《高等数学》教案 08 多元函数的极值

第八节多元函数的极值在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题.与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有着密切的联系.下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.内容分布图示★引例 ★二元函数极值的概念(讲义例1、2、3)★极值的必要条件 ★极值的充分条件★求二元函数极值的一般步骤 ★例4 ★例5★求最值的一般步骤 ★例6 ★例7★例8 ★例9 ★例10 ★例11★条件极值的概念 ★拉格朗日乘数法 ★例12★例13 ★例14 ★例15 ★例16※数学建模举例★最小二乘法（讲义例10） ★线性规划问题（讲义例11、12）★内容小结 ★课堂练习★8—8 ★返回内容要点：一、二元函数极值的概念：极值的定义极值的必要条件与充分条件求的极值的一般步骤为：第一步解方程组求出的所有驻点；第二步求出函数的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、B、C的值，并根据的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数的最大值和最小值的一般步骤为：第一步求函数在内所有驻点处的函数值；第二步求在的边界上的最大值和最小值；第三步将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.三、条件极值拉格朗日乘数法在所给条件下,求目标函数的极值.引进拉格朗日函数它将有约束条件的极值问题化为普通的无条件的极值问题.四、数学建模举例最小二乘法线性规划问题例题选讲：二元函数的极值例1（讲义例1）函数在点处有极小值.从几何上看,表示一开口向上的椭圆抛物面,点是它的顶点(图8—8—1).例2（讲义例2）函数在点处有极大值.从几何上看,表示一开口向下的半圆锥面,点是它的顶点.(图8—8—2).例3（讲义例3）函数在点处无极值.从几何上看,它表示双曲抛物面(马鞍面)(图8—8—3).例4（讲义例4）求函数的极值.例5证明函数有无穷多个极大值而无一极小值.二元函数的最大值与最小值例6（讲义例5）求函数在矩形域上的最大值和最小值.例7求二元函数在直线轴和轴所围成的闭区域上的最大值与最小值..例8求函数在区域上的最小值.例9求的最大值和最小值.例10求两直线与之间的最短距离.例11（讲义例6）某厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省.例12求函数在附加条件(1)下的极值.条件极值拉格朗日乘数法例13（讲义例7）求表面积为而体积为最大的长方体的体积.例14（讲义例8）证明不等式其中是任意的非负实数.例15（讲义例9）设销售收入(单位:万元)与花费在两种广告宣传的费用(单位:万元)之间的关系为利润额相当五分之一的销售收入,并要扣除广告费用.已知广告费用总预算金是25万元,试问如何分配两种广告费用使利润最大?例16设某电视机厂生产一台电视机的成本为每台电视机的销售价格为,销售量为.假设该厂的生产处于平衡状态,即电视机的生产量等于销售量.根据市场预测,销售量与销售价格之间有下面的关系:(1)其中为市场最大需求量,是价格系数.同时,生产部门根据对生产环节的分析,对每台电视机的生产成本有如下测算:,(2)其中是只生产一台电视机时的成本,是规模系数.根据上述条件,应如何确定电视机的售价,才能使该厂获得最大利润?最小二乘法例10（讲义例10）为测定刀具的磨损速度，按每隔一小时测量一次刀具厚度的方式，得到如下实测数据：试根据这组实测数据建立变量y和t之间的经验公式现行规划问题例11（讲义例11）一份简化的食物由粮和肉两种食品做成,每份粮价值30分,其中含有4单位醣,5单位维生素和2单位蛋白质;每一份肉价值50分,其中含有1单位醣,4单位维生素和4单位蛋白质.对一份食物的最低要求是它至少要由8单位醣,20单位维生素和10单位蛋白质组成,问应当选择什么样的食物,才能使价钱最便宜.几何方法解题例12（讲义例12）一个糖果制造商有500g巧克力,100g核桃和50g果料.他用这些原料生产三种类型的糖果.A类每盒用3g巧克力,1g核桃和1g果料,售价10元.B类每盒用4g巧克力和1g核桃,售价6元.C类每盒是5g巧克力,售价4元.问每类糖果各应做多少盒,才能使总收入最大?课堂练习1.求函数的极