概率论和数理统计假设检验

概率论和数理统计假设检验第一页，共三十六页，编辑于2023年，星期六2本章主要学习内容§1假设检验概述§2正态总体参数的假设检验§3非参数检验§4假设检验问题的p值法第二页，共三十六页，编辑于2023年，星期六3所谓假设检验就是对总体X作某种假设，然后依据样本数据，利用概率论的知识，判定假设“H0”是否成立的推断方法。总体分布类型已知但含有未知参数，对未知参数作某种假设，然后判定假设的正确性。总体分布类型未知，对总体的分布类型等作某种假设，然后判定假设的正确性。参数检验非参数检验两类典型问题:第三页，共三十六页，编辑于2023年，星期六§1假设检验4本节主要学习假设检验的概念；要点是：理解假设检验的基本思想，熟悉假设检验可能产生的两类错误。第四页，共三十六页，编辑于2023年，星期六5引例1

某车间用一台包装机包装葡萄糖，额定标准为每袋净重0.5公斤。设实际袋重服从正态分布，且=0.015。某天开工后，随机抽取9袋，称得净重为0.497,0.560,0.5180.524,0.489,0.511,0.510,0.515,0.512.问包装机的工作是否正常?

一、问题的引出思考：怎样算是

“包装机的工作正常”？总体的均值是否等于额定值0.5？各袋重量允许有误差，但平均袋重应当稳定在额定标准！解决思路：假设的值等于0.5，我们以样本数据为事实依据，来检验该假设的正确性。第五页，共三十六页，编辑于2023年，星期六6如何给出一个明确的数量界限，以便确认此偏差是否过大呢？由于样本均值是总体的无偏估计，故当H0为真时，当H0为真时如果过分大，则有理由怀疑H0的正确性从而拒绝H0分析:记包装机所包装的糖的重量为X,则假设H0：=0=0.5（相当于假设包装机工作正常），第六页，共三十六页，编辑于2023年，星期六7小概率原理:

一个小概率事件,在一次试验中是不会发生的。代入样本值，计算得小概率事件在一次试验中竟然发生了，与“小概率原理”相背---矛盾！因此，我们有理由认为，假设H0不真，而拒绝之。有理由认为包装机工作不正常。{|U|≥1.96}是一个概率很小的事件！比如取=0.05，就有概率反证法：如果小概率事件在一次试验中竟然发生了，我们就以很大的把握否定原假设。第七页，共三十六页，编辑于2023年，星期六8二、常用的术语故假设H0是不合理的，从而拒绝H0，接受H1，即认为包装机的工作不正常。临界值点解:今假设H0：=0=0.5，且记H1：≠0=0.5，由于X～N(0，2),故进而:检验统计量对于给定的=0.05，检验水平

有P{|U|>k}=0.05拒绝域

其中

k=z/2=1.96。实际计算得原假设备择假设当H0为真时，统计量的实测值落入了拒绝域第八页，共三十六页，编辑于2023年，星期六1、两种易犯的错误9

“弃真”错误：三、方法的分析

即为检验水平.

“弃真”错误发生的概率为？

当假设H0为真时，因样本的统计量的观察值落入拒绝域，按此方法，H0被拒绝。因代入样本值，概率（）很小的事件{|U|≥1.96}发生了,发现:●●●●●P{拒绝H0|H0为真}=拒绝H0第九页，共三十六页，编辑于2023年，星期六10“纳伪”错误：

“纳伪”错误发生的概率为？P{接受H0|H0为假}=.注:≠1-.在实际应用中,这两种错误,都会带来损失！通常记为

，即●当H0为假时，因样本的统计量的观察值落入接受域，按此方法，H0被接受.第十页，共三十六页，编辑于2023年，星期六11愿望:

和都尽可能地小.事实:

n一定时,减少,必导致的增加;原则:

通常只控制犯第一类错误的概率,即只控制使适量地小,（如：取为0.1,0.05,0.01,0.005等,）而不考虑第二类错误的概率.

