说明课时学案人教版必修1第二章集合和函数数学同步

二二基本初等函数本本章综合视窗是一位有名的百万富翁.一天,他事.一个叫的人对他说“我想和你订个合同,我将在整整一个月中每天给你0万元,而你第一天只需给我分钱,以后你每天给我的钱是前一天的两倍说“真的!你说话算数?”说当然!”合同开始生效了,杰米欣喜若狂.第一天,杰米支出钱收入0万元第二天支出2分钱收入0万元第三天支出4分钱收入0万元第四天支出8分钱,收入0万元到了第0天共得00万元而总共才支出0元2角3分到了第20天共得200万元而才得

到分共万多元想:要是合同订两个月三个月该多好啊!可从第2天起,情况发生了转变.第2天支出万多,收入0万到第28天支出34万多,收入0万.结果,杰米在一个月内得到30万元的同时,共付给韦伯24748347分也就是2千多万元! 了.的故事一定让你感到吃惊开始微不足道两倍两倍地增长会变得这么巨大!这是怎么一回事呢?当然,订合同之前容易算出一个月他可以得到30万元如果他能算出自己需要多少天付出30万元就好他能算出来吗?怎么计算呢?同学们当我们学习了这一章的知识后知道是怎么一回事了赶快行动吧!重点重点.分数指数幂和根式的概念与运算.(重点方法一:通过实例体会和感受函数模型的同时,增强学习探2.根式的概念难点分数指数幂的和.学习时可类比平方根立方根性质探究归纳根式的性质结论.学习中注意数形结合方法3.指数函数的概念图象和性质及其应用重点的应用,可通过随意选取x的值,在同一坐标系内画出它们的图象然后通过对比概括出指数函数的性质4.指数函数性质的归纳概括及其应用难点5.在实际背景中认识对数的概念,能利用性质进行对数运算重点方法二:本节通过具体实例引出了对数的概念,其中蕴涵了许多重要的数学思想方法,如归纳的思想类比的思想(如从.对数的运算性质及其应用难点指数的运算律类比对数的运算律)等,充分体现了数学的应用价值.因此,在学习中应注重在对比中归纳.由于指数与对数的对应关系,所以可通过类比指数函数的性质对应得出对7.对数函数的定义图象和性质重点数函数的性质.并知道同底的对数函数与指数函数互为反8.底数对图象的影响及对数函数性质的作用.(难点9.幂函数的概念和性质重点方法三:本节通过五个实例,概括它们的解析式的共性来获得幂函数的定义,再根据它们的图象和性质得到幂函数的性0.从幂函数的图象中概括出性质难点质.这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.能通过实例识别有理指数幂

指数与指数幂的运算正分数指数幂的形式正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义·2.通过类比进行有关指数幂的运算

相仿,我们规定

, 阐幽抉微,重难疑阐幽抉微,重难疑点全解决

n>45- a- a>0.4 要点根式及其运算难点 要点一般地如果xn=a,那么x叫做a的n次其中且n∈N+n次的定义及性质是平立方根的定义及性质的推广根式记号是平立记号的推广.

0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂没有意义关键提醒:分数指数幂am,要求n有理数指数幂的运算性质:srsa∈Q;rs对比平立的概念不难知在实数范围内,正数次方根是一个正数,负数的奇次是一个负数,零的奇次是零设a∈Rn是大于的奇数则a的n次是na.②在实数范围内,正数的偶次是两个绝对值相等且符号相反的数,零的偶次是零,负数的偶次方根没有义设a≥0n是大于的偶数则a的n次是na式子na叫做根式,这里n叫做根指数a叫做被开方数开方与乘方求a的n次的运算称为开方运算,开方运算是与乘

r关键提醒:注意括号中限制条件的变化案例2】把下列根式化成分数指数幂的形式,并求值 ()38-4)4(2)0) 精析】本题考查分数指数幂等概念,根据分数指数幂的意义把根式化为分数指数幂的形式,并合理地变形底数,使底数化成幂的形式,再使两个指数相乘,若得整数指,即可求值

11运算是互逆的运算不要与乘方运算 .如求3的四次 11结果是34=8,而求3的四次,结果为

2)

()案例1】求下列各式的值

100

(

(

)3) ==

8=

3=

3

=4 精析】本题考查方根的运算性质,依照根式的两条规律进行运算即可3;4x3)x

进进行幂值运算时,应首先考虑转化为指数运算 :-43( 34 3 而并非转化为根式运算 =8:-43333.= =xyxy≥,yxan为偶(nanaan为偶的运算可以记为nan a(n为奇数),要点分数指数幂的意义及其运算性要点.分数指数幂的意义()规定正数的正分数指数幂的意义是

无理指数幂要点引入分数指数幂概念后指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充,是一个无理数时p的值就可用指数为p的不足近似值和过剩近似值构成的两个有理数幂序列无限近而得到这近结果的极限值就定义为ap的故ap是一个确定的实数而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适用这样指数概念就扩充到了整个实数范围.要点名师解读名师解读,知能整合提升 nm ,

幂和根式的化简an= a>0mn∈ n>a>0mn∈ 在进行幂和根式的化简时,一般先将根式化成幂的形式并尽可能地统一成分数指数幂的形式,利用幂的运算性质进行化简求值计算.

= a 1对于根式的计算结果,并不强求统一的表示形式,一般 求证aqbrc)3q

1用分数指数幂的形式来表示.若有特殊要求,则按要求给出结果.结果中不能同时含根号和分数指数,也不能既有分数又有负指数即结果必须化为最简形式.

则pakbkck1 1案例1计算下列7式案例1计算下列7式∴原式左边 k)3)33

4

a 1

=·

3a3a

-·

aa>0

111原式右边= b c111精析】()将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数将根式化为分数指数幂.

3- 4-

解答】原式

.1

( 2 paqbrc3=p3q3r3此类问题一定要弄清已知与未知的联系,此类问题一定要弄清已知与未知的联系,然后采取体代换或求值后代换两种方法代换8 1

=领悟方法技巧,实现触类旁通1·3 1·-3·1领悟方法技巧,实现触类旁通 =a3· 3 进行分数指数幂的运进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质,并灵活运用,一般地进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时还要注意运算顺序的问题.

=a0= 例1拓展点化简下列各式3y

.带有附加条件的求值化简求值是考试中经常遇到的问题,简再求值是常用的解题方法.化简包括已条件的化简和所求式子的化简,如果只对所求式子化简,难用上已知条件,因此有目对已知条件也经常进行化简处理.

