高中数学苏教版必修四教学案第2章22向量的线性运算

第1课时向量的加法在大型生产车间里，一重物被天车从A处搬运到B处，如下图．它的实际位移，可以看作水平运动的分位移与竖直运动的分位移的合位移．问题1：依据物理中位移的合成与分解，你认为，，之间有什么关系？提示：＝＋.问题2：与之间有什么关系？提示：＝.问题3：向量，，之间有什么关系？提示：＝＋.1．向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法．2．向量加法的运算法那么(1)三角形法那么：向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，那么向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.(2)平行四边形法那么：两个不共线的非零向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作▱OABC，那么以O为起点的对角线上的向量＝a＋b，如图．这个法那么叫做两个向量求和的平行四边形法那么．问题1：如图，＝＋＝a＋b；同理＝＋＝b＋a.由此你能得出什么结论？提示：a＋b＝b＋a.问题2：如图，＝＋＋＝a＋b＋c；＝＋＝a＋(b＋c)；＝＋＝(a＋b)＋c.由此你又能得出什么结论？提示：a＋b＋c＝a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.向量加法的交换律和结合律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)a＋0＝0＋a＝a；(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.1．向量加法的三角形法那么是从位移求和引出的，使用三角形法那么特殊要留意“首尾相接〞，和向量是从第一个向量的起点指向其次个向量的终点，当两个向量平行(或共线)时，三角形法那么同样适用．2．向量加法的平行四边形法那么是从力的合成引出的，使用该法那么关键是将向量a，b的起点移到同一点A，并以a，b为邻边作平行四边形ABCD，那么向量即为a＋b.[例1]化简以下各式：(1)＋＋；(2)(＋)＋＋；(3)＋＋＋.[思路点拨]多个向量相加，可以利用向量加法的三角形法那么求解，也可直接运算．[精解详析](1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝0；(2)(＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝；(3)＋＋＋＝＋＋＝＋＝.[一点通]在进行向量加法运算时，利用运算律转化为“顺次首尾相接的形式相加〞，即＋＋＝的形式，计算简捷且不易出错．1．在平行四边形ABCD中，＋＋＝________.解析：＋＋＝(＋)＋＝＋＝.答案：2．以下各式中结果为0的是________．①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④＋＋＋.解析：①原式＝＋＝0；②原式＝(＋)＋(＋)＝＋＝0；③原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.④原式＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.故①②④符合．答案：①②④3．化简或计算：(1)＋＋；(2)＋＋＋＋.解：(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.(2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝0.[例2]四边形AECF是平行四边形，B，D是对角线EF上的两点，且FD＝EB(如下图)．求证：四边形ABCD是平行四边形．[思路点拨]要证明四边形ABCD是平行四边形，可证明＝或＝.[精解详析]∵四边形AECF是平行四边形，∴FC∥AE，FC＝AE，又∵，方向相同，∴＝，∵DF＝EB，且在一条直线上，与方向相同，∴＝，∵＝＋，＝＋，∴＝，∴AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．[一点通]解决此类问题应留意以下两点：(1)要留意向量加法的三角形法那么及平行四边形法那么的应用条件；(2)要留意方向相同且长度相等的有向线段所表示的向量是相等向量．4.如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝________.解析：由于＝，故＋＋＝＋＋＝.答案：5．在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，求，，.解：如下图，连结FC交AD于点O，连结OB，由平面几何学问得四边形ABOF和四边形ABCO均为平行四边形．依据向量的平行四边形法那么，有＝＋＝a＋b，故有＝2＝2a＋2b.在平行四边形ABCO中，＝＋＝a＋a＋b＝2a＋b.而＝＝＝a＋b，由三角形法那么得＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b.[例3]小雨滴在无风时以4m/s的速度匀速下落．一阵风吹来，使得小雨滴以3m/s的速度向东移动．