这样的检验称为显著性检验,数称为显著性检验水平(简称水平或信度).经实践论证：当n充分大时,和可同时减少,或(或)减少而不至于使(或)增加.第十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期六2、检验结果的含义

拒绝假设H0是有说服力的；12因P{|U|>k}=在引例中，拒绝H0小概率事件发生了而接受H0相对来说，是欠说服力的。找出了矛盾可见，H0与H1不是“对称”的，不能随意交换！

因此，为了得到较有说服力的结果，应将我们要说明的结论作为H1，而把其反面作为H0。例如：有两个总体X～N(1，12),Y～N(2，22)要问：两总体的均值是否有显著的差别？应设

H0：1=2，H1：1≠2要问：总体X的均值是否显著比总体Y的均值大？应设

H0：1≤

2，H1：12——双边检验——单边检验第十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期六1、根据问题的要求，提出假设H0和备择假设H1。132、在H0成立的前提下，构造一个适当的检验统计量V，（它的分布应不含任何未知参数，而且可以查出或算出它的分位点。）3、按给定的显著性水平，在原假设为真的条件下，求出临界值点，从而求出拒绝域。4、根据样本的观察值算出V的值，确定是否拒绝H0。注:

前两步乃解决问题的关键点！四、方法的步骤

结合备择假设回顾引例的解题过程-k0k临界值点拒绝域第十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期六1、按检验对象分类：参数检验，非参数检验。142、按拒绝域形成分类：双边检验:在水平下检验假设

H0：=0；H1：≠0

哪一个成立。单边检验:在水平下检验假设

H0：=0；H1：>0

(或<0

)哪一个成立。

3、按检验统计量的分布类型分类

U—检验；t—检验；2—检验；F—检验；五、检验的分类作业：P672

第十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期六§2正态总体参数的假设检验15

本节主要学习正态总体均值的假设检验；

要点是：掌握单个正态总体均值的假设检验以及两个正态总体均值差的假设检验的基本方法，了解基于成对数据的假设检验。第十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期六16例1

某厂所产某种产品的寿命X～Ｎ(,2),正常情况0=40,0=2.技术革新后,随机取产品25件,测得其寿命均值为40.75.设革新后方差没变,问革新后产品质量是否较以前有显著提高(=0.05)?①首先考虑假设H0以及H1应取什么？分析：通常的做法是：先根据所求确定H1，再确定

H0。一、单个正态总体均值的检验由于只考虑质量是否提高,所以是单边检验.②检验统计量用哪一个？

同引例可用③利用上分位点确定拒绝域.故假设H0

:0=40；H1:>0=40一个有用的结论:具有相同的拒绝域.第十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期六

(1)此问题为:在水平

=0.05下检验假设：

H0:0=40；H1:>0=40

哪一个成立?

(2)取统计量:17解：则U～N(0,1)。

u

=(40.75-40)/(2/5)=1.865>1.65所以应予拒绝H0,而接受H1；也就是说,技术革新后,产品的寿命在水平=0.05下有了显著提高。Z1-接受域拒绝域1.假设的提法;2.选择检验统计量;3.确定拒绝域的形式。注意用单侧分位点双侧检验的拒绝域取在两侧;单边检验的拒绝域中不等式的取向与备择假设H1中不等式的取向完全一致。(3)由P{U>Z0.05}=0.05查表Z0.05=1.65,(4)而U的数值:第十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期六18单个正态总体均值的检验总体方差2已知时，总体方差2未知时，检验统计量检验统计量—U检验法—t检验法拒绝域拒绝域双侧检验的拒绝域取在两侧;单边检验的拒绝域中不等式的取向与备择假设H1中不等式的取向完全一致。①H0

:=0

H1:

≠0②H0:=0

H1:>0③H0:=0

H1:<0

①H0:=0

H1:≠0②H0:=0

H1:>0

③H0:=0

H1:<0

第十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期六19(3)则T～t(9),由P{|T|>t0.025(9)

}=0.05，查t分布表得

t0.025(9)=2.262,即在显著性水平0.05下，可认为灯泡的平均寿命为=1600。

统计量的观测值未落入拒绝域中，从而接受H0.H0:=0=1600，H1:≠0

解：(2)由于方差未知,所以选统计量:例2

在正常情况下,某工厂生产的灯泡的寿命X服从正态分布,今测得10个灯泡寿命为:1490,1440,1680,1610,1500,1750,1550,1420,1800,1580问能否认为该工厂生产的灯泡寿命0=1600(=0.05)?(1)提出假设:(4)而T

的数值:第十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期六20问题:区间估计与假设检验有何关系?以2未知，关于的区间估计与假设检验为例说明.设置信度为1－,即检验水平为,则对,查t分布表使得

的置信区间为选用统计量共同点：区间估计假设检验假设H0:=

0，H1:≠

0H0的拒绝域为:求得统计量的观测值区间估计与假设检验的统计处理是相通的.但区间估计是估计未知参数所在的区间；假设检验是给了有关未知参数的假设,去判定假设的对错。结论：区别：第二十页，共三十六页，编辑于2023年，星期六两总体X与Y的方差12、22已知时，用21作为检验统计量——U检验法。两总体X与Y的方差12、22未知，但12=22=

2，用作为检验统计量——t检验法。二、两个正态总体均值差的检验第二十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期六22例1

在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的革新是否会增加钢的得率.现在同一平炉上分别用标准方法和革新方法交替各炼10炉,其得率分别为:

标准方法：78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3

新方法：79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,79.1,79.1,77.3,80.2,82.1

设这两个样本相互独立，都来自正态总体，且二总体的方差相同。问革新的方法能否提高得率？取=0.005.