精析应用分数指数幂的运算法则,时注意偶次根式的被开方数为非负.简结果不能同时含有根式和分数指数幂也不能既有分母又有负指数幂.3y)3y)11+3+3= =xy a

aa 原式a精析】观察到11=,对已知等式两边平方即可a解答】∵a1a-1,

=ab ab ∴a1a-1∴a2a-∴aa-又aa-1=9,∴a2a-∴aa-

=(ab)(ab)(ab)(a的当所求根式含有多重根号时,要搞清被数由里向外用分数指数幂写出再应用性质计算.的例2拓展

已知ax

axa-本题是根据已知代数式的值求其他代数式的值,通常又简称为知值求值”解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点,常用整体代入来求值.幂的综合问

精析】通过观察发现已知和未知代数式中均含有ax考虑利用换元法令ax=t化简运算ax 解决有关幂的综合问题时首先要善于观察分析并对它进行适当的加工处理变形以创设运用和幂的有关性质的条件然后再进行化简求值其次要注意方程思想整体思想化归与转化换元等数学思想的运用.

t1t = 例5】拓展点计算:74 74 解答】解法一= 换元后得t

并不需t再代

原式=

42×23 42×232 2入欲求的式子进行运算,而是对欲求的式子进行变形,将t整体代入,这是一种重要的运算技巧,若已知4x=5如何求

解法二:

74)

74 例3】拓展点2)已

x y

4 274 精析】由已知,通过开方并应用恒等式的意义,求出y的值

>0 解答】由已知(

y)

对于双重根式,既可将根式中的式子配方化 y3

简也可利用方程的思想求解, 例6拓展计算32

2∴y 精析】对

325需

3 5

3 5两式联y=

aa用方程解之.2 2nan是实数an的n次 ,是一个恒有意义 解答】令x=3 两边立方得的式子,不受n的奇偶性限制a∈R,但是这个式子的值2 2的奇偶性限制

3 ①当n为大 的奇数时其值为a,即nan=a例如 (2 25即x3=4即 x4=0,,

x4=Δ<0②当n为大 的偶数时其值为a即nan=a 4

,

3

】

25=x ,( xn

*

拓展点3设a>0且 fx=a -a=an

∈*∈

)gx)fxax及ay的值4

能化为关于a的整数指数幂的可能情形 a 精 根据解析式代入后求值几种 fx)gx)fx) 精析】先将(a8r4化简成关于a的分数指数a幂的形式,然后分析指数

)x)fx·f=xy

=

)

=, 44

a-

+-

y ,,a

a

gxg=xy∈*

fxfx, 由①②联立解得 ,x =2, =为整数当r=8时, =4

fxfx fx r=048

fx

能化为关于a

令x-y

44a数指数幂的可能情形种数,化成关于a的指数幂的形式后,需将满足条件的r分别代入指数进行探究,看使得指数为整数的

t 从而由得

=t tt情况有哪些 >=故ax-y=这样就有 把x=y代入得axa-x=

【解答 ()原式= 1 131k =即 , ( 1 x x3x3 k∴k=32∴ax=32

x3 a aa-

原式=4a- aa- aa-y用方程的思想求解,这种方法在幂的运算中常用到.

aa-=4 aaa-

aa-1)aa-1例8

拓展点3)当正整数n不断增大时,利用计

=

aa-

aa-n的值并探究其与e=2.7

aan此你能发现

记住并能熟练应记住并能熟练应用乘法 3ab3b3=(aaabb).n辨析疑难易错点,探究途中无障碍精析】先用计算器计算出前几个值,总结规律,再结合式子的特点总结出与辨析疑难易错点,探究途中无障碍解答】 2=25;时误3n=3时 3≈204; 忽视开根过程中底数的正误34 44;4;

例求xy的值错因分析】在化简的过程中aa由于底数an=时

2

字母而必须保证原式为正所以应加上(对值xyx正确解答】xyx

40≈33;

yx名师原创解答名师原创解答,侧重方法导引

0探解答:不一定成立

7

nna②nnn计算后发现,随着n的增大 n也逐渐增大,且nnn→∞时 n.n

aa≥0,aa<0.4练 43; 本题使用了近的思想,用近的思想去 .a=aa4=a a3 识一个新事物是常用的数学研究方法.从结果中比较一下这

3x3e,,n时

)3

ab=ab3 n→e这一规律 mm3名师解读,重难疑点全解读名师解读,重难疑点全解读化简指数式,要仔细观题目的结构特征灵,活运用

m()=m3-1=mm的技巧,比如套用公式巧 x13逆用运算性质等,找到

3 737

3决问题的简捷方法例化简下列式子

3.()49

==7111

1×3 x x xx x

22

×2 1 11233 a(a-2

2 ()1- 1+1- a a a 3aa4a8=a4842x32x32x3=x334x

3 x

()-

-1+ -1

27- 即学即用即学即用,盘点目标达成4594.(要点给出下列结论3a②n

a=an>n∈Nfx=x2,∞;a其中正确的是(.① .②.③ .②是

a则实数a的取值范围Aa<2 =Ca> DR3 22化为分数指数幂应为 12

.(拓展点化简或求值1 . 1 11;3 b13要 若2x5x2<0 2x24x

- 于

a; 3-3 .

.)

ab D5>b>mn AnB.amnnmaa.(要点下列说法中正确的 ①3是8的四次②正数的n次有两个a的n次就是na

3

x④n a=aa≥07.(要点把下列各根式写成分数指数幂的形式:()aa(a>0)= x(x b b 则ab2 2

b x4=0的两根且a 23 21 28 24 2 2 a

b的值x>0≤5∈*时式子3)-r 3r表示一个常数(

ee e-…()求fx) g(x)的值;gx )宋代大宋代大诗人苏 年轻时与几个学友 考试他们到达试院时为时已晚考官说我出一联你们若对得上我就让你们进考场考官给出的上联是一叶孤舟坐了二三个学子启用四桨五帆经过六滩七湾历尽八颠九簸可叹十分来迟对出的下联是十年寒窗进了九八家书院抛却七情六欲苦读五经四书考了三番两次今日一定要中考官和苏将一至十这十个数字嵌入对联中将读书人的艰辛与刻苦情况描写得淋漓尽致.指数函数及其性质归纳整理①指数幂ax和的比较.掌握指数函数的概念和意义,能借助计算机画出具体的指数函数的图象.2.探索并掌握指数函数的性质阐阐幽抉微,重难疑点全解决要点指数函数的要点

x<00a<x>a>x比较底数a和比较当不等号的方向相同时x简x>xa<0<x和0比较底数a和比较当不等号的方向相反异时x简称为异小”.因此简称为同大异小一般地

,

②直线x=与指数函数y=axa的图象交点y=aa>0ax∈ ()定义域是R.因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数,所以在底数a>0的前提下x可以是任意实数.规定底数a大于零且不等 的理由xa如

的纵坐标就是底数a的大小.在第一象限内,指数函数a的图象底数大的在上边也可以说底数越大越靠近y轴.③指数函数性质口诀 当x≤0时x无意义 指数增减要看清,抓住底数不放松a内函数值不存在

,等时在实数范围4

反正底数大于不等于已表明;底数若是大于 ,图象从下往上增;底数0到 之间,图象从上往下减;如果a=y=x=是一个常量,它就没有研究的必要了为了避免上述各种情况,所以规定a>0且 关键提醒在指数函数的定义表达式y=ax中x前的系数必须是,自变量x在指数的位置上,否则不是指数函数.y=xy=xy=x案例1 下列函数中哪些是指数函数(x4=xyx;2a> =2x2精析】本题主要考查指数函数的概念,用指数函数的定义进行判断.解答】()()(7)为指数函数都不符合指数函数的定义,都不是指数函数.

