专题16 圆锥曲线选择填空题专练-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略含解析

专题16圆锥曲线选择填空题专练-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略专题16圆锥曲线选择填空题专练一、单选题1．（2023·北京朝阳·二模）已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)A．13 B．33 C．32．（2023·广西·校联考模拟预测）已知椭圆x2a2+y2=1a>1的左、右焦点分别为F1，F2，P1,m为椭圆上一点，若已知过点P且与椭圆相切的切线方程为l:xa2+my=1A．13 B．23 C．223．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为AA．34 B．C．32 D．124．（2023·陕西宝鸡·统考三模）已知命题p：∃x∈R，ex=0.1；命题q：直线l1：x−ay=0与l2：2x+ay−1=0A．p∧q B．p∧¬q C．¬p∨q 5．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知A，B是椭圆E:x2a2+y2=1a>1的上、下顶点，F为E的一个焦点，若A．3 B．6 C．9 D．186．（2023·辽宁鞍山·统考二模）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AA1=7，点O在棱AA．15π2 B．4+32π C．7．（2023·江苏·统考三模）已知F为椭圆C：x24+y2=1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2A．3 B．6C．4+23 D．8．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）海面上有相距4公里的A，B两个小岛，B在A的正东方向，为守护小岛，一艘船绕两岛航行，已知这艘船到两个小岛距离之和为6公里.在B岛的北偏西θtanθ=12,θ∈0,π2处有一个信号站P，B岛到信号站P的距离为A．4+3公里 B．5公里 C．5133公里 9．（2023·北京海淀·统考二模）已知动直线l与圆O:x2+y2=4交于A，B两点，且∠AOB=120°．若l与圆(x−2)2A．10−46 B．1 C．4610．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图，已知圆M:x2+y2=1，圆N:(x−2)2+(y−3)2=1，已知P为两圆外的动点，过点A．4x+6y−13=0 B．xC．x23+11．（2023·江西新余·统考二模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，lA．305 B．2 C．23312．（2023·陕西西安·统考一模）点A,B为抛物线C:x2=2py上的两点，F是抛物线C的焦点，若∠AFB=60∘,AB中点D到抛物线C的准线的距离为A．2 B．1 C．3 D．213．（2023·江西南昌·校联考二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过点F1交C于A，B两点，点A．12 B．33 C．2214．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1 (a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A．(1,3] B．(2,3] C．(5,3] 15．（2023·福建·统考模拟预测）已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1（a>0，b>0）的离心率为5，左，右焦点分别为F1，FA．2 B．5 C．3 D．416．（2023·江西吉安·统考一模）已知直线l1:x+my−3m−1=0与l2:mx−y−3m+1=0相交于点M，线段AB是圆C:x+12+A．6−42 B．3−2 C．5+317．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在扇形AOB中，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．其中OA=OB=r，AB长为ll<r．则CD的长度约为（提示：x∈0,12时，cosA．r−l28r B．l28r 18．（2023·天津·三模）已知O为坐标原点，双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为62，点Px1,y1是C的右支上异于顶点的一点，过F2作∠F1A．22 B．23 C．25二、多选题19．（2023·海南海口·校联考一模）已知抛物线C的方程为y2=4x，F为焦点，O为坐标原点，S表示面积，直线l：y=3x−1与抛物线交于A，B两点，且A．AB=163C．S△AOF=320．（2023·江苏南通·三模）直线l:mx+y−2m=0与圆x2+y2=4A．线段AB最短长度为22 B．△AOB的面积最大值为C．无论m为何值，l与圆相交 D．不存在m，使∠APB取得最大值21．