设用标准方法炼一炉钢的得率为X，用新方法炼一炉钢的得率为Y，则X～N（１,2）,Y～N（2,2）.(1)首先考虑需检验的原假设、备择假设是什么?(2)检验统计量应用哪一个?H0:１-20,

H1:１-2<0分析:第二十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期六23先求出各方法的样本均值和样本方差:

标准方法:n1=10x1=76.23s12=3.325

新方法:n2=10x2=79.43s22=2.225当假设H0为真时,取统计量则T～t(18)．由P{T<-t0.005}=0.005,查表得-t0.005=-2.8784。从而拒绝域为（-,-2.8784）。代入样本值得T的值为t=-4.295<-2.8784,所以拒绝H0.故我们认为建议的操作方法较原来的标准方法为优.解:在水平=0.005下检验假设:

H0:１-20,H1:１-2<0第二十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期六24四、单个正态总体方差的检验要求检验假设:根据第六章§3定理二可知,拒绝域为:第二十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期六25例1推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?测出其寿命的样本方差寿命的波动性有所变化.现随机的取26只电池情况来看,现有一批这种电池,从它的生产其寿命长期以来服从方差某厂生产的某种型号的电池,问根据这一数据能否解：选取统计量第二十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期六26认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化.由(3.1)拒绝域为第二十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期六例2

一台车床生产某一型号的滚珠.已知滚珠的直径服从正态分布,规定直径的标准值为1(cm),均方差不能超过0.02(cm).现从这台车床生产的滚珠中抽出9个,测得其直径为:0.994，1.014，1.02，0.95，1.03，0.988，0.979，1.023，0.982，问这台车床工作是否正常？(取检验水平=0.05)27分析：（2）对期望的假设检验，单边还是双边?（3）对方差的检验假设，单边还是双边?（1）要判断工作是否正常，需检验什么？备择假设H1应取作什么？检验统计量用哪一个？备择假设H1应取作什么？检验统计量用哪一个？设滚珠的直径为X，计算其样本均值为x=0.998，

样本均方差为s=0.026。第二十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期六设滚珠的直径为X，计算其样本均值为x=0.998，

样本均方差为s=0.026。（1）先在水平=0.05下检验假设

H0：=0=1H1：≠0=1。

28取统计量则T～t（9-1）由P{|T|>t0.025}=0.05，查t分布表得:t0.025(8)=2.306，即拒绝域为(－,－2.306)∪(2.306，+)，=0.23<2.306故接受H0。解:而|T|的数值:第二十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期六（2）再在水平=0.05下检验假设

H0：202=0.022H1：2>02

=0.022取统计量：29则Y～2（8）由P{Y>20.05}=0.05,查2分布表得:20.05(8)=15.507,从而拒绝域为(15.507,+)而Y的数值y=(8⁄0.022)0.0262=9.69<15.507,故接受H0。综合（1）和（2）可以认为车床工作正常。第二十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期六30五、两个正态总体方差比的检验现在需要检验假设:当H0为真时,知即得检验问题的拒绝域为:第三十页，共三十六页，编辑于2023年，星期六例3

某建筑构件厂使用两种不同的沙石生产混凝土预制块,各在所产产品中取样分析.取使用甲种沙石的预制块20块,测得平均强度为310kg/cm2,标准差为4.2kg/cm2,取使用乙种沙石的预制块16块,测得平均强度为308kg/cm2,标准差为3.6kg/cm2,设两个总体都服从正态分布,在=0.01下,问

(1)能否认为两个总体方差相等?

(2)能否认为使用甲种沙石的预制块的平均强度显著的高于用乙种沙石的预制块的平均强度?

31第三十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期六32取统计量则F～Ｆ（19，15），查分布表得F0.01/2（19,15)=F0.005(19,15)=3.59F1-0.005(19,15)=1/F0.005(15,19)=0.26从而拒绝域为(0,0.26)∪(3.59,+∞)将样本值S1=4.2,S2=3.6代入,得F的数值为4.22/3.62=1.36∵0.26<1.36<3.59设使用甲、乙两种沙石的混凝土预制块的强度分别为X、Y，则X～N（１,12）,Y～N（2,22）.解:(1)在检验水平=0.01下检验假设H0：12=22H1：12≠22

∴接受H0,