无论函数增和减,图象都过点0,fxxx()当 为何值时>fx=fx<gx?gxgx精析 可直接利用指数函数的性质结合图象解得∵个图象只有一个公共点,∴当x=0时=由图象2.-可以看出准确理解指数函数的定义是解好本题的关键准确理解指数函数的定义是解好本题的关键,要注意不要把也看成是指数函数,前者是二次函数,而中的底数不是常数,因此,都不是指数函数要点指数函数的图象与性质重点要点

当x>0时>图性图性R0,0,当x>0时y>;当0<y0<y<R上是增函R上是减函数当x<0时<

图当x> 时当x=时;当 时要点 图象的平移和对称变换难点fx=xx象直接根据函数的图象的变化趋势和性质求解函数要点 图象的平移和对称变换难点将y=a的图象向左将y=a的图象向左平 个单位得到函k 函数y=ax-k的图象.利用函数图象变换作图的方法有()平移变换x利用函数图象变换作图的方法有()平移变换xa>0ay=fxy=fxa<0)平移a个单位就得到y=fx)a的图象;对称轴的变换:(②y=的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称x称yfx是一个偶函数,其图象关于y轴对称,在y轴右侧与yfx)位于y轴右侧的图象重合,然后将y轴右侧的图象沿y轴翻转到左侧,就得到y=f(x的图象;⑤y=f的图象是将函数y=f(x)的图象x轴下方的部分沿x轴翻到上方x轴上方的部分不变.h>0到函数y=axh的图象.函数y=ax的图象与函数y=a-x的图象关于y轴对称,函数y=ax的图象与函数y=ax的图象关于x轴对称,函数y=ax的图象与函数y=a-x的图象关于原点对称.关键提醒:要明确轴对称变换和关于原点对称的变换这些变换中,点的坐标之间存在以下关系①与(关于y轴对称③与,y)关于原点对称案例3画出下列函数的图象,并说明它们是由函数x=x(12y=x y==y=名师解读,知能整合提升精析】名师解读,知能整合提升解答】如图2.-2所示图

幂的大小的比较方法常用的比较大小的方法有比差商法函数的单调性法3中间值法,要比A与B的大小,先找一个中间值C,再比A与CB与C的大小,由不等式的传递性得到A与B的大小.案例1】比较下列各题中两个数的大小7 .)31 1.解答】∵>∴指数函数y=x在(∞)上是增函数∵25<3, 7).-<∴指数函数y=0x在(∞)上为减函数0--.由指数函数的性质,3>0=10 03344>4345 的图象是由y=2x的图象向上平移个单位得到

∵

.>y=x|的图象是由y=2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的;

4.53.> y= 的图象是由

=2x的图象向下平移个单位

3..然后将其x轴下方的图象对称到x轴上方得到的;y=2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称;y=2-x的图象与y=2x的图象关于原点对称.

41两数比较大小的问,一般方法是将其转化为同一函数0.93接看成某一个指数函数的两个值,所以题无法用(2)两题的方法来进行比较.这两个数值之间找到中间量

∴函数y=2-x+x+3的单调增区间是, 减区间是 3. ()中要注意对a的讨论中要注意x的取值范围,使这两个数值分别与数 进行比较,进而比较

03.与0931的大小题直接比较大小有可找中间变在比较两个幂的大小时,了上述一般方法之外,还应注意:()对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较可以利用指数函数图象的变化规律来判断.对于底数不同指数也不同的两个幂的大小比较应通过中间值来比较.求指数型复合函数的单调性对于含有指数函数的复合函数的单调性的证明问题仍然用定义法即取值———作差———变形———定号其中定号的过程需要用到指数函数的单调性.对于其单调性的判断,一般用复合性,其法则是同增异减”但应注意中间变量的取值范围及定义域如函数y=4x2×2x的单调性问题,则由函数y=tt及t=2x的单调性便可确定,但在确定过程中需考虑t=2x在x为何值时大,在何值时小于.

利用指数函数图象解题函数的图象是直观的表示函数的法.函数的很多性质可以从图象上一览无余,数形结合就是图形与代数方法紧密结合的一种数学思想.指数函数的图象通过平移翻转等变换可以得出较一般函数的图象.利用函数的图象,能较简捷地解答一些与函数性质有关的问题如()定点问题由于y=ax且a恒经过定点0,因此指数函数与其他函数复合会产生一些丰富多彩的定点问题,如y=ax+1a的图象恒过定点(,实际上就是将定点0()先向左平移个单位,再向下平移2个单位得到.fxx>象恒过定点P,试求点P的坐标.】0(案例2】求函数 x| x>≥0,t=2x递增而

tt2,4上递减,

x|x=x|y3个函数图象有且仅有2个交点,故方程有2个实数根.∴ 22x4x 2上递减在(上递增案例3】求出下列函数的单调区间(a>

解答

图2解答】()设u= 3x x2

这类问题如果直接求解是不可能的而图象则十分直观地体4 现出了它的交点的个数若将此题改为求方程ax=22∞,知u2∞,

上是增函数,3

∞上是减函数

的解的个数,你能讨论出来吗?试一试案例6】若直线y=2a与函数y= ∴a>时y=ax+3x+

∞ 上是增函数 )的图象有两个公共点,则a的取值范围 ,2,23,上是减函数2 x2x, ∴函数的定义域 3又函数t=x2x3= )4的对称轴为x=∴ x2x3 ,上单调递增在

精析】在同一坐标中分别画出y=2a和yax图象但a的值不定此题应将a分情况讨论上单调递减 图

= x≥0,x<0.

函数的定义域为xxRx

2要使两个图象有两个交点必须0<2a<,即0<a2与a>所以该情况下无解

,∴y80=∴函数的值域为 2 x,2 x≤= 0 2又y= x在(∞∞)上是减函数2∴y= 图y= 图 函数定义域为xx≥. xx>0.

又 < ∴0<2a<即 ∴ x<,即函数的值域为, 函数的定义域为∴a的取值范围是0<a2指数函数的实际应用在日常生活中,我们经常会遇到指数增长模型:设原有

≤0|0=0 xx∈0,产值为N平均增长率为P,则对于经过x年后的总产值Nk∈Ra

y

∞40且a的函数称为指数型函数,这是非常有用的函数模型.案例7】截止到2004年底我国3亿如果今后能将人口平均增长率控制在%,那么经过20年后,我国人口约为多少?精确到亿) (

函数的值域是(.求含有指数式的复合函数的定义域时,要注意考虑偶次根式的被开方数大于等于0分式的分母不能0等限制条件;求它们的值域时,要结合指数函数的单调性和值域来考虑,不要遗漏了指数函数的值域大于aa解 设经过x年后我国人口数为y亿33×%= 经过2年即200年底人口数 %) × %%=

a设ax=t利用换元法转化为求常见的一次函数或二次函数的值域.3例2】要点已知关于x的方程x 有负根33求实数a的取值范围解答】问题转化为当x<0时,求a的取值范围∵x,∴0<3x<a∴ <所以经过x年,人口数为y= %x0y=012x所以经过20年后,我国人口数约 亿12x领悟方法技巧领悟方法技巧,实现触类旁通例1】要点2)求下列函数的定义域值域:(y=8x-1= ;

3解 <a<∴a的取值范围是(,).xy=cxxd)|x∵ ,∴x2

图 ( fx

x- x-x-x-x1=3 =1=3精析】依据图象的走势可确定函数的增减,进而可确定底数是大于 还是小于.同样的可用特殊值区分其大小.

f1) .x-x)x+x-. 方法一:当指数函数的底数大于时,图象上升,且在第一

<2

x象限内底数越大图象越靠近y轴当底数0且小于时图象下降且在第一象限内底数越小图象越靠近x轴

∵x∴x

,

<0<d.

