北师大版数学七年级下册单元期末复习课件 第五章　

第五章生活中的轴对称章末复习章末复习知识框架轴对称的性质生活中的轴对称简单的轴对称图形角等腰三角形轴对称现象应用线段轴对称现象轴对称图形两个图形成轴对称轴对称的性质作对称点、对称线段作轴对称图形应用设计轴对称图案轴对称性“三线合一”等腰三角形两底角相等等边三角形三边相等,三个内角均为60°有三条对称轴轴对称性线段垂直平分线的性质线段轴对称性角平分线的性质角【要点指导】轴对称图形的识别：方法1,动手折叠,再看折痕所在直线两旁的两部分能不能“完全重合”；方法2,找对应点,也可以从反面入手,即先找“对称轴”,再看是不是每一个点都有关于这条直线对称的对应点,如果有一个点没有对应点,那么这个图形就不是轴对称图形.归纳整合专题一轴对称图形的识别例1在下面由冬季奥运会比赛项目图标组成的四个图形中,可以看作是轴对称图形的是().图5-Z-1D相关题1在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是().A图5-Z-2【要点指导】与轴对称有关的作图题能有效地考查同学们的动手操作能力和空间想象能力,一直是考试的热点.考查的基本题型有：(1)画轴对称图形；(2)确定对应点；(3)确定对称轴.作图的关键是作对称轴的垂线段,确定原图形上的点关于对称轴的对应点.专题二与轴对称有关的作图问题及其应用例2如图5-Z-3所示,已知△ABC和直线MN.求作：△A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称.(不要求写作法,只保留作图痕迹)图5-Z-3分析分别过点A,B,C作MN的垂线段并延长到点A′,B′,C′,使点A′,B′,C′到MN的垂线段的长度分别等于点A,B,C到MN的垂线段的长度,连接A′B′,A′C′,B′C′,即得△A′B′C′.解：如图5-Z-3所示.图5-Z-3相关题2

[绥化中考]如图5-Z-4,在8×8的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1.已知△ABC的三个顶点都在格点上,画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.图5-Z-4解：如图所示．【要点指导】关于线段垂直平分线,关键是要把握它的性质及与它有关的基本作图的步骤、技巧．借助“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”,实现相关线段的转移.专题三线段垂直平分线的性质及应用例3

[遂宁中考]如图5-Z-5,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N.若△BCN的周长是7cm,则BC的长为().A．1cm

B．2cm

C．3cm

D．4cm图5-Z-5,C分析因为MN是线段AB的垂直平分线,所以AN=BN.又因为△BCN的周长是7cm,所以AN+NC+BC=BN+NC+BC=7cm,而AN+NC=AC,故AC+BC=7cm.因为AC=4cm,所以BC=7-4=3(cm).相关题3如图5-Z-6,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为().A．7

B．14C．17

D．20图5-Z-6C[解析]由作图可知MN是线段AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝AC＋CD＋AD＋AB＝10＋7＝17.故选C.【要点指导】角是轴对称图形,对称轴是角平分线所在的直线；角平分线分得的两个角相等,角平分线上的点到这个角的两边的距离相等,角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合.专题四角平分线性质的运用例4如图5-Z-7,在直角三角形ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是

.图5-Z-715分析过点D作DE⊥BC于点E,则DE=AD=3.又因为BC=10,所以S△BDC=BC·DE=×10×3=15.相关题4如图5-Z-8,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,Q是射线OM上的一个动点.若PA=3,则PQ的长不可能为().A．1 B．3C．5 D．7图5-Z-8A[解析]如图，过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则此时PQ的长最小．因为OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，所以PQ＝PA＝3，即PQ的最小值是3，不可能取1.故选A.【要点指导】折叠后的图形与折叠前的图形关于折痕所在的直线成轴对称,即折叠前后的图形全等,常利用这一点求线段的长或角的度数.专题五折叠中的对称例5如图5-Z-9所示,把直角三角形纸片沿过顶点B的直线(BE交CA于点E)折叠,直角顶点C落在斜边AB上,如果折叠后得等腰三角形EBA,那么下列结论：①∠ABC=60°；②点C与AB的中点重合；③点E到AB的距离等于CE的长.其中正确的个数是().A．0

