数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习第69课统计初步

第69课统计初步【学问网络】第69课统计初步(本课时对应同学用书第178~179页)自主学习回归教材1.(必修3P49练习2改编)某学校高一、高二、高三班级的同学人数之比为3∶3∶4，现采纳分层抽样的方法从该校高中三个班级的同学中抽取容量为50的样本，那么应从高二班级中抽取名同学.【答案】15【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样.将总体划分为假设干个同质层，再在各层内随机抽样或系统抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性.因此，由50×=15知应从高二班级中抽取15名同学.2.(必修3P52习题2改编)将参与夏令营的600名同学编号为001，002，…，600.采纳系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名同学分住在三个营区，从001到300住在第一营区，从301到495住在其次营区，从496到600住在第三营区，那么三个营区被抽中的人数依次为.【答案】25，17，8【解析】依题意知在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个样本，那么分别是003，015，027，…，构成以3为首项、12为公差的等差数列，故抽到的第n个人的编号an=3+(n1)×12=12n9.令1≤12n9≤300，得≤n≤，由于n∈Z，所以n有25个取值；令301≤12n9≤495，所以≤n≤，由于n∈Z，所以n有17个取值；令496≤12n9≤600，所以≤n≤，由于n∈Z，所以n有8个取值.综上，三个营区被抽中的人数依次为25，17，8.3.(必修3P81复习题8改编)一个社会调查机构就某地居民的月收入状况调查了10000人，并依据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10000人中用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，那么在[2500，3500)(元/月)收入段应抽出人.(第3题)【答案】40【解析】(0.0005+0.0003)×500×100=40.4.(必修3P67练习3改编)某校进行2015年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数的茎叶统计图如下图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为.(第4题)【答案】1.6【解析】由茎叶图知，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84，84，86，84，87，所以由公式得方差为1.6.5.(必修3P50例3改编)某城区有农夫、工人、学问分子家庭共计2000户，其中农夫家庭1800户，工人家庭100户.现要从中抽取容量为40的样本调查家庭收入状况，那么在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法是.(填序号)①简洁随机抽样；②系统抽样；③分层抽样.【答案】①②③【解析】由于各家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农夫、工人、学问分子这三类家庭中抽出假设干户，即36户、2户、2户.又由于农夫家庭户数较多，那么在农夫家庭这一层宜采纳系统抽样；而工人、学问分子家庭户数较少，宜采纳简洁随机抽样法.故整个抽样过程三种抽样方法都要用到.一、抽样方法1.简洁随机抽样(1)被抽取样本的总体个数N是有限的；(2)抽取方式：逐个不放回抽取；(3)每个个体被抽到的概率相等；(4)常用方法：抽签法和随机数表法.2.系统抽样当总体的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个局部，然后依据预先定出的规那么，从每个局部抽取一个个体，得到所需的样本，这样的抽样叫作系统抽样.系统抽样的步骤可概括为：(1)采纳随机的方式将总体中的个体编号.(2)确定分段的间隔k.当是整数时，k=；当不是整数时，通过从总体中剔除个体使剩下的总体中的个体数n'能被N整除，这时k=.(3)在第1段采纳简洁随机抽样确定起始的个体编号l.(4)依据事先确定的规那么抽取样本.通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l+k，再加k得到第3个个体编号l+2k，依次进行下去，直到猎取整个样本.3.分层抽样当总体由差异明显的几局部组成时，为使样本更充分地反映总体的状况，常将总体分成几局部，然后依据各局部所占的比例进行抽样，这样的抽样方法叫作分层抽样，其中所分成的各局部叫作层，每层抽样时实行简洁随机抽样或系统抽样.二、总体分布特征数的估量1.频率分布表求一组数据的频率分布，可按以下三步进行：(1)数出落在各小组内的数据的个数，即频数；(2)每个小组的频数与样本容量的比值叫作这一小组的频率；(3)列出频率分布表.2.频率分布直方图：图中纵轴是，每个矩形的面积等于相应组的频率，各个小矩形的面积的和等于1.3.样本平均数=(x1+x2+…+xn)，样本方差s2=[(x1)2+(x2)2+…+(xn)2].(其中xn是样本数据，n是样本容量)【要点导学】要点导学各个击破抽样方法例1(1)某学校有男、女同学各500名.为了了解男、女同学在学习爱好与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体同学中抽取100名同学进行调查，那么宜采纳的抽样方法是.(2)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品平安检测.