（2023·海南·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2+y2=4，点A−3,0，B−1,2，点A．圆O关于直线AB对称的圆O′的方程为B．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等C．若点P1,0满足PC⋅PD=0，则弦CDD．若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积最小值为222．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作直线l交双曲线A．双曲线C的离心率为2B．过点F2作双曲线其中一条渐近线的垂线，垂足为P，则C．若Q为AB的中点，则直线OQ（其中O为坐标原点）和直线AB的斜率之积为3D．△AF1F223．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知曲线C:x2+xy+A．曲线C关于直线x+y=0对称B．曲线C上恰有四个整点（横坐标与纵坐标均为整数）C．曲线C上的点到原点距离的最大值为3D．曲线C上存在点在圆x224．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知双曲线C:y2a2−x2b2=1（a>0，b>0）的上、下焦点分别为F1、F2，过点F2且与一条渐近线垂直的直线lA．双曲线C的渐近线方程为y=±32x B．双曲线C．三角形AOF1的面积为34a2 D．直线25．（2023·河北保定·统考一模）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为x29+A．2 B．8 C．10 D．1226．（2023·山东淄博·统考二模）已知O为坐标原点，F1,F2分别为双曲线C:y24−xA．双曲线的焦点坐标为±B．以F1为圆心且与渐近线相切的圆的方程为C．若点P到C的两条渐近线的距离分别为d1,D．直线PA27．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知双曲线E:x2−y23=1的左､右焦点分别为F1､F2，过点C1,2斜率为A．k∈B．当点C为线段PQ的中点时，直线l的斜率为3C．若A−1,0，则D．P28．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）如图，已知双曲线：x2−y24=1的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接BF1A．PMB．SC．过F2D．点B到两条渐近线的距离的积为429．（2023·山西·统考二模）已知双曲线C:x2a2−y23=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，FA．双曲线C的渐近线方程为y=±3x C．△F1PF230．（2023·安徽淮南·统考二模）已知圆M的方程为：x2+y2+ax+ay−2a−4=0，（a∈A．过点P的任意直线与圆M都相交B．若圆M与直线x+y+2=0无交点，则a∈C．圆M面积最小时的圆与圆Q：x2D．无论a为何值，圆M都有弦长为22的弦，且被点P三、填空题31．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线xa+yb=1(a>0,b>0)32．（2023·陕西西安·统考一模）直线l:mx−y+2−3m=0m∈R与圆C:x2+33．（2023·陕西西安·统考一模）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上一点A，它关于原点的对称点为B34．（2023·天津·三模）已知直线ax+y−1=0平分圆C:(x−1)2+(y+2)235．（2023·江西南昌·统考二模）圆锥曲线都具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，AP是它的一条对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，反射光线是BC，若∠PFB=120°，∠FBC=90°，则该双曲线的离心率等于________．36．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知曲线y=2sinx+π4在x=π237．（2023·广东茂名·统考二模）已知抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若AF=λFBλ>138．（2023·浙江·校联考模拟预测）P是抛物线x2=4y准线为l上一点，A,B在抛物线上，PA,PB的中点也在抛物线上，直线AB与l交于点Q，则39．（2023·江苏·统考三模）已知F1，F2，分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作C40．（2023·湖北·模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与C交于A,B，两点，若AB41．（2023·湖北·模拟预测）已知圆C1:(x+3k)2+42．（2023·广西·校联考模拟预测）若F是双曲线x23−y2=1的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F、Q的直线l与y轴交于点43．