B．1

C．2

D．3图5-Z-9D分析因为把直角三角形纸片沿过顶点B的直线(BE交CA于点E)折叠,直角顶点C落在斜边AB上,折叠后得等腰三角形EBA,所以∠A=∠EBA,∠CBE=∠EBA,所以∠A=∠CBE=∠EBA.因为∠C=90°,所以∠A+∠CBE+∠EBA=90°,所以∠A=∠CBE=∠EBA=30°,所以∠ABC=60°,故①正确.因为∠A=∠EBA,∠EDB=90°,所以AD=BD,故②正确.因为∠C=∠EDB=90°,∠CBE=∠EBD=30°,所以CE=DE(角平分线上的点到角两边的距离相等),所以点E到AB的距离等于CE的长,故③正确.综上,正确的有3个.相关题5[乌鲁木齐中考]如图5-Z-10,△ABC的面积等于6,边AC的长为3,现将△ABC沿AB所在直线翻折,使点C落在直线AD上的点C'处,点P在直线AD上,则线段BP的长不可能是().A．3 B．4C．5 D．6A图4-Z-10【要点指导】等腰(等边)三角形是轴对称图形,其对称轴是顶角平分线(或底边上的高或底边上的中线)所在的直线.等腰三角形有以下性质：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”)；等腰三角形的两底角的平分线相等；等腰三角形底边的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等.等边三角形是特殊的等腰三角形,以上性质对等边三角形都适用.专题六等腰(等边)三角形性质的应用例6如图5-Z-11,在直角三角形ABC中,∠C=90°,直线BD交AC于点D,把直角三角形沿着直线BD翻折,点C恰好落在斜边AB上.如果△ABD是等腰三角形,那么∠A等于().A．60°

B．45°

C．30° D．22.5°图5-Z-11C分析根据题意,得∠CBD=∠ABD.因为△ABD是等腰三角形,所以∠ABD=∠A,所以∠ABD=∠A=∠CBD.又因为∠C=90°,所以∠A+∠ABC=3∠A=90°,解得∠A=30°.相关题6[黔西南州中考]如图5-Z-12,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一条直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=°

.15图5-Z-12【要点指导】线段的垂直平分线和角平分线性质的应用体现了数学建模思想,解决这类题目的关键是：首先要理解题意,把生活中的情景问题转化为数学模型来考虑；其次是用学过的知识来分析建立数学模型,把复杂的问题分解成一个个我们熟悉的数学知识点来解决,“分析——构建模型——设计方案——论证方案——得出结论”是解决此类题目的五个步骤.素养提升专题一数学建模思想例1如图5-Z-13,公路l同侧有A,B两个工厂,现要在公路上建一仓库.(1)若要使仓库到A,B两工厂的距离相等,仓库应建在何处？(2)若要使仓库到A,B两工厂的距离之和最短,仓库应建在何处？图5-Z-13分析(1)由线段垂直平分线的性质可知仓库应建在线段AB的垂直平分线上.又因为仓库在公路上,所以线段AB的垂直平分线与公路l的交点即为仓库应建的地点.(2)如果A,B两点在直线l的两侧,那么连接AB与l的交点即为所求,由于现在A,B两点在l的同侧,因此可考虑作点A(或点B)关于l的对称点C,由轴对称的性质可知,直线l上任意一点到点A,C的距离相等,这样就把直线l上一点到点A的距离转化为到点C的距离,因此连接BC与l的交点即为所求.解：(1)如图5-Z-14①,连接AB,作AB的垂直平分线交直线l于点P,点P就是所要求作的仓库的位置.(2)如图5-Z-14②,作点A关于直线l的对称点C,连接BC交直线l于点D,点D就是所要求作的仓库的位置.图5-Z-14相关题1-1如图5-Z-15,需要在高速公路旁边修建一个飞机场,使飞机场到A,B两个城市的距离之和最小,请作出机场的位置.图5-Z-15[解析]利用轴对称的性质可作点A关于公路的对称点A′，连接A′B，与公路的交点就是飞机场的位置．解：点P就是飞机场的位置．相关题1-2已知直线l及其两侧两点A,B,如图5-Z-16.(1)在直线l上作一点P,使PA=PB；(2)在直线l上作一点Q,使l平分∠AQB．(以上两小题保留作图痕迹,标出必要的字母,不要求写作法)图5-Z-16解：(1)作线段AB的垂直平分线与直线l的交点即为所求，图略．(2)作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求，图略．【要点指导】等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形,它的边、角的特殊性在处理许多几何问题中起着关键的作用.求解与等腰三角形的边、角有关的计算题时,在条件不明确的情况下,应根据题目的特点分类讨论.专题二分类讨论思想例2已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为().A．20°