那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何？(提示：tan37°＝eq\f(3,4))[思路点拨]依据题意作出示意图，然后利用向量解决．[精解详析]法一：如图，设表示小雨滴无风时下落的速度，表示风的速度，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，那么就是小雨滴实际飞行的速度．在Rt△OAC中，||＝4m/s，||＝3m/s，所以||＝eq\r(||2＋||2)＝5m/s.且tan∠AOC＝eq\f(||,||)＝eq\f(3,4)，即∠AOC≈37°.所以小雨滴实际飞行速度为5m/s，方向约为东偏南53°.法二：如图，设表示小雨滴无风时下落的速度，表示风的速度，以OA，AB为两边作三角形OAB，那么就是小雨滴实际飞行的速度．在Rt△OAB中，||＝4m/s，||＝3m/s，所以||＝eq\r(||2＋||2)＝5m/s.所以tan∠AOB＝eq\f(||,||)＝eq\f(3,4)，即∠AOB≈37°.所以小雨滴实际飞行的速度为5m/s，方向约为东偏南53°.[一点通]利用向量解题，其关键是通过向量的运算建立向量与未知量的关系，然后求解并作出实际答复，解决时要留意作图的精确?????性．6．一条宽为eq\r(3)km的河，水流速度为2km/h，船在静水中的航速为4km/h，该船要从河的一边驶向对岸，为使行程最短，应怎样支配行驶方向？用时多少？解：如图，设为水流速度，为最大航速，以AC和AD为邻边作平行四边形ACBD.依据题意AC⊥AB，在Rt△ABD和平行四边形ACBD中，||＝||＝2，||＝4，∠ABD＝90°，所以||＝eq\r(||2－||2)＝2eq\r(3)，sin∠BAD＝eq\f(||,||)＝eq\f(1,2)，所以∠BAD＝30°.设所用时间为t(h)，那么t＝eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(1,2)(h)．答：船沿着与水流方向成120°的方向行驶可使行程最短，用时0.5小时．7．在“3·11〞大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．解：如下图，设、分别是直升飞机两次位移，那么表示两次位移的合位移．即＝＋，在Rt△ABD中，||＝20km，||＝20eq\r(3)km，在Rt△ACD中，||＝eq\r(||2＋||2)＝40eq\r(3)km，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40eq\r(3)km处．向量加法法那么的应用对于向量求和的三角形法那么与平行四边形法那么，要留意它们的应用条件．当两个向量不共线时，它们是全都的．但当两个向量共线时，三角形法那么仍旧适用，而平行四边形法那么就不适用了．向量加法遵循三角形法那么和平行四边形法那么，因此，向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么实际上就是向量加法的几何意义．用三角形法那么求两个向量和的步骤是：第一步：将其中一个向量平移，使两个向量中的一个向量的起点与另一个向量的终点重合；其次步：将剩下的起点与终点相连，并指向终点，那么该向量即为两向量的和．课下力量提升(十四)一、填空题1．化简：＋＋＋＝________.解析：＋＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.答案：2．假设|a|＝8，|b|＝5，那么|a＋b|的取值范围是________．解析：当a与b同向时，|a＋b|取最大值13；当a与b反向时，|a＋b|取最小值3.答案：[3,13]3．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，那么在以下结论中，正确的序号是________．①a∥b②a＋b＝a③a＋b＝b④|a＋b|<|a|＋|b|⑤|a＋b|＝|a|＋|b|解析：∵a＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝0，∴①③⑤正确．答案：①③⑤4．在边长为1的正三角形ABC中，假设向量＝a，＝b，那么|a＋b|＝________.解析：如图，设AC的中点为D，由平行四边形法那么知|a＋b|＝||＝2||＝eq\r(3).答案：eq\r(3)5．以下命题中正确命题的个数为________．①假如非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同②△ABC中，必有＋＋＝0③假设＋＋＝0，那么A、B、C为一个三角形的三个顶点④假设a，b均为非零向量，那么|a＋b|与|a|＋|b|肯定相等解析：①假命题，当a＋b＝0时，命题不成立；②真命题；③假命题，当A，B，C三点共线时，也可以有＋＋＝0；④假命题，只有当a与b同向时才相等．答案：1二、解答题6．A、B、C是不共线的三点，G是△ABC内的一点，假设＋＋＝0，求证：G是△ABC的重心．证明：如下图，∵＋＋＝0，∴＝－(＋)，以、为邻边作平行四边形BGCD，那么有＝＋，∴＝－.又由于在▱BGCD中，BC交GD于点E，∴＝，＝.∴AE是△ABC的边BC的中线，且||＝2||.∴G是△ABC的重心．7．||＝||＝eq\r(2)，且∠AOB＝120°，求|＋|的值．