（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）如图，一个光学装置由有公共焦点F1,F2的椭圆C与双曲线C′构成，一光线从左焦点F1发出，依次经过C′与C的反射，又回到点F1.，历时m秒；若将装置中的C′去掉，则该光线从点F1发出，经过C两次反射后又回到点44．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）已知圆M:(x−4)2+y2=16，过点N2,0的直线l与圆M交于A,B45．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点，A为椭圆的上顶点，46．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）如图，已知抛物线C：y2=2x，圆E：x−22+y2=4，直线OA，OB分別交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB47．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）双曲线的中心为原点O，焦点在y轴上，F1,F2分别是双曲线的两个焦点，过上焦点F2作斜率k=33的直线l交双曲线上支于点M,N,若△M48．（2023·江苏·统考二模）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过动点P的两条直线l1，l2均与C相切，设l1，l2的斜率分别为k149．（2023·重庆·统考模拟预测）已知圆O:x2+y2=8及圆A:x−a2+y+12=1，若圆专题16圆锥曲线选择填空题专练解析几何选择填空解析一、单选题1．（2023·北京朝阳·二模）已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)A．13 B．33 C．3【答案】C【分析】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案.【详解】因为双曲线为x2−y因为渐近线方程为y=3x，所以故选：C.2．（2023·广西·校联考模拟预测）已知椭圆x2a2+y2=1a>1的左、右焦点分别为F1，F2，P1,m为椭圆上一点，若已知过点P且与椭圆相切的切线方程为l:xa2+my=1A．13 B．23 C．22【答案】C【分析】根据l⊥PM求出直线PM的方程，令y=0，得M点的横坐标，再根据M为OF2的中点，求出c=1，【详解】因为P(1,m)在椭圆x2a2若m=0，则a=±1，不符合题意，所以m≠0.由切线l的方程xa2+my=1由l⊥PM得PM的斜率kPM所以直线PM的方程为y−m=a令y=0，得−m=a2m(x−1)，因为m≠0因为M为OF2的中点，且所以1−1a2=c2，又所以该椭圆的离心率e=2故选：C．3．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为AA．34 B．C．32 D．12【答案】D【分析】求出直线AF的方程，利用点到直线的距离公式，椭圆离心率公式，即可求得椭圆的离心率．【详解】设F(c,0)，则直线AF的方程为xc+y圆心O到直线AF的距离d=|−bc|两边平方整理得，16(a于是16(1−e2)e2则e=12或故选：D4．（2023·陕西宝鸡·统考三模）已知命题p：∃x∈R，ex=0.1；命题q：直线l1：x−ay=0与l2：2x+ay−1=0A．p∧q B．p∧¬q C．¬p∨q 【答案】B【分析】确定命题p,q的真假，然后由复合命题的真值表判断．【详解】令x=ln0.1，则ex若l1与l2相互垂直，则2−a所以只有p∧(¬q)为真命题.故选：B．5．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知A，B是椭圆E:x2a2+y2=1a>1的上、下顶点，F为E的一个焦点，若A．3 B．6 C．9 D．18【答案】B【分析】依题意可得b=1且S△ABF=12×2b×c=2【详解】由题可知b=1，则S△ABF=12×2b×c=2故E的长轴长为2a=6．故选：B6．（2023·辽宁鞍山·统考二模）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AA1=7，点O在棱AA．15π2 B．4+32π C．【答案】C【分析】PO=5，则点P会在4个面内有轨迹，且均是圆弧，分别计算半径和圆心角即可.【详解】依题意，∵OA=4，AA1=7，OE=OF=5，∴AE=3=O所以△AEO≌△A1OF，所以∠AEO=∠A1所以∠EOF=π−(∠A1OF+∠AOE)=在平面AA1B该轨迹是以5为半径的14个圆周，所以长度为2π×5×同理，在平面AA1D在平面A1B1A1F为半径的圆弧，长度为同理，在平面ABCD内满足条件的点的轨迹为以A为圆心，AE为半径的圆弧，长度为2π×3×1故轨迹的总长度为5π2故选：C.7．（2023·江苏·统考三模）已知F为椭圆C：x24+y2=1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2A．3 B．6C．4+23 D．