3

11x-x)x+x-11>d.解答.指数函数在同一直角坐标系中的图象的相应位置与底数大小的关系如图所示,则0<c<d< a,即在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小

Rfx>0fx∴函数在(∞上单调递增≤x1<x时1x>2即有x1x∵xx1,xx2>0

-x)x+x- <图方法过点作与y轴平行的直线x=该直线与该指数函数交点的纵坐标是该指数函数的底数,由此知a指数函数y=ax与yx(a>0且a的图象关于y轴对称.a

fx∴函数在,)上单调递减综上得函数f(x)在区间(∞上是增函数在区间,)上是减函数解法二∵ fx 3= u3∵u=x2x=x 在(∞上是减函数3= u在其定义域内是减函数3∴函数在(∞内是增函数要点2已知

=3 例4】

5 ( x2

u)

在其定义域内是减函数,而unfm>fnn精析】∵a= 0,

在,)上是增函数∴函数在,)上是减函数2

步骤

与指数函数有关的复合函数的单调性的求解∴m解答根据指数函数的单调性,底数即可比较指数的大小注意底数的值对单调性的影响.例】拓展点讨论函数=3x-x的单调性3精析对于x∈R,xx>0恒成立,因此可以通过作商讨论函数的单调区间.3另外,此函数是由指数数及二次函数复合而成的函数,因此也可以逐层讨论它的单调性,综合得到结果.解答】解法一∵ 函数f(x)的定义域为(

()求复合函数的定义域弄清函数是由哪些基本函数复合而成的.分层逐一求解函数的单调性. 求出复合函数的单调区间同增异减x=xgx=x的解析式的单调区间,确定其增减性并试用定义证明;的值域.精析】利用待定系数法确定a的值,从而求出g(x)的解析式,再利用复合函数的单调性求的单调区间及值域.∵fx=xa,∴gxxa 设x1x x- fx 1

gx=x,,,∈2则tt在2上单调递减∴,上单调递减.证明如下:设x1x,内任意两值且x1<xgx

xa∈RB=A的实数a的取值范围精析】集合A易求,集合B需解指数不等式,含有参数a,需进行讨论

≥0xx,1)

21

∴ >0

x< ,

,

∴2<2x12x AB=AA, ∴

>2 gx

当2a<0即

x> ∴函数,上单调递减∵,上是减函数,g()≤gx≤g0.0,

∵AB=A即A,a∴ ≤解得a2 2≤gx≤0. 当 x∈R.20本题涉及了函数的概念函数性质的证明及性质的应用推理等,尤其是函数单调性的证明,最好先判断得出单调区间再证明这样证明起来有的放矢且不易出错.例7】拓展点4)A型进口汽车关税率在0格为4万元其中含32万元关).()已知与A型车性能相近的B型国产车200年每辆价格为4万元,A型车价格只受关税的影响,为了保证200年B型车的价格不高于A型车价格的90B型车的价格要逐年降低,问平均每年至少下降多少万元?在200年将33万元存入银行,假设银行扣利息

∞23本题综合考查了集合的运算与性质等式分类讨论的思想等知识.3 x=x x|fx=)f0 2恒成立求实m的取值范围精析】()由条件可解方程得到x的值恒成立问题,常通过分离参数,转化为求函数的最值问题.解答 税后的年利率为

%五年内不变且每年按复利计算—年的利息计入第二年本金),那么五年到期时,这笔钱连本

带息是否一定能够买一辆按()所述降价后的B型汽车解答】()因为200年的关税为200年的关税

由条件可知

,款的,故所减少的关税税款为32×

4

即2x2·x ,解得 200年A4万元因为5年后B型车价格不高于A型车价格的90%,所以B型车价格小于等于5年中至少要降0万元,所以平均每年至少降低2万元根据题意200年存入的33万元5年到期时连本

∴ xg ∈2t

t

t息可得33× %)(万元通过计算器算得33×8%≈3万元所以到期时这笔钱连本带息一定能够买一辆按()所述降价后的B型汽车.本题是涉及指数函数的应用题.与指数相关的应用题较多,放射性物质的蜕变口的增长问题、国民生产总值的增长问题的增长或降低等问题,这一类

即m2t)≥ ∵∈2∴ ∵∈2 (2t∈ ,故m的取值范围 ,解决与指数函数有关的问题,面要综合运用研究一般函数性质的有关方法来研究指数函数的性质另一方面要注意综合运用指数函数的有关知识来解决问题特别是涉及底数为参数且需要研究它的单调性时,则应注意对底数进行分类讨论.·x

名师解读名师解读,重难疑点全解读指数函数y=ax就像魔术师一样变化莫测,但所有的变化都与底数a有关.解题时只要抓底数不放,再根据图象,问题就会迎刃而解.例】已知函数y=ax 0 在区,上有最4.求a的值 为奇函3x

m的值若不存在请说

xx明理由精析】先假设存在使条件成立的m的值,根据题求列方程求解再代入检验.=hx=3x假设存在实数m使为奇函数hxx3xm3-x 3x mx

∵ ,∴ax∈ ∈ aa∈a m

∴当t=a时ym= 2=去分母

3-xm,x

·x xm(mxxm(m=0 经检验m=时为奇函数

解得a3②当a>时∵ ,故存在 使函数为奇函数解此类问题的常用方法是先对结论作肯定存

∴ax∈

a在的假设,然后由此肯定的假设出发,结合已知条件进行探索由探索结果是否出现来作出正确判断.3与函数y=bax的图象只能是 精析】本题判断两个函数在同一坐标系内的图况,需根据参数ab的取值而定,应分别对参数进行探究,将矛盾的情况排除.若a>0直线y=axb的斜率大于0为增函数只可能是A.为减函数符合图象情形B函数不符合图象情形;a<0b-1)-ax为增函数不符合图象情形.解答】求解此类问题,需对函数中所含参数分别进行讨论,然后根据图象情形对所有的图象进行验证.如果有那么不合题意如果没那么就是其可能情形.

∴∈a∵函数(*)在∈a,a上单调递增aym解 a.根据,得a3或.该题是一个二次型的函数该题是一个二次型的函数通过换元可以得到一个开口向上对称轴为=的二次函数但t的范围的发生了变化要对a进行讨论得出t的范围.辨析疑难易错点辨析疑难易错点,探究途中无障碍误例求函数y=a1+x-x(a0且a的定义域值域和单调区间误错解】定义域是a∞间为(,).错因分析】当指数函数y=ax(a>0且a的底数a不确定时,要考虑该函数的单调性,必须对底数a进行讨论.指数函数的底数决定着函数的图象和性质,会忽略这一点,出现讨论不全或忘记讨论的错误.正确解答】∵定义域是令u= t∴u在(∞上是增函数在∞)上是减函数t

9.生物组织内碳4的剩余量P与时间t的函数解析式ya

P= 是(∞减区间是, y间是,∞),减区间是(∞

当时间经过九个半衰期后生物组织内的碳4的含由于底数a的由于底数a的值不确定,考虑函数单调性时,必须对底数a进行讨论.由定义域复合函数的单调性,求原函数的单调区间由单调区间求值域. 30 ≈0002P=2 名师原创解答,侧重方法导引4名师原创解答,侧重方法导引解答:若用字母a代替2

130和那么以上

故当时间经过九个半衰期后生物组织内的碳4含量约为死亡前含量2‰,所以还能用一般的放射性探测器测到碳4的存在.B当a>时有2x7>4x解得x<;解得x>个函数的解析式都可以表g=ax的形式,其中自变量是指数,底数a是一个大于0且不等 的常量5思22y= x的图象与y=2x的图象关于y轴对称22

所以当a>时x的取值范xx<当时,的取值范围为xx>3.xxx1可以根据这种对称性利y图象..8练.第1题

=2x的图象画出y

由于xx-1,所以y=设y=xx那x=xx=5已知本金为a元aa(rr=a(x}x+9习题A2)4x1

y( yr=25%2% 2.()