解：以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，那么＝＋.由于||＝||＝eq\r(2)，且∠AOB＝120°，所以△OAC是正三角形．所以|＋|＝||＝||＝eq\r(2).8．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度(保存小数点后1位数字)．解：如图，表示水流速度，表示船垂直于对岸方向的速度，表示船实际航行的速度，其中∠AOC＝30°，||＝5(km/h)．由于四边形OACB为矩形，所以||＝eq\f(||,tan30°)＝||×eq\r(3)＝5eq\r(3)≈8.7(km)，||＝eq\f(||,cos30°)＝eq\f(5\r(3),\f(\r(3),2))＝10(km)．所以船的实际速度大小为10km/h，方向与河岸成30°角，水流速度大小约为8.7km/h.第2课时向量的减法问题1：我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数，想一想，向量减法是否也有类似法那么？提示：有，向量a减去b相当于加上b的相反向量－b.问题2：向量a和b，如何作出a－b?提示：作＝a，＝b，＝－b.那么＝a＋(－b)＝a－b，因四边形ABCD为▱ABCD，∴＝＝a－b.问题3：向量的减法是否也满意三角形法那么和平行四边形法那么？提示：满意，作＝a，＝b，那么＝a－b.1．向量减法的定义假设b＋x＝a，那么向量x叫做a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．2．向量的减法法那么以O为起点，作向量＝a，＝b，那么＝a－b，即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a－b.向量减法的实质是向量加法的逆运算，利用相反向量的定义，－＝，就可以把减法转化为加法，在运用三角形法那么做向量减法时，只要记住“重合两向量的起点，连结两向量终点，箭头指向被减向量〞即可．[例1]化简：(－)－(－)．[思路点拨]解答此题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简．[精解详析]法一：(－)－(－()＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.法二：(－)－(－)＝(－)＋(－)＝＋(－)＝＋＝0.法三：在平面上取一点O，那么＝－，(－)－(－)＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.[一点通]法一是把向量的减法转化为加法进行化简；法二是利用向量减法法那么进行化简；法三可设一个帮助点O，利用＝－的关系进行化简．事实上，平面内任一向量都可以写成两个向量的和；同样，任一向量都可以写成两个向量的差．要学会通过这种转化来简化运算．1．以下四个式子中，可以化简为的有________．①＋；②－；③＋；④－.解析：＋＝；－＝.答案：①④2．以下四个式子，不能化简为的序号是________．①(＋)－；②(－)＋(－)；③－＋；④＋－解析：①原式＝＋(－)＝＋＝；②原式＝＋－(＋)＝＋－＝；③原式＝＋＝；④原式＝＋＋≠，∴只有④不能化为.答案：④3．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，那么以下各式不正确的选项是________．①＋＋＝0②－＋＝0③＋－＝0④－－＝0解析：①＋＋＝＋＋＝－＋＋＝＋＝＋＝0；②－＋＝(＋)－＝－≠0；③＋－＝＋(－)＝＋≠0；④－－＝(－)－＝－＝＋≠0.答案：②③④[例2]如下图，正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量a－b＋c，并求出它的模．[思路点拨]可先作a－b，再与c求和．[精解详析]延长AB至F，使||＝||，连结CF，由于＝＝a，∴＝a－b.a－b＋c＝＋＝＋＝.那么即为所求，如下图．且||＝2||＝2.[一点通](1)作两个向量的差向量，起点要重合、箭头指向的是被减向量的终点，即“统一起点，连结终点，指向被减〞．(2)比照两个向量的求和运算，把握向量减法的运算法那么．向量减法是加法的逆运算．作图一般要通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．4．保持例题条件不变，求作向量a＋b＋c，并求它的模．解：如图，由得a＋b＝＋＝，又＝c，所以延长AC至E，使||＝||，那么a＋b＋c＝＋＝，且|a＋b＋c|＝||＝2||＝2eq\r(2).5．将本例中条件变为“＝a，＝b，＝c〞，试作向量a＋b－c，并求其模．解：如图：a＋b＝＋＝，∴a＋b－c＝－.作＝，所以a＋b－c＝，且||＝|a＋b－c|＝2.[例3]如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.[思路点拨]查找图中向量与所要表示的向量之间的关系，然后利用向量的加法或减法来解决．[精解详析]如下图，由于＝a，＝b，＝c，又＝－＝c－b，＝－＝－a，又＝，所以c－b＝－a，那么＝a－b＋c.[一点通](1)在解决这类问题时，要留意向量加法、减法和共线(相等)向量的应用．当运用三角形法那么时，要留意两向量首尾相接，当两个向量起点相同时，可以考虑用减法．