【答案】D【分析】由椭圆的定义结合题意可得PQ+PF≤PM+1+PF=PM+r+4−PF【详解】圆M：x2+y−3设椭圆的左焦点为F1，如下图，由椭圆的定义知，PF+P所以PF=4−PFPQ+PF≤PM+1+PF=PM+r+4−PF当且仅当M,P,FM0,3，F1−3,0故选：D．8．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）海面上有相距4公里的A，B两个小岛，B在A的正东方向，为守护小岛，一艘船绕两岛航行，已知这艘船到两个小岛距离之和为6公里.在B岛的北偏西θtanθ=12,θ∈0,π2处有一个信号站P，B岛到信号站P的距离为A．4+3公里 B．5公里 C．5133公里 【答案】D【分析】由椭圆定义船的航行轨迹是在一个长轴长为6焦距为4的椭圆上，求出椭圆的标准方程、P点坐标，设椭圆上一点H3cosθ,5sinθθ∈0,2π【详解】由题意，船的航行轨迹是在一个长轴长为6焦距为4的椭圆上，可设焦点坐标分别为A−2,0,B2,0所以a=3,c=2，b2=a因为PB=25,tanθ=12设椭圆上一点H3cosθ,所以PH=因为−1≤sinθ≤1，所以−1+5所以21−85≤PH故选：D.9．（2023·北京海淀·统考二模）已知动直线l与圆O:x2+y2=4交于A，B两点，且∠AOB=120°．若l与圆(x−2)2A．10−46 B．1 C．46【答案】D【分析】根据题意当动直线经过圆(x−2)2+y2=25的圆心时，可得到弦长的最大值为该圆的直径，再设线段AB的中点为C，从而得到动直线l在圆x2+y2【详解】由题意可知圆(x−2)2+y2=25则当动直线经过圆心，即点A或B与圆心(2,0)重合时，如图1，此时弦长t取得最大值，且最大值为tmax设线段AB的中点为C，在△AOB中，由OA=OB=2，且∠AOB=120°，则OC=1，则动直线l在圆x2所以当动直线l与x轴垂直，且点C的坐标为(−1,0)时，如图2，此时弦长t取得最小值，且最小值为tmin所以t的最大值与最小值之差为2．故选：D．【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法：①几何法：求圆的半径r，弦心距d，则弦长为t=2r②代数法：运用根与系数的关系及弦长公式AB=10．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图，已知圆M:x2+y2=1，圆N:(x−2)2+(y−3)2=1，已知P为两圆外的动点，过点A．4x+6y−13=0 B．xC．x23+【答案】A【分析】根据题意，由△PCD∼△PBD可得PA⋅PB=PC⋅PD，然后由割线定理可得PM2=P【详解】因为圆M:x2+y2圆N:(x−2)2+(y−3)2由∠PCA=∠PBD，可得△PCD∼△PBD，所以PAPD=PC由割线定理可知，过P的切线是P到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，过P分别做圆M,N的切线，切点为E,F，则PE2=PA⋅PB，P连接PM,ME,PN,NF，则ME⊥PE，NF⊥PF，所以PE即PM2−M即PM设Px,y，则x−0化简可得4x+6y−13=0，所以点P的轨迹方程是4x+6y−13=0，故选:A11．（2023·江西新余·统考二模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，lA．305 B．2 C．233【答案】A【分析】作出图形，计算出AF，设∠AOF=α，可得出∠AOB=2α，由二倍角的正切公式可得出关于ba的等式，求出b【详解】如下图所示：双曲线的渐近线方程为y=±bax所以，AF=bcb因为AF=25设∠AOF=α，则∠BOF=α，所以，∠AOB=2α，tanα=AFOA=由二倍角的正切公式可得tan2α=2tanα1−tan2α因此，e=c故选：A.12．（2023·陕西西安·统考一模）点A,B为抛物线C:x2=2py上的两点，F是抛物线C的焦点，若∠AFB=60∘,AB中点D到抛物线C的准线的距离为A．2 B．1 C．3 D．2【答案】B【分析】设AF=a，BF=b，由题意得d与AF=a，BF=b的关系，在三角形中由余弦定理得【详解】设AF=a，BF则d=a+b2，∴d当且仅当a=b时取等号，dAB取最大值1，则AB故选：B.13．（2023·江西南昌·校联考二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过点F1交C于A，B两点，点A．12 B．33 C．22【答案】B【分析】分别取A，B关于x轴的对称点A′，B′，连接A′F1，A′F2，B′F1【详解】分别取A，B关于x轴的对称点A′，B′，连接A′F1，A由AM∥F1F2以及椭圆的对称性及几何知识可得则A′,M关于原点对称，则四边形所以∠F1A又AB=MF1，所以又△A′B所以A′F2△A′F得49a2所以e=c故选：B.14．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1 (a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A．(1,3] B．(2,3] C．(5,3] 【答案】C【分析】由双曲线的定义可得QF1=2a【详解】由题意易得：PF1设∠F1PF2=θ，则c设点Px0,即m=e所以8a3c故选：C15．