故本利和y随存期x变化的函数式为y=a(r)x5期3.()7 8

的本利和约为8元(

(4

即学即用,盘点目标达成即学即用,盘点目标达成

x=

a>

<

(yxxRRR.产量y随年数x变化的函数解析式为x≤m 01)00 3(nmnmnmn

的图象必经过 A., (20 D.22) 12按从大到小的顺序排列应该(), 12按从大到小的顺序排列应该(),

3时有最小值3 fx= xx≥0,的图象为|x<0)y=|nn数2.满足条件的整数().. 2C3 D435.(拓展点为了得到函数y=3×x的图象,3

求a的值3.(拓展点4)家用电器如冰箱等使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧层含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q0e-0.00t,其中Q0是臭氧的初始量.()随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少?多少年以后将会有一半的臭氧3数yx的图象(.3.向左平移3个单位长度.向右平移3个单位长度.向左平移个单位长度.向右平移个单位长度.(要点2)已知函数fR上的奇函数当x . .4 D43 x-x的值域 3fxxa>0域都是02则实数a= fx=x> =f) c<b<afc>则下列关系中一定成立的是().Ac<3b Bc>3bCc Dcfx=xxa

设x)

()(的奇偶性 f ) 若是R上的增函数,求实数a的取值范

f2…f000的值公元797年拿破仑参观国 堡小学的时了一束价值3个金路易的玫瑰花并许诺说只要法兰西共和国存在一天他将每年送一束价值相等的玫瑰花以作两国友谊的象征此后由于征战拿破仑忘却了这一诺言!当时间的长河向前推进了近一个世纪之后公元894年 堡王国郑重地向法兰西 提出了玫瑰花悬案要求法国 在拿破仑的声誉和37559法郎的债款中两者选择其一这笔高达百万法郎的巨款就是三个金年的指数作用下的产物这一历史公案使法国的一天你知道上述数据是怎么算出来的吗陷入极为难堪的局面因为只要法兰西的本金以5%的年利率在继续存在此案将永无了结对数与对数运算弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及运算.掌握别对数的概念及其运算性质,会用换底公式将一般对数转化成自然对数和常用对数.2.掌握指数式和对数式的相互关系,能熟练的互换

的关键案例2】将下列指数式写成对数式 04阐幽阐幽抉微,重难疑点全解决a=4)4-4要点对数要点>0a=aN做真数.aNN时才有意义为什么规定a>0a a<0xg-.对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互.对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重 和要思想方法2.并不是所有的指数式都能直接改写成对数式,如(2)=4不能写成-4=2只有在a>0a N0baN

⇔a0 解答】g4=;0g; ; g4 无数个值不能确定所以aNx13N为时x有无数个值不确定所以a.0为底的对数叫做常用对数,并把g10N简写ge≈2788的对数,以e为底的对数称为自然对数,并且把gN简写为l.

要点对数运算性质难点要点如果a>0且 MNx-

aNMNM=ax,解答】由 >0得x>且x (2∪2,a0要点对数式指数式与根式重点要点

aaMM要注意的逆用及证明的思路关键提醒():对数运算性质的理解与运用需注意的问题①对应每一条运算性质,都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时等式才成立如g(3·(5是存在的但g3)与g5)均不存在故不能写成:g·5)gg;②要把握住运算性质的本质特征,防止应用时出现错误,初学者常犯的错误有:NN

ab>0a

aM

aMaN )是同一种数量关系的三种不同表达形式.请见下表表达形式abN底指幂bN根指被开方数N底对真关键提醒()开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算.

aM·NMNoaMa;a;MnMn学会用语言准确叙述运算性质,对于防止出现上述错gM=gag乘积的对数等于这两个正数同底的对数之和或两个正底的对数之和等于这两个正数乘积的对数;④利用对数的运算法则,可以把乘除乘方开方的运算转化为对数的加减乘,反之亦然.这种运算的可简化计算方法,加快计算速度积的对数变加法,商的对数变减法幂的乘方取对数,要把指数提到前

9 gg9g5a指数运算性质与对数运算性质的对比 18 指数运算性质对数运算性质指数运算性质对数运算性质aNMaMmnaMn=aMn无abn∈a>0 >N要根据所求式子与已知条件之间的关系选择恰当的底进行换底.案例5】计算g2552g418).精析 先通过对数换底统一底数再进行化简求值 解答 5 4 5g55 2案例3】用xyz表示下列各式其中>0且a(yayax

2= 3o5·g

5 g精析】正确应用运算性质,按要求化简出最后结果y3y

=方法二a

xyyzxy

g

58

zg

=g

=3lg555 222 55

2 2

=2要点换底要点aN(,

a a

方法一是先将括号内换底然后再将底统一方法二是在解题方向还不清楚的情况下地统一为常用对数当然也可以换成其他非的正数为底然后再化简上述方法是不同底b

og N>0称为换 数对数的计算化简和恒等证明的常用方法名师解读,知能整合提升利用它可以随意名师解读,知能整合提升对数的换底是对数中最重要的一个,其证如下N= x 对数式与指数式的关系及相互转a令b NaNxxNo a>0b>0 a=nm

利用对数式与指数式这一关系,可以把指数与对数进行互化,从而使问题顺利地得到解.求某些对数值就可以把它转化为指数问题.gg1)3】

, xg的值

89=a3

g 精析】将8b=5化成对数式,利用换底公式将3换成以8为底的对数式,g45g9g

yg1)32则 y=32 ∴y=,345= g-1)322= gx 4 解不等式9

对数式与指数式的互化是解决对数问题时运用化归思想的桥梁,因此在刚开始学习对数问,对数式与指数式的互化是解决对数问题时运用化归思想的桥梁,因此在刚开始学习对数问,我们可以为指数问题,数指数幂的有关运算性质及其方法技巧来解决问题;我们也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题,从而使问题得到简捷的解法.对数的概念较难理解,对数符号初学时不太好掌握学习时要抓住对数与指数的相互联系深刻理解对数与指数的关系将有助于掌握对数的概念对于对数式的互化简单对数值的计算要多做练习以丰富对数式的认识经验对数运算是指数运算的逆运算应注意培养自己的逆向思维能力.x3xxx4g故原不等式化为x ,事实上,在化简og3x时,还可用取对数的方事实上,在化简og3x时,还可用取对数的方法来达到化g3 g3x9x4利用对数的换 4gx求 ,z均大于aa=a=,ya

案例4】解下列方程精析】()可考虑将指数式化为对数式求解,有两个思路:一是利用指对数互化;二是两边取对数g成则问题获得解决因此要多次使用等 o

(gx=2434;gx 精析】将对数式化为指数式利用换元法转化为解一元二次方程34 ag g3= ∵g332

3∴ b33333=解法2对已知条件的两边取 为底的对数,得3=g2=2,2g,g2. g3gg 由得 ay

经检验x 是原方程的根,即 x∴x =2经检验x=2是增根即原方程的根是x=2.原方程可化为gxx3=0.解得 或x 或gza=a 解得 或 即xy=2. 经检验

x000均符合题意,即原=x∴x 40242

0x 0

agxma

nbxao

0. 常将其化为指数式来解形如关于x的方程xxb=0的转化,通常利用换元法转化为一元二次方程来解()两边取对()两边取对数是将指数式化成对数式的常用方法对数的换底在解题中起着重要的转化作用,能够将不同底的问题转化为同底问题,从而使我们利用对数的运算性质解题的想法得以实现.案例5甲乙两人解关于x的方程xb·甲写错了常数b,得两根4,8;乙写错了常数c对数的综合运用涉及对数式的化简求值时,首先记对的有质并灵活的运用这些性质来化简.