(2)事实上任意一个非零向量肯定可以表示为两个不共线的向量的和，即＝＋以及＝－(M，N是同一平面内任意一点)．6.如图，四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，那么＝________(用a，b，c表示)．解析：＝＋＋＝－b＋a＋c＝a－b＋c.答案：a－b＋c7．如下图，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.证明：法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝，∴b＋c＝＋＝＋＝，∴b＋c－a＝－＝＋＝.法二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝，∴c－a＝－＝－＝＋＝，∵＝b，∴b＋c－a＝b＋＝＋＝.1．利用向量减法几何作图的方法(1)向量a，b，如图甲所示，作＝a，＝b，那么＝a－b＝－，即向量等于终点向量()减去始点向量()，利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法那么作出a－b，作＝a，＝b，＝－b，那么＝a＋(－b)，如图乙所示．2．运用向量减法法那么运算的常用方法(1)可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算；(2)运用向量减法的三角形法那么，此时要留意两个向量要有共同的起点；(3)引入点O，逆用向量减法的三角形法那么，将各向量起点统一．3．用几个根本向量表示某个(些)向量的技巧(1)首先，观看待表示向量的位置；(2)其次，查找(或作)相应的平行四边形和三角形；(3)再次，运用法那么找关系；(4)最终，化简结果．课下力量提升(十五)一、填空题1.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，那么＝________.解析：＝＋＋＝－b＋a＋c＝a－b＋c.答案：a－b＋c2．化简以下向量式，结果为0的个数是________．①－＋；②＋＋－；③－－；④＋－解析：①－＋＝0②＋＋－＝＋＝0③－(＋)＝0④＋－＝0.答案：43．以下命题中，正确的个数是________．①在平行四边形中，＋－＝＋；②a＋b＝a⇔b＝0；③a－b＝b－a；④－＋－的模为0.解析：由向量的加法与减法法那么知①④正确．由a＋b＝a⇔a＋b－a＝0⇔(a－a)＋b＝0⇔b＝0知，②正确．由a－b＝a＋(－b)＝－(b－a)知，③是不正确的．答案：34．向量a的终点与向量b的起点重合，向量c的起点与向量b的终点重合，那么以下结论正确的为__________．①以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)．②以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－a－b－c.③以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－b－c.解析：依据题意画出如以下图形，可知：以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)，①正确；以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－(a＋b＋c)＝－a－b－c，②正确；以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－(b＋c)＝－b－c，③正确．答案：①②③5．菱形ABCD边长是2，那么向量－＋的模为________．解析：∵－＋＝＋＋＝，∴|－＋|＝||＝2.答案：2二、解答题6．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，假设以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示，，.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，∴＝＋＝a＋b，∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b.又四边形ODHC为平行四边形，∴＝＋＝c＋a＋b，∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.7．化简：(1)(－)－(－)；(2)(＋＋)－(－－)．解：(1)(－)－(－)＝－＝.(2)(＋＋)－(－－)＝＋－＋(＋)＝＋－＋＝－＋＝＋＋＝＋＝0.8.如图，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：(1)；(2)；(3)＋＋.解：(1)＝－＝c－a.(2)＝＋＝－＋＝－a＋d.(3)＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.第3课时向量的数乘问题1：我们知道x＋x＝2x，那么a＋a是否等于2a?提示：是．问题2：2a方向与a方向是否相同？并给以说明．提示：方向相同，如图．＝＋＝a＋a＝2a.问题3：－a＋(－a)等于－2a吗？其方向与a的方向有何关系？提示：等于，方向相反．1．