（2023·福建·统考模拟预测）已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1（a>0，b>0）的离心率为5，左，右焦点分别为F1，FA．2 B．5 C．3 D．4【答案】D【分析】设PF2与渐近线交于M，由对称性知OM//PF1且OM＝12PF1【详解】设PF2与渐近线y=bax交于M，则F所以F2M=OF由O,M分别是F1F2与PF2的中点，知OM//P由e=5得c=5,b=2故选：D16．（2023·江西吉安·统考一模）已知直线l1:x+my−3m−1=0与l2:mx−y−3m+1=0相交于点M，线段AB是圆C:x+12+A．6−42 B．3−2 C．5+3【答案】A【分析】根据直线所过定点和l1⊥l2可知ME⋅MF=0，由此可得点M轨迹是以G2,2为圆心，【详解】由圆的方程知：圆心C−1,−1，半径r=2由l1:x+my−3m−1=0得：x−1+my−3=0由l2:mx−y−3m+1=0得：mx−3+1−y由直线l1,l2方程可知：l1设Mx,y，则ME=1−x,3−y∴ME⋅MF即点M的轨迹是以G2,2为圆心，2又直线l2斜率存在，∴M点轨迹不包含3,3若点D为弦AB的中点，则MA+连接CD，由AB=23知：则MDmin∴MA⋅MB=MD+DA即MA⋅MB的最小值为故选：A.17．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在扇形AOB中，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．其中OA=OB=r，AB长为ll<r．则CD的长度约为（提示：x∈0,12时，cosA．r−l28r B．l28r 【答案】B【分析】根据弧长公式，结合已知求出角的余弦的近似值，求出CO,最后得到CD即可.【详解】设圆心角α=lr，l<r，所以cosα2=cos所以CD≈r−r−故选：B.18．（2023·天津·三模）已知O为坐标原点，双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为62，点Px1,y1是C的右支上异于顶点的一点，过F2作∠F1A．22 B．23 C．25【答案】A【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，再设T(u,v)，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.【详解】设半焦距为c，延长F2M交PF1于点N，由于PM是所以△NPF2是等腰三角形，所以根据双曲线的定义可知PF1−PF2=2a所以MO是△NF1F又双曲线的离心率为62，所以c=3，b=1，所以双曲线C的方程为所以F1(−3,0)，设T(u,v)，T到两渐近线的距离之和为S，则S=|u+由F1T⋅又T在x22−y2=1上，则u2由|u|>2|v|，故S=2|u|故选：A.【点睛】由平面几何知识，PN=PF二、多选题19．（2023·海南海口·校联考一模）已知抛物线C的方程为y2=4x，F为焦点，O为坐标原点，S表示面积，直线l：y=3x−1与抛物线交于A，B两点，且A．AB=163C．S△AOF=3【答案】AC【分析】求得AB的值判断选项A；求得S△AOF的值判断选项B，C；求得AF【详解】抛物线y2=4x的焦点由y2=4xy=3x−1则A(3,23)，AB=S△AOFAF=故选：AC20．（2023·江苏南通·三模）直线l:mx+y−2m=0与圆x2+y2=4A．线段AB最短长度为22 B．△AOB的面积最大值为C．无论m为何值，l与圆相交 D．不存在m，使∠APB取得最大值【答案】CD【分析】求出直线l:mx+y−2【详解】由直线l:mx+y−2m=0可知m(x−2且直线斜率一定存在，当OE⊥AB时，弦AB的弦心距最长，则AB长最短为24−2此时AB的斜率不存在，与题意矛盾，故A错误；△AOB的面积为S△AOB若△AOB的面积取到最大值，则∠AOB为直角，由于|OE|=2,|AB|=22由于直线AB过定点E(2,0),E(2故无论m为何值，l与圆相交，C正确；P为圆上任意一点，假设当l与x轴垂直时，如图中虚线位置，此时劣弧AB最短，∠APB最大，但由于直线l斜率存在，故直线取不到图中虚线位置，即不存在m，使∠APB取得最大值，D正确，故选：CD21．（2023·海南·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2+y2=4，点A−3,0，B−1,2，点A．圆O关于直线AB对称的圆O′的方程为B．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等C．若点P1,0满足PC⋅PD=0，则弦CDD．若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积最小值为2【答案】AD【分析】由题意求出直线AB的方程，设O′(a,b)，则b−0a−0×1=−1b+02=【详解】A：kAB=2−0设⊙O′的圆心O′(a,b)，则所以⊙O′的方程为B：易知A、B到原点(圆心)的距离不相等，所以切线长不相等，故B错误；C：设Q(x,y)，由PC⋅PD=0又Q为弦CD的中点，则OQ⊥CD，有PQ2即(x−1)2+y即(x−1D：由题意，O(0,0),r=2,k则CD=AB=2则O到直线AB的距离为d=m2，所以即22=222−m2当AB直线方程为y=x+2即C(0,2),D(−2,0)时，四边形ABCD的面积最小，且最小值为2，故D正确.