角平分线 省赛获奖

角平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＯＭＮＣ画法：

１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．尺规作角的平分线AＢＭＮＣ为什么OC是角平分线呢？

OＯ想一想：已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分∠AOB。证明：在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC

即：OC平分∠AOB角平分线上的点到角两边的距离相等2、角的平分线的性质:OCB1A2PDEPD⊥OA，PE⊥OB∵

OC是∠AOB的平分线∴PD=PE用数学语言表述：已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，

PE⊥OB于E求证:PD=PEAOBEDPC例1：证:∵

OC平分∠AOB，

PD⊥OA，PE⊥OB

∴∠AOC=∠COB,∠PEO=PDO

∵

OP=OP

∴Rt△PDO≌Rt△PEO∴PD=PE条件结论性质定理一个点在角平分线上这个点到角两边的距离相等逆命题一个点到角两边的距离相等这个点在角平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．思考反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？证明:∵

QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）

在Rt△QDO和Rt△QEO中

QO＝QO（公共边）

QD=QE

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE用数学语言表示为：如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,ABCPMNDEF∴PD=PE

(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．利用结论，解决问题练一练

1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想

在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()

A.一处B.两处

C.三处D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。拓展与延伸P1P2P3P4l1l2l3到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE课堂小结用数学语言表示为：

1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等

2.角平分线的判定定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。

3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径.3.9角的平分线ODEABPC定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合3.14线段的垂直平分线定理