假设采纳分层抽样的方法抽取样本，那么抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是.【答案】(1)分层抽样(2)6【解析】(1)由于被抽取的个体的属性具有明显差异，因此宜采纳分层抽样法.(2)四种产品的抽样比为4∶1∶3∶2，所以植物油类和果蔬类食品被抽到的种数之和为20×+20×=6.【精要点评】此题主要考查抽样方法问题，分层抽样中分多少层，如何分层要视详细状况而定，总的原那么是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠，为了保证每个个体等可能的入样，全部层中每个个体被抽到的可能性相同，在每层抽样时，应采纳简洁随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.变式(2015·苏州期末)某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为4，12，8.假设用分层抽样的方法抽取6个城市，那么乙组中应当抽取的城市数为.【答案】3【解析】由题意知，乙组中应抽取6×=3个城市.总体分布的估量例2(2014·南京、盐城二模)某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成果进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名同学的成果，并依据这1000名同学的成果画出样本频率分布直方图(如图)，那么成果在[300，350)内的同学共有人.(例2)【答案】300【解析】由于各组频率之和为50×(0.001×2+0.004+a+0.005+0.003)=1，解得a=0.006，所以成果在[300，350)内的频率为50a=0.3，故同学有300人.【精要点评】用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图把握信息是解决该类问题的关键.频率分布直方图有以下几个要点：(1)纵轴表示频率/组距；(2)频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比；(3)直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，全部的小矩形的面积之和等于1，即频率之和为1.变式(2014·镇江期末)我市开展的“魅力老师〞同学原创网文大赛，各校上传文章的时间为3月1日至30日，评委会把各校上传的文章数按5天一组分组统计，绘制成频率分布直方图如下图.从左至右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，其次组的频数为180，那么本次活动收到的文章数是.(变式)【答案】1200【解析】文章总数为×180=1200.总体特征数的估量例3(2015·南京、盐城期末)在一次射箭竞赛中，某运发动5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，那么该组数据的方差是.【思维引导】由均值公式计算平均值，再由方差公式计算方差.【答案】【解析】由于=xi=(9+10+9+7+10)=9，故s2=(xi)2=[02+12+02+(2)2+12]=.【精要点评】描述数据的数字特征的有平均数、众数、中位数、方差等，其中平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差反映各个数据与其平均数的离散程度.解题时重在理解概念、公式并正确进行计算.变式一位篮球运发动在最近的8场竞赛中得分的茎叶图如下图，那么他在这8场竞赛中得分的方差是.(变式)【答案】14【解析】由题意可得==14，所以s2=×(62+42+22+02×2+22+42+62)==14.1.(2014·无锡期末)甲、乙两个学习小组各有10名同学，他们在一次数学测验中成果的茎叶图如下图，那么他们在这次测验中成果较好的是组.(第1题)【答案】甲【解析】由题意得=79.8，=73.2，所以在这次测验中成果较好的是甲组.2.(2015·南通期末)某中学共有同学2800人，其中高一班级970人，高二班级930人，高三班级900人，现采纳分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，那么抽取的高二班级同学人数为.【答案】93【解析】抽样比为=，那么抽取的高二班级同学人数为930×=93.3.(2014·苏州、无锡、常州、镇江一调)一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70)，2.那么样本在[10，50)上的频率是.【答案】【解析】样本在[10，50)上的频率是=.4.(2014·常州期末)某学校选修羽毛球课程的同学中，高一、高二班级分别有80名、50名.现采纳分层抽样的方法在这130名同学中抽取一个样本，在高一班级同学中抽取了24名，那么在高二班级同学中抽取的人数为.【答案】15【解析】样本中高一班级与高二班级的人数比为8∶5，所以应在高二班级抽取24×=15(名).5.(2015·连云港、徐州、淮安、宿迁四市期末)如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成果，那么方差较小的那组同学成果的方差为.(第5题)【答案】【解析】由于==92，所以=[(8892)2+(9292)2+(9692)2]=，=[(9092)2+(9192)2+(9592)2]=，所以<.所以方差较小的那组同学成果的方差为.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成?配套检测与评估?中的练习第137~138页.