故选：AD.22．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作直线l交双曲线A．双曲线C的离心率为2B．过点F2作双曲线其中一条渐近线的垂线，垂足为P，则C．若Q为AB的中点，则直线OQ（其中O为坐标原点）和直线AB的斜率之积为3D．△AF1F2【答案】ACD【分析】作出图形，利用双曲线的定义结合余弦定理可求出双曲线C的离心率，可判断A选项；求出PF2，利用余弦定理求出【详解】如下图所示：对于A选项，设BF2=m，则A由双曲线的定义可得2a=A所以，AF1=8a，AF2由余弦定理可得cos∠AFcos∠BF因为∠AF2F即c2−3a所以，双曲线C的离心率为e=c对于B选项，因为c=2a，则b=c双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±3x所以，PF2=3c由余弦定理可得PF因此，PF对于C选项，因为AF2=3BF2，则设点Ax1,y1、B上述两个等式作差可得x12−即kAB对于D选项，设△AF1F2、△BF因为AF2=3即12所以，r1故选：ACD.23．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知曲线C:x2+xy+A．曲线C关于直线x+y=0对称B．曲线C上恰有四个整点（横坐标与纵坐标均为整数）C．曲线C上的点到原点距离的最大值为3D．曲线C上存在点在圆x2【答案】AC【分析】根据点的对称代入方程中即可验证A，根据方程有解由判别式可得−23≤y≤23，结合y【详解】对于A,将坐标x,y代换成−y,−x得y2故曲线C关于直线x+y=0对称，故选项A正确；对于B，由方程得：x2+xy+y所以Δ=y2−4若y为整数，则y=−3,−2,−1,0,1,2,3，当y=−2,−1,1,2时，x没有整数解，当y=−3时，解得x的整数解为0和3，当y=0时，解得x的整数解为-3和3，当y=3时，解得x的整数解为0和-3，所以曲线C经过0,−3,对于C,x2所以x2+y2≤18对于D，由x2+y2−9=−xy≥−当且仅当x=y时等号成立，所以曲线C上任一点x,y到原点的距离最小值为6，故选项D错误；故选：AC24．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知双曲线C:y2a2−x2b2=1（a>0，b>0）的上、下焦点分别为F1、F2，过点F2且与一条渐近线垂直的直线lA．双曲线C的渐近线方程为y=±32x B．双曲线C．三角形AOF1的面积为34a2 D．直线【答案】BC【分析】利用双曲线的定义、渐近线方程、离心率公式及平面几何的相关知识解决本题.【详解】设焦距为2c，不妨取C的一条渐近线y=−abx垂足为A，易知AO=a，A因为PF1=3b−2a设线段PF2的中点为E，则F2E=在Rt△AEO中，|OE|2=|OA|2+|AE|ba=cS△AO设直线l被以F1F2故选：BC．25．（2023·河北保定·统考一模）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为x29+A．2 B．8 C．10 D．12【答案】ACD【分析】根据已知，光线自F1出发，可以沿F1A1方向传播，也可以沿【详解】设抛物线左焦点为F1，右焦点为F2，左顶点为A1由已知可得，a=3，c2=a①当光线从F1出发，沿F1A1方向传播，到达A1后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿A②当光线从F1出发，沿F1A2方向传播，到达A2后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿A2F③当光线从F1出发后，不沿x光线开始沿F1P传播，到达P点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿PF2方向传播，过点F2后，继续传播到达Q点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿Q根据椭圆的定义可知，PF1+所以PF故选：ACD.26．（2023·山东淄博·统考二模）已知O为坐标原点，F1,F2分别为双曲线C:y24−xA．双曲线的焦点坐标为±B．以F1为圆心且与渐近线相切的圆的方程为C．若点P到C的两条渐近线的距离分别为d1,D．直线PA【答案】BCD【分析】根据方程求得焦点坐标，判断A，求出焦点F1到渐近线的距离得圆方程判断B，设P(x,y)，计算它到渐近线的距离之积判断C，计算P【详解】c=4+1=5F1(0,5)，一条渐近线的方程为2x−y=0，F1设P(x,y)，则y24−另一条渐近线的方程为2x+y=0，则d1由题意A1(0,2)，A2故选：BCD．27．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知双曲线E:x2−y23=1的左､右焦点分别为F1､F2，过点C1,2斜率为A．k∈B．当点C为线段PQ的中点时，直线l的斜率为3C．若A−1,0，则D．P【答案】BC【分析】根据渐近线斜率结合图象可判断A，利用点差法可求直线斜率判断B，根据直线的斜率及二倍角的正切公式可判断C，计算PF1⋅【详解】如图，由E:x2−由图可知，当过C点直线的斜率满足−3设P(x1,y1(x1−x2所以2(x1−∵A(−1,0)，Q(x2,y2∴tan2∠QAF2=又∵∠QF2A，∠QA由题意P(x1,y1∵|PF1|=∴PF1∴P故选：BC28．