向量的数乘实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.2．向量数乘的运算律设a、b为任意向量，λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.问题1：我们知道，向量a、2a和－3a是共线向量，向量a和λa(λ∈R)是共线向量吗？提示：共线．问题2：假设b＝2a(a≠0)，b与a共线吗？提示：共线．问题3：假设向量a和向量b共线，且|b|＝2|a|，试想两向量有何等式关系？提示：假设a、b同向，那么b＝2a，假设a、b反向，那么b＝－2a.向量共线定理假如有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b和a是共线向量；反之，假如b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.1．关于实数与向量的积λa的理解λa是一个向量，不是一个实数，我们可以把向量a的长度扩大(当|λ|>1时)，也可以缩小(当|λ|<1时)，同时，我们可以不转变a的方向(当λ>0时)，也可以转变a的方向(当λ<0时)．2．向量共线定理定理本身包含了正反两个方面：假设存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么a与b共线；反之，假设a与b共线(a≠0)，那么必存在一个实数λ，使b＝λa.[例1]计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\f(2,3)a－b))－eq\f(7,6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,7)b＋\f(7,6)a))；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．[思路点拨]利用向量线性运算的法那么化简，先去括号，再将共线向量合并．[精解详析](1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\f(2,3)a－b))－eq\f(7,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,7)b＋\f(1,2)a))＝eq\f(3,2)a＋b－eq\f(1,3)a－eq\f(1,2)b－eq\f(7,12)a－eq\f(1,2)b－eq\f(7,12)a＝0.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b.[一点通]向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项〞、“提取公因式〞，但这里的“同类项〞、“公因式〞指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解．1．计算：(1)eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋2b＋3a－\f(1,3)6a－12b))；(2)(λ＋μ)(a＋b)－(λ－μ)(a－b)．解：(1)原式＝eq\f(1,4)(a＋2b)＋eq\f(3,4)a－eq\f(1,12)(6a－12b)＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,4)a－eq\f(1,2)a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(3,4)－\f(1,2)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))b＝eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b.(2)原式＝(λ＋μ)a＋(λ＋μ)b－(λ－μ)a＋(λ－μ)b＝[(λ＋μ)－(λ－μ)]a＋[(λ＋μ)＋(λ－μ)]b＝2μa＋2λb.2．假设a＝eq\f(1,2)x－y，b＝x－eq\f(1,2)y，其中a，b是向量，求向量x与y.解：将第一个方程的－2倍与其次个方程相加，得eq\f(3,2)y＝－2a＋b，∴y＝－eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b.代入原来的其次个方程，得x－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)a＋\f(2,3)b))＝b移项并化简，得x＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.综上，x＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b，y＝－eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b.[例2](1)设两非零向量a和b不共线，假如＝a＋b，＝3(a－b)，＝2a＋8b.求证：A、B、D三点共线；(2)两个非零向量e1和e2不共线，且ke1＋e2和e1＋ke2共线，求实数k的值．[思路点拨](1)证明A、B、D三点共线，即证明存在实数λ，使＝λ；(2)利用向量共线的条件列方程组求解．