【检测与评估】第69课统计初步一、填空题1．某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵.为调查树苗的生长状况，采纳分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，那么样本中松树苗的棵数是.2．某单位有职工52人，现将全部职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本.6号、32号、45号职工在样本中，那么样本中另外一个职工的编号是.3．(2014·扬州期末)某校从高一班级同学中随机抽取100名同学，将他们期中考试的数学成果(均为整数)分成六组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]后得到的频率分布直方图如下图，那么分数在[70，80)内的人数是.(第3题)4．(2014·苏州暑假调查)样本数据18，16，15，16，20的方差s2=.5．(2015·扬州期末)假设样本6，7，8，9，m的平均数为8，那么标准差是.6．为了了解某校老师使用多媒体进行教学的状况，采纳简洁随机抽样的方法从该校400名授课老师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示(如图).据此可估量该校400名老师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16，30)内的人数为.(第6题)7．(2014·湖北模拟)有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如下图.依据样本的频率分布直方图估量样本数据落在区间[10，12)内的频数为.(第7题)8．(2014·江南十校联考改编)一组正数x1，x2，x3，x4的方差s2=(+++16)，那么数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为.二、解答题9．(2014·宁波模拟)甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5．(1)分别计算两组数据的平均数；(2)分别计算两组数据的方差；(3)依据计算结果估量一下两名战士的射击水平谁更好一些.10．为了增加同学的环保意识，某中学随机抽取了50名同学进行了一次环保学问竞赛，并将本次竞赛的成果(得分均为整数，总分值100分)整理制成下表.成果[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数231415124(1)作出被抽查同学成果的频率分布直方图；(2)从成果在[40，50)中选1名同学，从成果在[90，100]中选2名同学召开座谈会，求成果在[40，50)中的同学A1和成果在[90，100]中的同学B1同时被选中的概率.11．某学校为预备参与市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运发动进行了测试，并采纳茎叶图(如图)表示本次测试30人的跳高成果(单位：cm)，跳高成果在175cm以上(包括175cm)定义为“合格〞，跳高成果在175cm以下(不包括175cm)定义为“不合格〞.(1)假设用分层抽样的方法从甲、乙两队全部的运发动中共抽取5人，那么5人中“合格〞与“不合格〞的人数各为多少?(2)假设从甲队178cm(包括178cm)以上的6人中抽取2人，那么至少有一人在186cm以上(包括186cm)的概率为多少?(第11题)【检测与评估答案】第69课统计初步1．20【解析】设抽取的松树苗为n棵，那么=，解得n=20.2．19【解析】设样本中另外一个职工的编号是x，那么用系统抽样的方法抽出的4个职工的号码从小到大依次为6，x，32，45，它们构成等差数列，所以6+45=x+32，解得x=19，因此另外一个职工的编号是19．3．30【解析】由于分数在[70，80)内的频率为110×(0.005+0.010+0.015×2+0.025)=0.3，所以分数在[70，80)内的人数是0.3×100=30.4．【解析】=(18+16+15+16+20)=17，s2=[(1817)2+(1617)2×2+(1517)2+(2017)2]=．5．【解析】=(6+7+8+9+m)×=8，得m=10，所以s2=×[(68)2+(78)2+(88)2+(98)2+(108)2]=2，所以s=.6．160【解析】由茎叶图可知在20名老师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16，30)内的人数为8，据此可以估量400名老师中，使用多媒体进行教学的次数在[16，30)内的人数为400×=160.7．36【解析】设样本数据落在区间[10，12)内的频率与组距的比为x，那么(0.02+0.05+x+0.15+0.19)×2=1，得x=0.09，故样本数据落在区间[10，12)内的频数为0.09×2×200=36．8．4【解析】由题意知s2=(+++16)=[(x1)2+(x2)2+(x3)2+(x4)2]，所以2(x1+x2+x3+x4)4=16，所以84=16，即=2，所以所求平均数为+2=4．9．(1)=(8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)=7，=(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7．(2)=[(87)2+(67)2+…+(77)2]=，=[(67)2+(77)2+…+(57)2]=．(3)由(1)知=，说明甲、乙两名战士的平均水平相当；又由(2)知>，说明甲战士射击状况波动大，因此乙战士比甲战士射击状况稳定.10．(1)由题意可知各组频率分别为0.04，0.06，0.28，0.30，0.24