B．120°

C．20°或120°

D．36°C分析应分等腰三角形顶角与底角的度数之比为1∶4和等腰三角形底角与顶角的度数之比为1∶4两种情况讨论.具体过程如下：设等腰三角形的顶角为α.(1)若等腰三角形顶角与底角的度数之比为1∶4,则α+4α+4α=180°,解得α=20°；(2)若等腰三角形底角与顶角的度数之比为1∶4,则α+α+α=180°,解得α=120°.综上,这个等腰三角形顶角的度数为20°或120°.故选C.相关题2已知等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成18cm和21cm的两部分,求该等腰三角形的各边长.[解析]画草图如图，腰AC上的中线BD把△ABC的周长分成18cm和21cm的两部分，列方程可解决问题．中考链接母题1(教材P117习题5.1第1题)观察下面的图形,哪些图形是轴对称图形？如果是轴对称图形,请画出对称轴.图5-Z-17考点：轴对称图形.考情：主要考查轴对称图形及对称轴数量的判断,多在选择题中出现.策略：判断一个图形是不是轴对称图形,可采用折叠的方法,看折痕所在直线两边的部分是否能够重合.若能找到一条直线,使该图形沿着这条直线折叠,直线两旁的部分互相重合,则这个图形就是轴对称图形,这条直线就是对称轴.链接1

[天津中考]在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是().A图5-Z-18链接2

[广州中考]如图5-Z-19所示的五角星是轴对称图形,它的对称轴共有().A．1条B．3条C．5条D．无数条C图5-Z-19母题2(教材P122随堂练习第3题)如图5-Z-20,在下面的等腰三角形中,∠A是顶角,分别求出它们的底角的度数.图5-Z-20考点：等腰三角形.考情：主要考查等腰三角形的周长、边长及角度的计算.策略：(1)等腰三角形中求角度时,一定要分清顶角和底角.若已知等腰三角形的顶角为x°,则底角为

；若底角为x°,则顶角为(180-2x)°.(2)计算角的度数时,往往结合三角形的内角和为180°,运用方程思想计算.链接3

[呼伦贝尔中考]如图5-Z-21,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC.若∠1=70°,则∠BAC的度数为().A．40°

B．30°C．70°

D．50°A图5-Z-21分析因为AD∥BC,所以∠C=∠1=70°.因为AB=AC,所以∠B=∠C=70°,所以∠BAC=180°-∠B-∠C=40°.故选A.链接4

[湖州中考]如图5-Z-22所示,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是().A．20° B．35°C．40° D．70°B图5-Z-22分析因为AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,所以∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=(180°-∠CAB)=70°.因为CE是△ABC的角平分线,所以∠ACE=∠ACB=35°.母题3(教材P124习题5.4第1题)画一条线段AB,利用尺规求作它的四等分点.考点：线段垂直平分线、尺规作图.考情：利用尺规作线段的垂直平分线.策略：找线段的中点实际就是作线段的垂直平分线