第04讲空间向量及其运算（原卷版）

第04讲空间向量及其运算【知识点梳理】知识点一：空间向量的有关概念1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知识点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知识点二：空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点诠释：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；知识点三：共线问题共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．（3）共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。知识点四：向量共面问题共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。知识点五：空间向量数量积的运算空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知识点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．知识点六：利用数量积证明空间垂直关系当a⊥b时，a·b＝0.知识点七：夹角问题1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。知识点诠释：（1）规定:（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。2.利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。知识点八：空间向量的长度定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：将其推广：；。2.利用向量求线段的长度。将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。【题型归纳目录】题型一：空间向量的有关概念及线性运算题型二：共线向量定理的应用题型三：共面向量及应用题型四：空间向量的数量积题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度【典型例题】题型一：空间向量的有关概念及线性运算1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向B．空间向量不可以平行移动C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量2．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（

）A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若，则､的长度相等且方向相同C．若向量､满足，且与同向，则D．若两个非零向量与满足，则.3．（2022·全国·高二课时练习）化简所得的结果是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（

）A． B． C． D．5．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（

）A． B．C． D．（多选题）6．（2022·福建宁德·高二期中）如图正四棱柱，则下列向量相等的是（

）A．与 B．与C．与 D．与7．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，若，，，则与有相等模的向量共有______个．8．（2022·全国·高二课时练习）若、、、为空间不同的四点，则下列各式为零向量的序号是_______．①；②；③；④．9．（2022·全国·高二课时练习）化简算式：______．10．（2022·全国·高二课时练习）已知为正方体且，，，则______．11．（2022·全国·高二课时练习）平行六面体中，若，，，那么______．12．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：(1)的相等向量，的负向量；(2)用另外两个向量的和或差表示；(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.13．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在以长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量．14．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量.(1)；(2).题型二：共线向量定理的应用1．（2022·全国·高二课时练习）已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高二课时练习）若，，，则､､（

）A．可组成锐角三角形 B．可组成直角三角形C．可组成钝角三角形 D．不构成三角形3．（2022·全国·高二）若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（

）A．P∈AB B．P∉ABC．点P可能在直线AB上 D．以上都不对4．（2022·全国·高二）下列命题中正确的是（

）.A．若与共线，与共线，则与共线.B．向量，，共面，即它们所在的直线共面C．若两个非零空间向量与满足，则D．若，则存在唯一的实数，使5．（2022·江苏·高二课时练习）（多选题）下列命题中不正确的是（

）A．若与共线，与共线，则与共线B．向量，，共面，即它们所在的直线共面C．若两个非零空间向量，，满足，则∥D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ6．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则______．7．（2022·江苏·高二课时练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．8．（2022·全国·高二课时练习）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为________.9．（2022·全国·高二课时练习）已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是________．10．（2022·全国·高二课时练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？11．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．12．（2022·湖南·高二课时练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．题型三：共面向量及应用1．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（

）A． B．C． D．2．（2022·江苏常州·高二期中）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（

）A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．与点位置有关3．（2022·江苏·高二课时练习）A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若，则P，A，B，C四点（

）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面4．（2022·江苏· 高二期中）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高二课时练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（

）A．2 B． C．1 D．6．（2022·全国·高二课时练习）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数等于_________．7．（2022·全国·高二课时练习）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．8．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则________.9．（2022·江苏·高二课时练习）如图四棱锥中，四边形为菱形，，则______．10．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.11．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，.(1)求证：四点共面；(2)平面平面.12．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面．13．（2022·全国·高二课时练习）已知向量不共面，并且，判断向量是否共面，并说明理由．14．（2022·湖南·高二课时练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使．求证：E，F，G，H四点共面．题型四：空间向量的数量积1．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（

）A．1 B． C． D．（多选题）2．（2022·全国·高二课时练习）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，则点与平面的位置关系是______；当最小且最小时，______．4．（2022·全国·高二课时练习）化简：________.5．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）在三棱锥中，已知，，，则___________6．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.7．（2022·全国·高二单元测试）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，_______．8．（2022·全国·高二课时练习）已知空间四边形中，，则______．9．（2022·全国·高二课时练习）三棱锥中，，，，则______．10．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，若E､F分别是AB､AD的中点，则___________，___________，___________，___________.11．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面体ABCD中，，，则______．12．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．(1)确定在平面上的投影向量，并求；(2)确定在上的投影向量，并求．13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．(1)用向量、、表示、；(2)求；(3)判断与是否垂直．题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角1．（2022·全国·高二）在正四面体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高二期中）在平行六面体中，，，，，则（

）A． B． C．0 D．3．（2022·湖南·高二期末）如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（

）A．30° B．45° C．60° D．90°4．（2022·江苏·高二课时练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（

）A．30° B．45°C．60° D．以上都不对5．（2022·全国·高二课时练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（

）A．B．C．向量与的夹角是D．与所成角的余弦值为6．（2022·全国·高二期末）若向量，，，夹角为钝角，则的取值范围是______.7．（2022·河南濮阳·高二开学考试（理））空间四边形，，，则的值为__________．8．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)求与的夹角的大小；(3)判断与是否垂直．9．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:(1)的长;(2)直线与所成角的余弦值.10．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二期末）平行六面体，(1)若，，，，，，求长；(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．11．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间向量，根据下列各条件分别求：(1)；(2)；(3)；(4).12．（2022·全国·高二课时练习）已知都是空间向量，且，求.13．（2022·全国·高二课时练习）已知在平行六面体中，，，，且.（1）求的长；（2）求与夹角的余弦值.14．（2022·全国·高二课时练习）如图，平行六面体中，，，与AB、AD的夹角都为求：（1）的长；

（2）与AC所成的角的余弦值．题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度1．（2022·辽宁·辽河油田第一高级中学高二期末）在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北·高二期末）若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（

）A．5 B． C． D．（多选题）3．（2022·全国·高二）在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，则下列选项正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若