[精解详析](1)∵＝＋＝(2a＋8b)＋3(a－b)＝5a＋5b，＝a＋b，∴＝eq\f(1,5)，∴∥，又、有公共点B，所以A、B、D三点共线．(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使得ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴ke1＋e2＝λe1＋λke2，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.又∵e1和e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))即k＝±1.[一点通]利用向量证明三点共线时，一般是把“共线〞问题转化为“向量关系a＝λb〞，通过向量关系得到“三点共线〞的结论．3．e1和e2不共线，那么以下向量a，b共线的序号是________．①a＝2e1，b＝2e2②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2③a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2解析：对于②，b＝－2a；对于③，a＝4b，此时a与b共线．答案：②③4．假设＝5e，＝－7e，且||＝||，那么四边形ABCD的外形是________．解析：∵＝5e，＝－7e，∴＝－eq\f(7,5).∴与平行且方向相反，易知||>||.又∵||＝||，∴四边形ABCD是等腰梯形．答案：等腰梯形5.如下图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，∴＝＋，∴＝－＝.同理可证明＝－＝.∴＝－.∴，共线且有公共点A，∴M，A，N三点共线.[例3]如下图，△OAB中，点C是以A为对称中心的B点的对称点，D是把分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于E，设＝a，＝b.(1)用a和b表示向量，；(2)假设＝λ，求实数λ的值．[思路点拨]由得A为BC中点，D为OB的三等分点，由向量的线性运算法那么可解第(1)问，第(2)问可由向量共线定理解决．[精解详析](1)依题意，A是BC中点，∴2＝＋，即＝2－＝2a－b，＝－＝－eq\f(2,3)＝2a－b－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)假设＝λ，那么＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.∵与共线．∴存在实数k，使＝k.∴(λ－2)a＋b＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(5,3)b))，解得λ＝eq\f(4,5).[一点通]利用三角形法那么可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示．当用向量线性表示未知向量时，要留意向量选取的恰当性，经常借助图形与平面几何学问(如三角形的中线性质、中位线性质、平行四边形性质等)并结合向量共线定理，把问题解决．6．如图，▱ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：＋＋＋＝4.证明：在△OAE中，＋＝，同理，＋＝，＋＝，＋＝，以上各式相加，得＋＋＋＝4.7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，假设＝a，＝b，试用a，b表示和.解：法一：连接CN.∵AN∥DC，且AN＝DC＝eq\f(1,2)AB，∴四边形ANCD为平行四边形．∴＝－＝－b.∵＋＋＝0，∴＝－－＝b－eq\f(1,2)a，＝－＝＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)a－b.法二：在梯形ABCD中，有＋＋＋＝0，即a＋＋(－eq\f(1,2)a)＋(－b＝b－eq\f(1,2)a.在四边形ADMN中，有＋＋＋＝0，即b＋eq\f(1,4)a＋＋(－eq\f(1,2)a)＝0，可得＝eq\f(1,4)a－b.1．向量数乘的根本运算应留意的问题(1)实数与向量的积的运算问题，必需依据实数与向量的积所满意的运算律进行运算；(2)实数与向量的积的运算，类似于实数与多项式的运算；(3)含向量的方程，肯定要弄清未知量是实数还是向量．2．向量共线定理的应用向量共线一般用向量共线定理来判定或证明，利用向量共线可证明几何中的三点共线和两直线平行．证明三点共线往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线．证两线平行，只需找到一个非零实数，使两线所在的向量满意某线性关系即可．这一切都建立在向量共线定理的根底之上．因此向量共线定理是解此类问题的根本．课下力量提升(十六)一、填空题1．假设|a|＝3，b与a反向，|b|＝2，那么a＝________b.解析：∵|a|＝3，|b|＝2，∴|a|＝eq\f(3,2)|b|.又∵b与a反向，∴a＝－eq\f(3,2)b.答案：－eq\f(3,2)2．化简：eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))＝________.解析：e