面积最值【例6】设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点P，设.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求的最大面积及相应x的值.六、求函数最值【例7】泰州市民小王新购置了一套住房，拟对新房进行装修.在装修中需满足如下要求：①窗户面积应小于地板面积，②窗户面积不小于地板面积的，③窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好.设窗户面积为m平方米，地板面积为n平方米，已知，其中k为常数.已知当窗户和地板的总面积为22平方米时，窗户面积恰好是地板面积的.（1）求实数k的值；（2）在满足装修的要求下，求窗户面积可以取到的范围；（3）当采光效果最好时，求窗户的面积.专题06 根的分布问题设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示．根的分布(m＜n＜p且m，n，p均为常数)图象满足的条件x1＜x2＜m①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<m，,f（m）>0.))m＜x1＜x2②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>m，,f（m）>0.))x1＜m＜x2③f(m)<0.m＜x1＜x2＜n④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,m<－\f(b,2a)<n，,f（m）>0，,f（n）>0.))m＜x1＜n＜x2＜p⑤eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）>0，,f（n）<0，,f（p）>0.))m<x1＝x2<n⑥eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝0，,m<－\f(b,2a)<n.))只有一根在区间(m，n)内⑦f(m)·f(n)<0.【例1】已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围．专题07 拓展资料一、柯西不等式学法指导：柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…bn为实数，则(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))·(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.柯西不等式二元式：设，，，，有当且仅当时等号成立。模型一：其中，例如；模型二：模型三：一高一低和式配凑类型已知的值，求的取值范围，或者已知的值，求的最值或者求的最值即，其中，例或者写成模型四：同次积式配凑类型已知的值，求的最值，利用求最值.【例1】（1），且，则_________.（2）已知，则_________.（3），则的最小值是．（4）设函数，则当时，的最大值是．（5）已知，且，则的最大值是．（6）已知，，，则的最小值为（）A．49 B．