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）如图，已知双曲线：x2−y24=1的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接BF1A．PMB．SC．过F2D．点B到两条渐近线的距离的积为4【答案】AD【分析】由|BF1|−|BF2|=2，若|BF2|=m>0结合已知可得m=2，设B(x,y)【详解】由题设|BF1|−|BF2|BF1|2+|B若B(x,y)且x,y>0，则4x2−y2所以，直线BF1为y=12(x+所以M(−55,25又4x2−y2=4x−2y+所以PM=23，即PM令x=c=5，则4×5−y2=4，可得而过F2和两顶点的直线，所得弦长为2，所以过F由B到y=2x的距离为|2×35−45|5所以B到两条渐近线的距离的积为45故选：AD29．（2023·山西·统考二模）已知双曲线C:x2a2−y23=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，FA．双曲线C的渐近线方程为y=±3x C．△F1PF2【答案】AB【分析】先根据抛物线方程得出F2的坐标，即c的值，进而求出a，得出双曲线的方程.即可得出A项；联立双曲线与抛物线的方程，求出P点坐标，即可求得PF1的值，判断B项、得出△F1【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为2,0，所以双曲线右焦点F22,0，即又b2=3，所以所以，双曲线的方程为x2对于A项，双曲线的C的渐近线方程为y=±b对于B项，联立双曲线与抛物线的方程x2整理可得，3x2−8x−3=0，解得x=3所以x=3，代入y2=8x可得，设P3,26，又F1对于C项，易知S△对于D项，因为PF所以，由余弦定理可得，cos∠F1P故选：AB.30．（2023·安徽淮南·统考二模）已知圆M的方程为：x2+y2+ax+ay−2a−4=0，（a∈A．过点P的任意直线与圆M都相交B．若圆M与直线x+y+2=0无交点，则a∈C．圆M面积最小时的圆与圆Q：x2D．无论a为何值，圆M都有弦长为22的弦，且被点P【答案】ACD【分析】根据点与圆的位置关系判断A选项，通过几何法判断直线与圆的位置关系判断B选项，根据圆与圆的位置关系判断公切线的条数判断C选项，根据半径的最小值及垂直弦平分弦判断D选项.【详解】因为点代入入圆的方程得12+1所以过点P的任意直线与圆M都相交,A选项正确;圆M圆心M−a2,−a2,r=若圆M与直线x+y+2=0无交点，d=−−a2−a2+21圆Mr=2a2圆Q：x2+yMQ=圆M面积最小时的圆M与圆Q外切所以有三条公切线,C选项正确;无论a为何值，r=2a2+8a+162MP=1+ad=r2−2因为垂直弦平分弦,圆M都有弦长为22故选:ACD.三、填空题31．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线xa+yb=1(a>0,b>0)【答案】7+43/【分析】由直线xa+yb=1(a>0，b>0)【详解】∵直线xa+y∴2∴2a+b=2a+b2a+3b=7+∴2a+b的最小值为7+43故答案为：7+4332．（2023·陕西西安·统考一模）直线l:mx−y+2−3m=0m∈R与圆C:x2+【答案】2【分析】先把圆C的方程化成标准形式，从而得出圆心坐标和半径，再通过直线方程得出直线过定点，发现定点在圆的内部，从而根据圆的有关知识知：当定点是弦的中点时，弦长最短，从而求出弦长的最小值.【详解】圆C:x2+圆心C0,1，半径r=4直线l:mx−y+2−3m=0⇒mx−3−y+2=0过定点M3,2∴PQ最短时，点M3,2为弦PQ的中点，即CM⊥PQ所以PQ=2故答案为：2633．（2023·陕西西安·统考一模）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上一点A，它关于原点的对称点为B【答案】2【分析】通过几何性质表达出该椭圆的离心率的函数，即可得出该椭圆的离心率的取值范围.【详解】由题意，在x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)∵AF⊥BF，∴四边形AF∴AB=F∵∠ABF=α，∴AF=2csinα,BF=2ccosα，由椭圆的定义得2a=2csinα+2ccosα，∴e=c∵α∈∴α+π∴sinα+∴e∈2故答案为：2234．（2023·天津·三模）已知直线ax+y−1=0平分圆C:(x−1)2+(y+2)2【答案】2【分析】由圆的标准方程确定圆心坐标和半径，由题意可知该直线经过圆心，求出a，利用几何法求弦长即可求解.【详解】由(x−1)2+(y+2)因为直线ax+y−1=0平分圆C，所以该直线经过圆心C，得a−2−1=0，解得a=3.则(a当圆心C与该点(1,−1)的连线与弦垂直时，满足题意，所以圆C以点(1,−1)为中点的弦弦长为22故答案为：2335．（2023·江西南昌·统考二模）圆锥曲线都具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，AP是它的一条对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，反射光线是BC，若∠PFB=120°，∠FBC=90°，则该双曲线的离心率等于________．