24求这个方程的真正根精析】将方程化为关于ogx的一元二次方程的形式.利用一元二次方程的根与系数的关系求出b和c再求出真正根.g· , ∴Pg即)x4因为甲写错了常数b得两 ,48

湖南长沙马王堆古墓女尸出土时碳-4的残余量约占原始含量的7%即P=077那么77gg因为乙写错了常数c得两根2, log2g4=5.故原方程为)x gx2gx.x=4x

由计算器可算得t≈2所以马王堆古墓约是200多年前的遗址要要计算 2t30,由于t在指数上直接计算很不便,于是转为对数式计算领悟方法技巧,实现触类旁通对数知识又常常与其他知识交汇一起,领悟方法技巧,实现触类旁通对数知识又常常与其他知识交汇一起,构成较复杂的题目,这时首先要牢牢掌握对数的定义,注意其指数式的转化灵活运用运算法则就可使问题得到解决(og

g g2; 对数运算的实际运用

( 85

2对数的发明来自于运算,当然对数的运算法则要回归会运用.在日常生活实际中,经常会遇到一些出现指数与对数运算的问题.案例6科学家研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳-4.碳-4的衰变极有规律,其精确性可以称为自然界的标准时钟动植物在生长过程中衰变的碳-4可以通过与大气的相互作用得到补充,所以活着的动植物每克组织中的碳-4含量保持不变后的动植物,停止了与外界环境的相互作用,机体中原有的碳-4按确定的规律衰减,我们()设生物体时,体内每克组织的碳-4含量为,试推算生物t年后体内每克组织中的-4含量;湖南长沙马王堆古墓女尸出土时碳-4的残余量约占原始含量的7%试推算马王堆古墓的年代.解答】设生物体死亡时,体内每克组织中的碳4的含量为,年后的残留量为x,由于死亡机体中原有的碳-4按确定的规律衰减,所以生物体的年数t与其体内每克组织4含量P有如下关系:

精析】利用对数运算性质进行计算解答】()原式 7×2 525×)5)555对于同底的对数的化简,常用方法是()“收将同底的两对数的和差收成积商的对数如本题();拆将积商的对数拆成对数的和差如本题例2要点2)计算下列各式的值:()71og;g ogb· 年数23…t…碳-4含量xx……年数23…t…碳-4含量xx……底恰为指数式的底所以考虑oaNN7因此,生物t年后体内每克组织中的碳

4含量Pt

=g5由于大约每过5730年,死亡生物体内每克组织中的

g

0g

3=4

( g碳-4含量衰减为原来的一半,故2

g·g·g302于是 =302

, 这样生物t年后体内每克组织中的-4的含量 .. t

已知则3 已知则 .精析】利用对数的性质和换 计.【】 g 由对数与指数的关系指数式=2=

30两边取 解 原式

7g

=g4==Pg g==

2

a; g

0,∪原

8 7

对条件使等式ox xa 3

题中出现底数不同的对数,解题时应选当的底进行换底.pqg=1gp求q的值

中 有解的正确理解是解决此题的关键,即第一步求出解 = ;第二步求出解应满足的条件;第三步解不等式组求出k的取值范围b) 1p精析】题目中的已知条件是对数式等式,欲求结论是q的值,因此需要中间量把对数式化为指数式,得关于q的 元二次方程,再由求 ,求得q的值pg11p=p∴ k=2∴

( g ba的值精析】用换元法把对数方程化为代数方程———一元二次方程由定理求出a与b的关系式即可求得结果解答】原方程可化为) ,设则原方程化为2t4t,∴t1tt=2又已知ab是原方程的两个根k

则

t即a=2( . ( .

)

∴gb baa 33

a=a· k4 k4

=a·b)解得x=2∵x,

2

2=∴

=3 即·b==3k又q=k

4

本题主要考查对数的运算性质,是一道综合 ∴q 设中间量,把对数式化为指数式

性题目用到了根与系数的关系换底公式配方法整体代入求值等方法特别要注意的是ab是原方程的根而不是一元二次方程2t4t=0的根.

>0 ,求使得等

例7】拓展点3)光线每通过一块玻璃板其强度要减少0%,至少要把几块这样的玻璃板起来,才能使通axaxa中x有解时k的取值范围精析】从已知等式着手,化对数式为指数式,转化为关于x的一元二次方程,再对参变数分类讨论,同时要注意a在讨论中的取值范围.解答】∵axa ax a(k

它们的光线强度在原强度3以下?7精析】归纳出光线强度关于玻璃板块数的关系式,利用对数求解.解答】设光线没有通过任何玻璃板时的强度为m,过x块玻璃板后其强度为y.y=0my=09y03∴ 2k xk>0,∵xa,

y=0xmmx .

g=0

3≈

即至少要把

3

起来

块这样的玻璃板

<.名师解名师解读,重难疑点全解读 k>0且 对数与指数是一种互逆关系,运算时要注意它们之间解法一二是把指数8b=5化为对数,再把所求的对解法一二是把指数8b=5化为对数,再把所求的对数通过换底 换成和它同底的对数,以便于利用对数的性质求值解法三是把对数189=a化为指数,再把所求的对数化为指数求解.例1】设c都是正数且3a=4b=c,那么下列等式中成立的是( .c

. = .

.辨析疑难易错点,探究途中无障碍 辨析疑难易错点,探究途中无障碍∈+∴t>taa.ta .

忽视什么是方程的未知数忽视什么是方程的未知数g7x7·5=0个根分别是则αβ的值是 错解 .错因分析】没有分清方程是关于x的一元二次方程还c同理bc

t

是关于x的一元二次方程 正确解答】 关于x的二次方程的两根为βg,∴ b93t=c

( gβα 75=g解答】

本题的关键3ab本题的关键3ab4,中的指数a,分离出n=b⇔b到这一点.这是一道以对数为依托这是一道以对数为依托,考查有关一元二次方程的知识的题目.bab3值解答解法一∵ b,∴185=b.ggg a

名师原创解答名师原创解答,侧重方法导引2思解答:可利用计算机画出函数y3×x的图象 ∴345= 18 88) g a aab g8

5)

=9g5=

l9 在所作的图象上取点P,测出点P的坐标移动点P,使gggggg∵189a ,a·88x 3x88x ∴3 xx·

坐标分别观察这时的横坐标大约分别为32.这就是说如果保持年均增长率为个百分点那么大约经过33年3年4年我国人口分别为8亿、20亿30亿.8探a>0 M>0NMaMN gMgNM ,

MnM4练(,∴x=a,

3)

2

3g32 32a

∴3 2

xg xax;xa =g;xg;0=00)(6探b

A0 .C2 D3a-5 (∞) B.25)∪ D.,3gaB=o 则A∪B等 aa又aP=b成立cb=b0 c>0且c c8练(xyglxyy)g

7.(拓展点若已知集合M=则实数a的取值范围 b8.(拓展点已知b是方程2x4x =0的两个根,则lga的值是().bA4 B3xyxy

C2 .

