第13讲函数的表示方法（解析版）

第13讲函数的表示方法【学习目标】1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.4.会求函数的解析式.【基础知识】知识点一函数的三种表示方法注意三种表示方法的优缺点表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系知识点二分段函数分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集分段函数在书写时要用大括号，把各段函数合并写成一个函数的形式，并写出各段的定义域.(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.【考点剖析】考点一：三种表示法的应用例1．已知函数，部分与的对应关系如表：则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】直接根据表格中所给数据，即可求出结果．【详解】由表知，，则．故选：D．考点二：求函数解析式例2．根据下列条件，求的解析式(1)已知满足(2)已知是一次函数，且满足；(3)已知满足【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）利用换元法即可求解；（2）设，然后结合待定系数法即可得解；（3）由题意可得，利用方程组思想即可得出答案.(1)解：令，则，故，所以；(2)解：设，因为，所以，即，所以，解得，所以；(3)解：因为①，所以②，②①得，所以.考点三：分段函数求值问题例3．，则=__________．【答案】9【解析】【分析】根据函数解析式，代入自变量的值，求得函数值即可.【详解】由题知，，则故答案为：9.考点四：分段函数解不等式问题例4．已知函数f(x)＝若f(a)＜－3，则a的取值范围是____.【答案】(－∞，－3).【解析】【分析】根据分段函数，分当a≤－2，－2＜a＜4，a≥4，由f(a)＜－3讨论求解.【详解】当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，解得a＜－4，此时不等式无解；当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，解得a＜－1，此时不等式无解.综上：a的取值范围是(－∞，－3).故答案为：(－∞，－3)考点五：分段函数的图象与应用例5．已知函数(1)求的值；(2)若，求的值；(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象说出函数的值域【解析】(1)因为所以(2)当时，，不合题意，应舍去当时，解之得或（舍）当时，，则综上，或(3)值域为【真题演练】1．下列函数中，不满足：的是A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】试题分析：A中，B中，C中，D中考点：函数关系判断2．设,若,则A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【详解】由时是增函数可知，若，则，所以，由得，解得，则，故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．3．设函数则=_____；若，则x的取值范围是________；【答案】

【解析】【分析】将函数化为分段函数，代入自变量求，在各区间上解不等式，然后取其并集．【详解】由题设，，所以，由，若，可得；若，可得；综上，不等式解集为.故答案为：，.4．已知，函数若，则___________.【答案】2【解析】【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】，故，故答案为：2.5．函数的定义域是_____.【答案】.【解析】【分析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得，即解得，故函数的定义域为.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．6．设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，，则实数a=_____，b=______.【答案】－2，1【解析】【详解】试题分析：，，所以，解得．【考点】函数解析式.【思路点睛】先计算，再将展开，进而对照系数可得含有，的方程组，解方程组可得和的值．7．已知函数的图像过点（-1,4）,则a=________．【答案】-2【解析】【详解】试题分析：由可得.考点：本题主要考查利用函数解析式求值.8.设若，则的取值范围为_____________.【答案】【解析】【详解】由题意，若，则不合题意，因此，此时时，，满足.【考点】分段函数.9．设常数，函数，若，则.【答案】3【解析】【详解】由题意，则，所以.【考点】函数的定义.10．已知函数.（1）求的值；（2）求，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为，所以，因为，所以.（2）因为，则，因为，所以，即，解得.【过关检测】一、单选题1．函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用分段函数的性质求解.【详解】解：,当，，当，，所以，故选：A2．列车从地出发直达外的地，途中要经过离地的地，假设列车匀速前进，后从地到达地，则列车与地距离（单位：与行驶时间（单位：）的函数图象为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】当列车到达地时，距离，求出列车到达地的时间即可得出答案.【详解】由题可知列车的运行速度为，列车到达地的时间为，故当时，.故选：C.3．已知函数，则（

）A．3 B．2 C．－3 D．－2【答案】B【解析】【分析】先根据分段函数求出，再根据分段函数求，即可求出结果.【详解】∵，∴，因此，，故选：B.4．已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设，求出，再由求出.【详解】设，因为所以，又，所以，所以.故选：C.5．已知函数，若，则实数a＝（

）A． B． C．2 D．9【答案】C【解析】【分析】由函数的解析式可得，求解可得答案．【详解】函数，，则，即，解可得：.故选：C6．设函数，则的值为（

）A． B． C． D．18【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的不同定义域对应的函数解析式，进行代入计算即可.【详解】，故选：B7．设，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出解析式，即得到的解析式，再利用换元法求出的解析式即可.【详解】因为，所以又因为，所以，令，则，，所以.故选：B.8．函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是(

)A． B．± C．0或1 D．【答案】A【解析】【分析】根据函数值为2，分类讨论即可.【详解】若f(x)＝2，①x≤－1时，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；②－1＜x＜2时，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；③x≥2时，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).综上，x＝.故选：A.9．设函数，则的表达式为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】令，可得出且，化简可得出，即可得出函数的解析式.【详解】令，则且，所以，，因此，.故选：B.二、多选题10．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】【分析】令，利用换元法求出的解析式即可求解.【详解】解：令，则，因为，所以，所以，所以，，故选：BD.三、填空题11．若函数，则__________.【答案】【解析】【分析】通过换元，令，则，代入原式即可得解.【详解】令，则，，函数的解析式为.故答案为：.12．设函数满足，且对任意，都有，则=_________.【答案】2021【解析】利用赋值法求出的解析式，即可求解.【详解】令，得，令得，即，所以，所以，故答案为：2021【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点是准确赋值求出的解析式.13．已知函数若，则a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】按照分段函数解析式，分两种情况分别代入解析式解不等式【详解】由函数，可知当时,；当时,.所以等价于：或,解得故答案为：四、解答题14．已知函数．(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的值域．【答案】(1)(2)作图见解析，的值域为【解析】【分析】（1）根据零点分段法去绝对值，由此将表示为分段函数的形式.（2）根据的解析式画出