【答案】3+1/【分析】反射光线BC的反向延长线经过双曲线的另一个焦点F1，由题中条件可得∠BFF1=60°，∠FBF1=90°，在直角三角形F1BF【详解】在平面直角坐标系中，如图，反射光线BC的反向延长线经过双曲线的另一个焦点F1由∠PFB=120°，∠FBC=90°，可得∠BFF1=60°在直角三角形F1BF中，BF由双曲线的定义可得BF1−BF=2a所以e=c故答案为：3+136．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知曲线y=2sinx+π4在x=π2【答案】y=x−5．【分析】求得y′【详解】由函数y=2sinx+则y′|x=所以所求直线的斜率为1，其方程为y+3=x−2，即y=x−5．故答案为：y=x−5.37．（2023·广东茂名·统考二模）已知抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若AF=λFBλ>1【答案】3【分析】设准线与x轴的交点为K，作AA1⊥l，BB1⊥l垂足分别为【详解】如图，设准线与x轴的交点为K，作AA1⊥l，BB1则BB1∥FK∥AA1设∠DBB1=θ，因为B∴cosθ=B设BF=a，所以cosθ=a438．（2023·浙江·校联考模拟预测）P是抛物线x2=4y准线为l上一点，A,B在抛物线上，PA,PB的中点也在抛物线上，直线AB与l交于点Q，则【答案】6【分析】设Pt,−1,Ax1,x1求出韦达定理，表示直线AB的方程，得出Q点坐标，再进一步计算PQ的最小值.【详解】设Pt,−1,Ax1,PB的中点坐标为t+x则有t+x12则x1,x2为方程直线AB与l交于点Q，直线AB的方程为：y=x即y=x1+令y=−1，解得x=−t2+122t，则当且仅当3t2=6故答案为：6.39．（2023·江苏·统考三模）已知F1，F2，分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作C【答案】5【分析】根据二倍角公式求出ba【详解】易知MN关于x轴对称，令∠MF1F∴cos2α=121+513y=baxy=−b∴ba∴e=c故答案为:5.40．（2023·湖北·模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与C交于A,B，两点，若AB【答案】4【分析】设过点F直线为x=my+p2，Ax1,y1【详解】由题可得，Fp2,0Ax1,消去y得，y2则由韦达定理可得y1则x1由抛物线定义可知AB=由基本不等式，x1当且仅当x1=x因函数y=32p−13则A,B两点横坐标之和的最小值为43故答案为：441．（2023·湖北·模拟预测）已知圆C1:(x+3k)2+【答案】−4−73【分析】根据两圆有三条公切线可知两圆外切，然后由两圆心距等于两半径之和列式，分类讨论可得.【详解】圆C1的圆心为(−3k,−4k−2)，半径为1+圆C2的圆心为(−3k,0)，半径为2k因为圆C1与圆C所以1+即1+当k≤−12时，1+解得k=−4−73当−12<k<0时，解得k=−12+3935当k>0时，1+k2解得k=−4±综上，k=−4−7故答案为：−4−7342．（2023·广西·校联考模拟预测）若F是双曲线x23−y2=1的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F、Q的直线l与y轴交于点【答案】±【分析】分析可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx−2，设点Qx,y，求出点M的坐标，根据向量线性运算的坐标表示可求得Q的坐标，将点Q的坐标代入双曲线的方程，可求得【详解】在双曲线x23−y2=1中，a=3若直线l⊥x轴，则l与y轴无交点，故直线l的斜率存在，由题意设直线l的方程为y=kx−2，令x=0，得y=−2k，则M设Qx,y，则MQ=x,y+2k因为MQ+2QF=0，所以解得x=4y=2k，即点Q因为点Q在双曲线上，所以163−4k2=1，解得k=±故答案为：±3943．（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）如图，一个光学装置由有公共焦点F1,F2的椭圆C与双曲线C′构成，一光线从左焦点F1发出，依次经过C′与C的反射，又回到点F1.，历时m秒；若将装置中的C′去掉，则该光线从点F1发出，经过C两次反射后又回到点【答案】38【分析】由离心率比求得长半轴与实半轴的比，根据椭圆与双曲线的定义求两种装置中光线路程之比即得．【详解】设椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴长为2a由ca依次经过C′与C的反射，又回到点F1，则有AF2两式相减得BF将装置中的C′去掉，则有E所以m故答案为：3844．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）已知圆M:(x−4)2+y2=16，过点N2,0的直线l与圆M交于A,B【答案】x−3【分析】由圆的垂径定理可得MD⊥DN，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简可得所求轨迹方程，即可求得答案.【详解