3g3

yg

g5g

g7g432g)x3

2; g5x

2

(2.ggzg

xy)

0y=xg yy=xgy())2gg3g=5g=ggg;

3gqqg5ggg 3))54即即学即用,盘点目标达成34)=0 . B4. D8ga = xyn∈*命题中正确的个数为.x)xaxxay2.(要点3)若abc都是正数且至少有一个不为zx),求a的取值范围b

a(2当x∈R时x恒成立求实数a的值并求此时的最小值数学家花拉子米的遗嘱数学家花拉子米的遗嘱(当时他的妻子正怀着他们的第一胎小孩“如果我妻子帮我生个儿子,我的儿子将继承2的遗产,我的妻子将得到3出生前,这位数学家就3;如果生个女儿,我的妻子将继承2的遗产,我的女儿将得到33而不幸的是在孩子了,之后,发生的事更困扰大家,他的妻子帮他生了一对龙凤胎,而问题就发生在他的遗嘱内容,何遵照数学家的遗嘱,将遗产分给他的妻子儿子女儿呢对数函数及其性质C4的a的值依次为 .掌握对数函数的概念,体会对数函数这一重要的函数模型.能借助计算器或计算机画出具体的对数函数图象探索并掌握对数函数的性质=ax反函数且a).阐幽抉微,重难阐幽抉微,重难疑点全解决343, .34335 30对数函数的概 3, .4,33一般地我们把函数x且 叫做对数 5 03数其中x是自变量定义域是0,∞ C1Cg43由对数的定义,容易知道对数函数x,

g4

4因此CC对应的a值分34是指数函数y=axa>0a 的反函数

3 1=ax0a 1

然后考虑C34由于

3=

<g1自变量x>0函数值.=g

3因此CC对应的a3,3

10值域

0综上可得CCC0

5的值依次 43解答】(∵ x>,∴∵ 2x<∴g(∴函数的定义域是(值域是(

同类型的对数函数图象之间的关系同类型的对数函数图象之间的关系a>时底数越大图象越靠近x轴;0<a<时底数越小图象越靠近x轴.

3 33 对数函数的图象与性质重点

反函数的求法与性质求与对数求与对数函数有关的定义域问题时,首先要考虑真数大于零,底数大于零且不等.若处在分母的位置,还要考虑不能使分母为零.y;yyyyyy,,反函数的性质①互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称反函数的定义域是原函数的值域,数的值域就是原函数的定义域.关键提醒:并不是每个函数都有反函数,有些函数没有反函数如y=x一般来说单调函数有反函数. g B2g1 Dx关键提醒:对数函数的图象和性质可与指数函数进行类比学习,关键是记牢,图象理解性质,并活用图象解题.理解对数函数与指数函数互为反函数.

x=x=xgx解答】图象的变换难点案例2】如图

所示的曲线是对数函数y=ax

的图象已知a值可以取343 CC

35

y=fx

yx

求对数函数的复合函数的定义域的方法同前面讲到的位称

=(x)图象 一般函数的定义域的方法一样,不过应特别注意,首先要求

数有意义,即真数大于零,底数大于零且不等于图 →yy=fx) 关于x轴对称= 图 →y

求对数函数的复合函数的值域时,首先要考虑定义域,y=fx 后从里到外”利用换元法及单调性求两次值域

图象 案例1】求下列函数的定义域 =左边原来部分去掉→y 4 ()x轴下方部分翻到上方

(fx==1x

下方原来部分去掉→y

精析】x取值需使分母不等于零且真数为正实数归纳整理:含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换一般地y=f(a的图象是关于x=a对称的轴对称y=f案例4】作出下列各函数的图象,并说明它们的图象可由y=gx的图象经过怎样的变换而得到.yg=xg

x)

取值需使被开方数为非负数且真数为正实数解答】()要使函数有意义需有4x,x3解得x<4且x 函数的定义域为 ∞3∪34(,精析】本题主要考查对数函数的图象及其.作含

要使函数有意义需有

绝对值符号的函数图象,应由绝对值的定义去掉绝对值,写成分段函数的形式.解答】()原函数可化为

,33≤

14x3gxx>0,

<x≤

xx<0 ∴函数的定义域3它的图象如图2()所示 作出函数y=gx的图象,并将其关于y轴对称的曲线作出所得两支曲线就是函数y=g logx 它的图象如

求与对数函数有关的函数的定义域时除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外还要对这种函数自身有如下要求一所示

g≤ 是要特别注意真数大于零二是要注意对数的底数三是按底的取值应用单调性有针对性地解不等式作出函数为y=gx的图象,并将其在x轴下方的图象沿x轴翻折对称到x轴上方,所得图象包括原来在x轴上方的部分就是函数ygx的图象.原函数可化为y=g g( 如图所示y=gy=g

=g3yguu=3∵u= ),∴yg04ym=g=g3∞2利利用换元法设u=32xx可以把原函数化为对数函数特别要注意换元后u的取值范围.定义域或值域为全体实数的问题对于形如aφx的定义域或值域为R的问题关 图

yg和解决问题.

的定义域和值域,并结合图象来分析本题运用了化归思想和由简单到复杂由特殊到一般的数学思想方法掌握了对数函数x0且a的图象之后利用平移和对称的方法就可以得到形如ax),axh和=axh的图象为解题提供直观判断扩大了对数函数图象的应用范围.名名师解读,知能整合提升对数函数的定义域值域的求解方法

由图3可知对数函数x的定义域为,∞域为反过来要使函数x由图3可知,图y=aφx>aaφx)a.y=a0,∞)内的所有值一个也不能少则对于函数而言必,aφx)=φxφx≥maφx)amRx=xcaaRa>.案例3】已知函数gax x4()R,求实数a的取值范围若值域为R,求实数a的取值范围解答】()要使的定义R,则对任意实数x

精析】可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可以利用函数的性质识别图象,特别注意底数a对图象的影响.解法一:,y=axy=ay=a好相反又可排除.解法二若0<a<则曲线y=ax下降且过点0,而y=a些条件若a>则曲线y=ax上升且过点0,而曲线y=a x4>0恒成立

解法三如果注意到y=a

(x)的图象关于y轴的当a=0时不可能当 0时,由二次函数的图象,可知a,Δ=a),

yx=x于直线y=x对称则可直接确.解答解得3 322 22函数图象是一个重要的问题,可从定义域函数图象是一个重要的问题,可从定义域值域单调性对称性及特殊点入,对常见的函数图象一定熟悉故实数a的取值范围为33 <Ra x4的值域必包含0,∞).当a=0时,显然成立当a0时,由二次函数图象可知,其图x轴相交且开口向上, ,3 3

对数函数单调性的运用解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键一是看底数是否大于当底数未明确给出时则应对底数a是否大于进行讨论二是运用复合法来判断其单调性三要注意定义域.案例5求函数1x5x的递减区间解答】先求函数的定义域,由2x5x3= >0即0<a≤2或a≥2

3 3

令 3,g 42∴实数a的取值范围为a 2或a≥2 数,欲求它的递减区间,只要求出函数 5x3x42对数函数的图象的运用

除了掌握a>和0<a<两种情况的对数函数图象外掌握底数a的变化对对数函数的图象影响的规律不仅能快速解答这一类型的确定底数的问题而且也是运用数形结合研究对数有关问题的必备知识.案例4】已知a0a,函数y=ax与y=a

3,μ8μ1x3,()研究函数的单调性首先必须考虑它的定义域指数函数与对数函数的单调性当底数是字母时必须分底数大于和底数大于0且小于这两种情况进行讨论对y=fgxu=gx的单调性从而得出y=fgx的单调性判断函数的增减性,或者求函数的单调区间,也可出函数图象求解.比较大小比较对数的大小,一般遵循以下几条原则①若两对数的底数相同,则由对数函的单调性(底数0<a<②若两对数的底数不相同,通常引入中间变量进行比较案例6】设=)则().Aa>b>c BabCc>ab Dcb>a精析】本题考查对数函数的增减性由知 作商比较知2解答fx=xafa) A.2 .,, .,精析】∵ a=ba0a,∴0<a<a

原问原问题等价于当x* 时21x的图象在yx的图象的下方由于a的大小不确定当a>时y<y1因此a必为大于0且小于的正数当y的图象通22时,满足条件此时a0=2那么a是大于a0还是小于a0才满足呢?可以画图象观察,请试着画一画.这样可以对数形结合的方法有更好地体会.对数函数的实际应用以指数函数对数函数为模型的实际应用问题通常与增长率衰减率有关在现实生活和科学技术领域诸如人口普查中的人口增长胞分裂次数的推算考古中根据碳-4的衰减推算年代以及药物在内残留时间的推算等问题都属于这一模型.案例9】某城市人口总数为00万人,如果年自然增长率2%试解答下列问题:()写出该城市人口总数y(万人与年份x(年的函式计算0年以后该城市的人口总数精确到0.万人,上为减函数a>f3,解答】2ax成立求实数a的取值范围.222解答】要使不2xx在x0,时恒成=ax22

计算大约多少年以后该城市人口将达到20万人精确到年);如果20年后该城市人口总数不超过20万人,年自然增长率应该控制在多少?解答】()年后该城市人口总数为y= 2%2年后该城市人口总数为y=× %% 3年后该城市人口总数为y= %x年后该城市人口总数为y= %0年后该城市人口总数为的上方,而y=2x

2

2%0设x年后该城市人口将达到20万人 %,x1

=g0l0图a2yx

0,∴(x)0≤ x≤0 x≤用计算器计算领悟方法技巧,实现触类旁通故年自然增长率应控制在09%领悟方法技巧,实现触类旁通

2a

fx=xkgfa=∴a2即a2

,( ) ∴所求的a的取值范围为

2fa <a< ak 当x为何值时有最小值?求出该最小值精析】列方程组可求得ak的值先求的表达式,借助于二次函数求最值.解答()因为

gggg aak=2ggoo,gg

ogx求二次函数的最值问题.同理,其定义域可化为一元二次不等解得

k=4aa或

式来求解解答 g0=所以 k,7gx)gx 7

1=g=1x)1x解得2所以当ox= 即当x=2时有最小值7

= xgg=ox)oxgg24解决本题的关键是解方程和简单函数的复合问题,要分清函数由哪些函数复合,最简单的对数方程可由指24

2数对数互化来解决 ∵对称轴t=3∈222例2 拓展点3)已知函数f(=axa>0a 2,fx取值范围.,,解答】当 时,对于任意x,∞都fx>0. fx)

∴当 时i 4m将求指数函数对数函数的最大值最小值问题转化为求二次函数的最大值最小值是解这类问题的一个基本方法.例4 而x,)上为增函数

a围

在区 2上恒为正求实数a的取值a3≥a fx<, x)

解答】()当 a x,

>,x,因此f(x≥对于任意x,都成立

2>0 只需<a≥∴g3g即

①当

2时=不合题意 a ,( ②当0<a<2时a2>0gx是增函数只需 ∴3≤a<综上 (

对任

都成立的

f(3

3

∈

22a

0g本题属于函数恒成立问题,x

<a<2 ∞)时函数f(的绝对值于等于恒成立问题一有两种思路:一是利用图转化为最值问题;是利用单调性转化为最值问题.这里函数的底数为字母a,因此需对参数a分类讨论.

<a<2 a∈

23fx=g·g 是对数函数为一次函数影响 数函数的单调性的参数是底数a,影响一次函数的单调性的参的定义域是不等式2log1x 1x3≤0的解集,求的最大值和最小值 数是一次项系数a2所以必须对这些量进行讨论,a

∴k=

lx ta>0 0 变量x满足关系式()求y关于 的函数表达式y=f;a调函数求实数a的取值t围.y

af33xbx)>0对于∈(,)恒成立∵在∈(,∞)上是增函数∈fx>f(). lab=0②解答】由

得t

3

由得

ab=

解得a=

=2此题涉及字母参数较多因此根据题设条件减少字母参数是解决问题的关键同时解题时要深刻理解题设中两个恰字的含义从而列出关于k的方程解方程即可.由t=a此题涉及字母参数较多因此根据题设条件减少字母参数是解决问题的关键同时解题时要深刻理解题设中两个恰字的含义从而列出关于k的方程解方程即可. y3x x 3x则 辨析疑难易错点,探究途中无障碍若函数是辨析疑难易错点,探究途中无障碍忽视函数正确的定义域误忽视函数正确的定义域误

a>x=2x=23xx9∴3≤a<4

=2错因分析】以为函数y=f) 综上a的取值范围为 ∪3,∪(,∞ 9 正确解答】y=fx x名师解读,重难疑点全解读2名师解读,重难疑点全解读=g

3对数函数是一个很特别的函数,有自己特有的运算法则在解题时要注意此法则的运用.

=x3)∵的定义域为9例1 判断函数fx=g( 解答】函数的定义域是.x( g( =g

的奇偶性

x x≤ 注意函数的定义域指的注意函数的定义域指的是自变量x的取值范围

x,,=∴

fx, 为奇函数.则为奇函数xb>0k0,ab3=4?ab值若不存在说明理由.kx

名师原创解答,侧重方法导引名师原创解答,侧重方法导引图象都位于y轴的右侧 解答:是y的函数,对应关系是x=gy 练∴b∵a>>0,>ga

y3x1相同点图象都在y轴的右侧都过点3不同点x的图象是上升的1x的图象是3 akb

降的第1题3x=g13,∪∞;

可 2m/.0.()当底数全大于,在x=的右侧,底数越大的图象yx②ygygx. ∞,),∞ 题 0.0.;gg...

ygxygxyx1xy1xy155=××=× 习题.

A

235 4(3 4(gxxx

abOab

bc c××=abc××=33=( g3 ); 解得v=.)4(2a=2=a;

答:鲑鱼的游速 5 30原

3

解得Ob

3b

答:一条鱼静止时的耗氧量为00个单位B

.由=.设x年后我国GDP在999年基础上翻两番,(x,

-3解得x=g

33两番

2.当a>时

<恒成立4(,

g4mmmm9.已知火箭的最大速度v=

a

= M= 所以实数a的取值范围是a0<a<或a> mM

4M

g0m答:当质量约为火箭质量的402倍时,火箭的最大速

答:人低声说话强度约为30dBD=l . 3约为05B.

7.(要点2)设是一个奇函数当x>0时fx=gx,则当x<0时的解析式为().g g(注此题数据有误平常说话的声强为40~0dB,声强超80dB时,就可能对健康状况造成

.g

.

(当

g 0 的图象恒I=50 l0

=0×010)≈ 定点P,则点P的坐标为( 507B.

(20) ( 0 D.() , x

x=

x≤ x>xaa.g;yx

b=fc () 5,C.) x即学即用,盘即学即用,盘点目标达成

b 0,;平面上点的集合Q.(要点若ga>则实数a的取值范围是 ,y= ,,则在同一直332

0<2a

坐标系中P中函数fx)的图象恰好Q中两个点的函数的个数是() Da< A4 . m .mn< Dn<mg( )ax是偶函数g=

C8 .=g(到C1,如果某函数图象C与C1关于原点对称,那么的解析式 ()x- 4x 2要点3若函

fx 的反函数 x的图象2x是奇函数那么ab为 A2 .. D0

点则f-1 b<b值范围是 y=fx ,则函yfgx B.2. .4fxxa>0 fx1fx A4 B8fx>

=a()函数的定义域与值域;函数的单调区间

axa. 8

若 1xx<0.则实数a的取值范围是0∪0,∪∪∪0,yaxaa()求函数的定义域与值域求函数的单调区间

a3()当∈02时函数恒有意义求实数a的取值范